第4节 一元二次不等式及其解法-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

第４节　一元二次不等式及其解法 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．经历从实际情境中抽象出一元二次不 等式的过程,了解一元二次不等式的现 实意义． ２．能借助一元二次函数求解一元二次不 等式,并能用集合表示一元二次不等式 的解集． ３．借助一元二次函数的图象,了解一元二 次不等式与相应函数、方程的联系 １．一元二次不等式的解法,达 成 直 观 想 象 和 数 学 运 算 素养． ２．与一元二次不等式有关的 恒成立问题,提升直观想象 和数学运算素养． ３．一元二次不等式的实际应 用,增强数学建模和数学运 算素养 　　一元二次不等式、分式不等 式的解法,及一元二次不等式的恒 成立问题是高考的热点,常常与集 合运算、函数定义域求解、用导数 求单调区间等问题结合考查．题型 多样,选择题或填空题考查解法及 恒成立问题,难度不大,属于低中 档题型,解答题与导数结合,考查 函数的单调性,难度中等及以上, 属于中高档题 [必备知识] １．一元二次不等式的解法 (１)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数 　　　　零的不等式ax２＋bx＋c＞０(a＞０)或 ax２＋bx＋c＜０(a＞０)． (２)计算相应的　　　　． (３)当　　　　时,求出相应的一元二次方程的根． (４)利用二次函数的图象与x轴的　　　　确定一 元二次不等式的解集． ２．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次 方程的关系 判别式 Δ＝b２－４ac Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０ 二次函数 y＝ax２＋bx＋c (a＞０)的图象 一元二次方程 ax２＋bx＋c＝ ０(a＞０)的根 有 两 相 异 实根x１,x２ (x１＜x２) 有 两 相 等 实根x１＝ x２＝－ b ２a 没 有 实 数根 ax２＋bx＋c＞ ０(a＞０)的 解集 　　　　 　　　　　 　　 ax２＋bx＋c＜０ (a＞０)的解集 　　　　 　　 　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　简单的分式不等式与一元二次不等 式的等价关系 １．x－ax－b＞０ 等价于(x－a)(x－b)＞０． ２．x－ax－b＜０ 等价于(x－a)(x－b)＜０． ３．x－ax－b≥０ 等价于 (x－a)(x－b)≥０, x－b≠０．{ ４．x－ax－b≤０ 等价于 (x－a)(x－b)≤０, x－b≠０．{ [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)若不等式ax２＋bx＋c＜０的解集为(x１,x２), 则必有a＞０． (　　) (２)若不等式ax２＋bx＋c＞０的解集是(－∞, x１)∪(x２,＋∞),则方程ax２＋bx＋c＝０的两个 根是x１ 和x２． (　　) (３)若方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)没有实数根, 则不等式ax２＋bx＋c＞０的解集为R． (　　) (４)不等式ax２＋bx＋c≤０在R上恒成立的条件 是a＜０且Δ＝b２－４ac≤０． (　　) (５)若二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象开口向 下,则不等式ax２＋bx＋c＜０的解集一定不是 空集． (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 [小题查验] １．函数f(x)＝ １ln(－x２＋４x－３) 的定义域是 (　　 ) A．(－∞,１)∪(３,＋∞)　　　B．(１,３) C．(－∞,２)∪(２,＋∞) D．(１,２)∪(２,３) ２．不等式x－２x＋１≤０ 的解集是 (　　 ) A．(－∞,－１)∪(－１,２] B．[－１,２] C．(－∞,－１)∪[２,＋∞) D．(－１,２] ３．已知函数f(x)是定义在 R上的偶函数,f(x)在 [０,＋∞)上单调递减,且f(３)＝０,则不等式(２x －５)f(x－１)＜０的解集为 (　　 ) A．(－∞,－２)∪ ５２ ,４æ è ç ö ø ÷ B．(４,＋∞) C．－２,５２ æ è ç ö ø ÷∪(４,＋∞) D．(－∞,－２) ４．(２０２５􀅰 上海卷)不 等 式x－１x－３＜０ 的 解 集 为 　　　． ５．(２０２４􀅰上海卷)不等式x２－２x－３＜０的解集为 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　一元二次不等式的解法(自主练透) [题组集训] 解关于x的不等式: (１)x２＋３x＋４＜０; (２)－３x２－２x＋８≤０; (３)ax２－(a＋１)x＋１＜０． １．解一元二次不等式的一般步骤 (１)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标 准形式． (２)判:计算对应方程的判别式． (３)求:求出对应的一元二次方程的根,或根据 判别式说明方程有没有实根． (４)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不 等式的解集． ２．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的 依据 (１)二次项中若含有参数应讨论是等于０,小于 ０,还是大于０,然后将不等式转化为一次不 等式或二次项系数为正的形式． (２)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨 论判别式Δ与０的关系． (３)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根 时,要讨论两个根的大小关系,从而确定解集 形式． 　提醒:当不等式中二次项的系数含有参数 时,不要忘记讨论其等于０的情况． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点二　与一元二次不等式有关的恒成立问题(多维探究) 直观想象———一元二次不等式恒成立问题中的核心素养 　　直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事 物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的过 程．解决一元二次不等式的恒成立问题,常常将一元 二次不等式与一元二次方程、二次函数联系在一起, 做到相互转化,借助于二次函数的图象———抛物线进 行求解． [命题角度１]　在实数R上的恒成立 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．若一元二次不等式２kx２＋kx－３８＜０ 对一切实 数x都成立,则k的取值范围为 (　　 ) A．(－３,０]　　　　　　B．[－３,０) C．[－３,０] D．(－３,０) [命题角度２]　在给定区间上的恒成立问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋２．设函数f(x)＝mx２－mx－１(m≠０),若对于x∈ [１,３],f(x)＜－m＋５恒成立,则m 的取值范围 是　　　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 [破题关键点]　函数f(x)＜－m＋５在[１,３]上 恒成立,即m x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋３４m－６＜０ 在x∈[１,３] 上恒成立．方法一:构造函数g(x)＝m x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋３４m－６ ,x∈[１,３],分m＞０与m＜０两种情况 判断g(x)在[１,３]上的单调性,由g(x)max＜０求 出m 的取值范围; 方法二:由于x２－x＋１＝ x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋３４＞０ ,所 以将参数m 分离出来,即m＜ ６ x２－x＋１ , 转化为 求 函 数 y＝ ６x２－x＋１ 在 [１,３]上 的 最 小值． [命题角度３]　给定参数范围的恒成立问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．已知a∈[－１,１]时不等式x２＋(a－４)x＋４－２a＞０ 恒成立,则x的取值范围为 (　　 ) A．(－∞,２)∪(３,＋∞) B．(－∞,１)∪(２,＋∞) C．(－∞,１)∪(３,＋∞) D．(１,３) 　　 恒成立问题求解思路 (１)由一元二次不等式在 R上恒成立确定参数 的范围时,结合一元二次方程,利用判别式 来求解． (２)由一元二次不等式在x∈[a,b]上恒成立确 定参数范围时,要根据函数的单调性,求其 最小值,让最小值≥０,从而求参数的范围． (３)由一元二次不等式对于参数m∈[a,b]恒成 立确定x的范围,要注意变换主元,一般地, 知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围, 谁就是参数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　一元二次不等式的实际应用(师生共研) [典例]　某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成 本为１０万元/辆,出厂价为１２万元/辆,年销售 量为１００００辆．本年度为适应市场需求,计划提 高产品质量,适度增加投入成本．若每辆车投入 成本增加的比例为x (０＜x＜１),则出厂价相应 地提高比例为０．７５x,同时预计年销售量增加的 比例为０．６x,已知年利润＝(出厂价－投入成 本)×年销售量． (１)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加 的比例x 的关系式; (２)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则 投入成本增加的比例x应在什么范围内? [思维导引]　(１)由年利润＝(出厂价－投入成 本)×年销售量,建立年利润y与投入成本增加的 比例x的关系式;(２)由本年度的年利润比上年度 有所增加,建立关于投入成本增加的比例x的不等 式组,求x的取值范围． [尝试解答]　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 求解不等式应用题的四个步骤 [跟踪训练] 某农贸公司按每担２００元收购某农产品,并且每 １００元纳税１０元(又称征税率为１０个百分点), 计划可收购a万担,政府为了鼓励收购公司多收 购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠０)个百 分点,预测收购量可增加２x个百分点． (１)写出降 税 后 税 收 y(万 元)与 x 的 函 数 关 系式; (２)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划 税收的８３．２％,试确定x的取值范围． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关四 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 艺考生文化课百日冲关·数学 跟踪训练 A[c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0，.c≥b. (b+c)-(e-b)=2a+2.∴.b=a2+1, ∴.b-a=a-a十1>0，∴.b>a.综上可知，a、b,c的大小 关系是c≥b>a.] 考点三 1.B[由指数与对数运算可得：2十1oga=4+21logb= 220+1ogb,又因为2+10gb<2路十1ogb+1=2+ 1og2b,即2+loga<2+log,2h,令f(.x)=2+logx, 由指，对函数单调性可得f(,x)在(0，十)上单调递增， 由f(a)<f(2b),可得a2b.] 2.C[若a>b.则a2>b,即a2-b>0.] 3.解析：法一：设f(一2)=mf(-1)+f(1)(m,n为待定 系数)，则4a一2b=m(a一b)十n(a十b), 即4a-2b=(m十n)a十(n-m)b. 于是得m+n=4 ”一m=-2·解得m=3 n=1 .f(-2)=3f(-1)+f1). 又"1≤f(-1)2,2f(1)≤4， .53f(-1)+f(1)10,故5≤f(-2)≤10. 法二：由1)=a-b f(1)=a+b a=2-D+f] 得 b=2)-f-1] ∴.f（-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又，1≤f(一1)2,2≤f(1)≤4， ∴.5≤3f(-1)+f(1)≤10.故5≤f(-2)≤10. 答案：[5,10J 第4节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)大于(2)判别式(3)△0(4)交点2.{xx<,或 >x≠}Rx<w 思考辨析(1)/(2)/(3)×(4)×(5) 小题查验 1.D2.D3.C4.(1,3)5.(-1,3) 跃升·关键能力考点一 解：(1)由△=9一16=一7<0，故不等式的解集为0」 (2)原不等式等价于3.x2+2x一8>0曰(x+2)(3x一4)≥ 0片≤-2我≥音 故不等式的解集为{<-2，或≥吉} (3)原不等式可化为(x一1)(4.一1)<0， .①当a=0时，可解得x>1, ②当a>0时，不等式可化为r-1D(x-)）下0， ∴.当a=1时，不等式可化为(x-1)<0,解集为必： 当0<a<1时，日>1，不等式的解集为{红1<< 当a>1时，<1,不等式的解集为{红<K: 当a<0时，不等式可化为x-1D(x一a) >0. .不等式的解集为{xx>1,或x< 1) 综上可知，当a<0时， 不等式的解集为{>1，或<日}： 当a=0时，解集为{x|x>1}: 当0<a<1时，不等式的解集为{x1<x<上} a 当a=1时，不等式的解集为： 当a>1时，不等式的解集为x <x<1} 考点二 [2kx2+x一÷<0对一切实数x 因2+虹一是<0是一无元二次不等式，所以0， 2k<0. 则必有 =-4×2×()0 解得一3<k<0.] 2.解析：要使f(x)<一m十5在[1,3]上恒成立， 则mx-m.x十m一6<0， 中a-)广+名m-6<0在61上板成主 112 有以下两种方法： 法-令x=n(-号）广+是m-6e1a. 当m>0时，g(x)在[，3]上是增函数， 所以g(x)=g(3)=7m-6<0. 所以m<号，期0<m<号 当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以g(x）m=g(1)=m一6<0. 所以m<6,所以<0. 解上所远，m的取值范周是{m0<m<号，或m<0}。 法二：国为2-+1=(-)广+子>0 又周为m(x-x十D-6<0,所以m<-十 因为函数y= 6 6 在[1,3]上的 x2-x十1 (-)+ 3 最小值为号，所以只需m<号即可。 因为≠0，所以m的取值范围是 {m0<m<号或m<0} 答案：{m0<m<号，或m<0} 3.C[把不等式的左端看成关于4的一次函数， 记f(a)=(x-2)a+x-4x十4， 则由f(a)>0对于任意的a∈[-1，l]恒成立， 所以f(-1)=x°-5x十6>0， 且f(1)=x2一3.x十2>0即可，解不等式组 1x-5x+6之0得x<1或x>3.] {x2-3.x+2>0, 考点三 [典例][解析](1)由题意得y=[12(1+0.75x) 10(1+x)]×10000×(1+0.6.x)(0<x<1), 整理得y=-6000x+2000.r+20000(0<x<1), (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须 有83.10X10ow>0 即(050：t20x>0,解得0<<名 所以投入成本增加的比铜应在(0，号)范国内。 跟踪训练 解：(1)降低税率后的税率为(10一x)%, 农产品的收购量为a(1十2x%)万担， 收胸总金颜为200a(1十2x%)万元. 依题意得y=200a(1+2.x%)(10-x)% =50a(100+2x)10-x)(0<r<10). (2)原计划税收为200a·10%=20a(万元). 依题意得0a(100+2.x)(10-x)≥20a×83.2%, 化简得x2+40.x一84≤0，解得-42≤x≤2. 又0<x<10,.0<x≤2. x的取值范围为(0,2]. 300