第3节 不等关系与不等式-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

第３节　不等关系与不等式 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．了解现实世界和日常生 活中的不等关系． ２．了解不等式(组)的实际 背景． ３．掌 握 不 等 式 的 性 质 及 应用 １．用不等式(组)表示不等关系,达成数学建模 素养． ２．比较两个数(式)的大小,发展逻辑推理和数 学运算素养． ３．不等式的性质及应用,提升逻辑推理和数学 运算素养． 　　不等关系、不等式的性质 及应用是高考的热点,高考中 常以不等式、不等关系为载体 考查充要条件问题,有时以新 概念(定义)比较两个数的大 小,多以选择题为主,题目难 度不会太大 [必备知识] １．两个实数比较大小的方法 (１)作差法 a－b＞０⇔a　　b, a－b＝０⇔a＝b, a－b＜０⇔a　　b; ì î í ï ï ï ï (２)作商法 a b＞１⇔a　　b (a∈R,b＞０), a b＝１⇔a＝b (a∈R,b＞０), a b＜１⇔a　　b (a∈R,b＞０)． ì î í ï ï ï ï ï ï ïï ２．不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a＞b⇔　　　 ⇔ 传递性 a＞b,b＞c⇒　　　 ⇒ 可加性 a＞b⇔　　　　 ⇔ 可乘性 a＞b c＞０}⇒　　　　; a＞b c＜０}⇒　　　　 c的符号 同向可 加性 a＞b c＞d}⇒　　　　 ⇒ 续表 同向同正 可乘性 a＞b＞０ c＞d＞０}⇒　　　　 ⇒ 可乘方性 a＞b＞０⇒　　　　 (n∈N,n≥２) a,b同为正数 可开方性 a＞b＞０⇒ n a＞ n b (n∈N,n≥２) a,b同为正数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　不等式的一些常用性质 １．倒数性质 (１)a＞b,ab＞０⇒１a＜ １ b． (２)a＜０＜b⇒１a＜ １ b． (３)０＜a＜x＜b或a＜x＜b＜０⇒１b＜ １ x＜ １ a． ２．有关分数的性质 若a＞b＞０,m＞０,则 (１)真分数的性质 b a＜ b＋m a＋m ;b a＞ b－m a－m (b－m＞０)． (２)假分数的性质 a b＞ a＋m b＋m ;a b＜ a－m b－m (b－m＞０)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个 数,不等号方向不变． (　　) (２)一个非零实数越大,则其倒数就越小． (　　) (３)同向不等式具有可加和可乘性． (　　) (４)a＞b＞０,c＞d＞０⇒ad＞ b c． (　　) (５)若ab＞０,则a＞b⇔１a＜ １ b． (　　) [小题查验] １．设 M＝x２,N＝－x－１,则 M 与 N 的大小关 系是 (　　 ) A．M＞N　　　　　　　　B．M＝N C．M＜N D．与x有关 ２．限速４０km/h的路标,指示司机在前方路段行驶 时,应使汽车的速度v不超过４０km/h,写成不 等式就是 (　　 ) A．v＜４０km/h B．v＞４０km/h C．v≠４０km/h D．v≤４０km/h ３．(２０２５􀅰全国二卷)不等式x－４x－１≥２ 的解集是 (　　) A．{x|－２≤x≤１} B．{x|x≤－２} C．{x|－２≤x＜１} D．{x|x＞１} ４．用不等号“＞”或“＜”填空． (１)a＞b,c＜d⇒a－c　　　　b－d; (２)a＞b＞０,c＜d＜０⇒ac　　　　bd; (３)a＞b＞０⇒ ３ a　　　　 ３ b; (４)a＞b＞０⇒１ a２ 　　　　１ b２ ． ５．已知a＞b＞０,且c＞d＞０,则 ad 与 b c 的大小 关系是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　用不等式(组)表示不等关系(自主练透) [题组集训] １．已知甲、乙两种食物的维生素 A,B含量如下表: 食物种类 甲 乙 维生素 A(单位/kg) ６００ ７００ 维生素B(单位/kg) ８００ ４００ 设用甲、乙 两 种 食 物 各 xkg,ykg 配 成 至 多 １００kg的混合食物,并使混合食物内至少含有 ５６０００单位维生素 A和６２０００单位维生素B,则 x,y应满足的所有不等关系为　　　　． ２．某商人如果将进货单价为８元的商品按每件 １０元销售,每天可销售１００件．现在他采用提高 售价,减少进货量的办法增加利润．已知这种商 品的售价每提高１元,销售量就相应减少１０件． 若把提价后商品的售价设为x元,用x表示每天 的利润不低于３００元的不等关系为　　　　． 用不等式(组)表示不等关系的常见类型及解题策略 (１)常见类型 ①常量与常量之间的不等关系; ②变量与常量之间的不等关系; ③函数与函数之间的不等关系; ④一组变量之间的不等关系． (２)解题策略 ①分析题目中有哪些未知量; ②选择其中起关键作用的未知量,设为x, 再用x来表示其他未知量; ③根据题目中的不等关系列出不等式(组)． 提醒:①在列不等式(组)时要注意变量自身 的范围,解题时极易忽略,从而导致错解． ②将实际问题中的不等关系写成相应的不等 式(组)时,应注意关键性的文字语言与对应 数学符号语言之间的正确转换,常见的转换 关系如下表: 文字 语言 大于, 高于, 超过 小于, 低于, 少于 大于等 于,至少, 不低于 小于等 于,至多, 不超过 符号 语言 ＞ ＜ ≥ ≤ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 考点二　比较两个数(式)的大小(师生共研) [典例]　(１)已知a１,a２∈(０,１),记 M＝a１a２,N＝ a１＋a２ －１,则 M 与N 的大小关系是 (　　 ) A．M＜N　　　　　　　　B．M＞N C．M＝N D．不确定 (２)已知a≠１且a∈R,试比较 １１－a 与１＋a的 大小． [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋(２) 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[互动探究] 若将本例(１)中a１,a２∈(０,１)这个条件去掉,又 将如何判断 M,N 的关系? 　　 比较两个数大小的常用方法 (１)作差法:其基本步骤为:作差、变形、判断符 号、得出结论,用作差法比较大小的关键是判 断差的正负,常采用配方、因式分解、分子(分 母)有理化等变形方法． (２)作商法:即判断商与１的关系,得出结论,要 特别注意当商与１的大小确定后必须对商 式分子分母的正负做出判断,这是用作商法 比较大小时最容易漏掉的关键步骤． (３)特值验证法:对于一些题目,有的给出取值 范围,可采用特值验证法比较大小． [跟踪训练] 已知实数a、b、c,满足b＋c＝６－４a＋３a２,c－b＝ ４－４a＋a２,则a、b、c的大小关系是 (　　 ) A．c≥b＞a B．a＞c≥b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　不等式的性质及应用(多维探究) 逻辑推理———不等式的性质及应用中的核心素养 　　逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重 要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学 活动中进行交流的基本思维品质．应用不等式的性 质可以判断或证明不等式是否成立,进一步增强逻 辑推理的核心素养． [命题角度１]　判断或证明不等式是否成立 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．若２a＋log２a＝４b＋２log４b,则 (　　) A．a＞２b　　　　　　　B．a＜２b C．a＞b２ D．a＜b２ ２．若a＞b,则 (　　) A．ln(a－b)＞０ B．３a＜３b C．a３－b３＞０ D．|a|＞|b| (１)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判 断或反例说明．常用的推理判断需要利用不 等式的性质． (２)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把 要判断的命题和不等式性质联系起来考虑, 找到与命题相近的性质,并应用性质判断命 题真假,当然判断的同时还要用到其他知 识,比如对数函数,指数函数的性质等． [命题角度２]　求某些代数式的取值范围 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．设f(x)＝ax２＋bx,１≤f(－１)≤２,２≤f(１)≤４, 则f(－２)的取值范围是　　　　． [破题关键点]　一是将f(－２)用f(－１)和f(１) 表示 出 来;二 是 求 f (－２)＝４a－２b 在 １≤f(－１)≤２, ２≤f(１)≤４,{ 即 在 １≤a－b≤２ ２≤a＋b≤４{ 条 件 下 的 最值． 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围 应注意两点:一是必须严格运用不等式的性 质;二是在多次运用不等式的性质时有可能 扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建 立所求范围的整体与已知范围的整体的等量 关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求 解范围． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关三 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 [典例]　[解析]　由(x－a)(x－a－１)＞０,得x＞a＋１或x＜ a,由题意,得{x|－２≤x≤１０}⫋{x|x＞a＋１,或x＜a}, 所以a＋１＜－２或a＞１０,即a＜－３或a＞１０． 所以实数a的取值范围是(－∞,－３)∪(１０,＋∞)． [答案]　(－∞,－３)∪(１０,＋∞) 互动探究 解析:由(x－a)(x－a－１)≥０,得x≥a＋１或x≤a,由 题意得{x|－２＜x＜１０}⫋{x|x≥a＋１,或x≤a}．所以a ＋１≤－２,或a≥１０,即a≤－３,或a≥１０．所以a的取值 范围是(－∞,－３]∪[１０,＋∞)． 答案:(－∞,－３]∪[１０,＋∞) 跟踪训练 　B　[由１４＜２ x＜１６,得－２＜x＜４, 即p:－２＜x＜４． 方程(x＋２)(x＋a)＝０的两个根分别为－a,－２． ①若－a＞－２,即a＜２,则条件q:(x＋２)(x＋a)＜０等价于 －２＜x＜－a,由p是q的充分不必要条件可得－a＞４,则a ＜－４; ②若－a＝－２,即a＝２,则q:(x＋２)(x＋a)＜０无解,不 符合题意; ③若－a＜－２,即a＞２,则q:(x＋２)(x＋a)＜０等价于 －a＜x＜－２,不符合题意． 综上,可得a的取值范围为(－∞,－４)．] 考点二 １．D　[A显然正确;由指数函数的性质知２x－１＞０恒成立, 所以B正确;当０＜x＜１０时,lgx＜１,所以C正确;因为 sinx＋cosx＝ ２sin x＋π４( ) , 所以－ ２≤sinx＋cosx≤ ２,所以 D错误．] ２．C　[因为a＞０,所以函数f(x)＝ax２＋bx＋c在x＝－b２a 处 取得最小值．所以f(m)是函数f(x)的最小值．] ３．B　[对于选项 A,sinx＋cosx＝ ２sin x＋π４( ) ≤ ２,所 以 此 命 题 不 成 立;对 于 选 项 B,x２ －２x－１＝ (x－１)２－２,当x＞３时,(x－１)２－２＞０,所以此命题成 立;对于选项 C,x２＋x＋１＝ x＋１２( ) ２ ＋ ３４ ＞０ ,所 以 x２＋x＝－１对 任 意 实 数x 都 不 成 立,所 以 此 命 题 不 成 立;对于选项D,当x∈ π２ ,π( ) 时,tanx＜０,sinx＞０,命 题显然不成立．] ４．D　[根据存在量词命题的否定,存在量词改为全称量 词,同时把小于等于号改为大于号．] ５．C　[命题p:所有指数函数都是单调函数,则􀱑p:存在 一个指数函数,它不是单调函数．] ６．C　[因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以􀱑p: “任意x∈[１,＋∞),使得(log２３)x≤１”．] ７．A　[由已知可得命题p 为真命题,命题q为真命题,所 以p∧q为真命题．] ８．A　[依题意可得f(－１)􀅰f(１)＜０,即(－２a－a＋３)􀅰 (２a－a＋３)＜０,解得a＜－３或a＞１．] ９．解析:“对∀x∈R,kx２－kx－１＜０”是真命题,当k＝０时,则 有－１＜０;当k≠０时,则有k＜０且Δ＝(－k)２－４×k×(－１) ＝k２＋４k＜０,解得－４＜k＜０,综上所述,实数k的取值 范围是(－４,０]． 答案:(－４,０] １０．解析:当x∈[０,３]时,f(x)min＝f(０)＝０, 当x∈[１,２]时,g(x)min＝g(２)＝ １ ４－m , 由f(x)min≥g(x)min, 得０≥１４－m ,所以m≥１４． 故实数m 的取值范围是 １４ ,＋∞[ )． 答案: １ ４ ,＋∞[ ) 引申探究 　解析:当x∈[１,２]时,g(x)max＝g(１)＝ １ ２－m , 由f(x)min≥g(x)max,得０≥ １ ２－m ,∴m≥１２． 故实数m 的取值范围是 １２ ,＋∞[ )． 答案: １ ２ ,＋∞[ ) 跟踪训练 　B　[原命题的否定为∀x∈R,２x２＋(a－１)x＋１２＞０ ,由 题意知,其为真命题,即Δ＝(a－１)２－４×２×１２＜０ ,则－２ ＜a－１＜２,即－１＜a＜３．] 第３节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(１)＞　＜　(２)＞　＜　２．b＜a　a＞c　a＋c＞b＋c　 ac＞bc　ac＜bc　a＋c＞b＋d　ac＞bd　an＞bn 思考辨析　(１)×　(２)×　(３)×　(４)√　(５)√ 小题查验 １．A　２．D　３．C　４．(１)＞　(２)＜　(３)＞　(４)＜ ５． ad ＞ b c 跃升􀅰关键能力　考点一 １．解析:依题意,有 x＋y≤１００, ６００x＋７００y≥５６０００, ８００x＋４００y≥６２０００, x≥０, y≥０, ì î í ï ï ïï 整理化简得 x＋y≤１００, ６x＋７y≥５６０, ２x＋y≥１５５, x≥０,y≥０． { 答案: x＋y≤１００ ６x＋７y≥５６０ ２x＋y≥１５５ x≥０,y≥０ { ２．解析:若提价后商品的售价为x元,则销售量减少x－１０１ ×１０件,因此,每天的利润为(x－８)[１００－１０(x－１０)] 元,则“每天的利润不低于３００元”可以表示为不等式(x －８)[１００－１０(x－１０)]≥３００．即x２－２８x＋１９０≤０,同 时１０≤x≤２０． 答案:x２－２８x＋１９０≤０(１０≤x≤２０) 考点二 [典例]　[解析]　(１)B　[因为 M－N＝a１a２－a１－a２＋１ ＝a１(a２－１)－(a２－１)＝(a１－１)(a２－１), 又a１,a２∈(０,１),所以a１－１＜０,a２－１＜０, 所以(a１－１)(a２－１)＞０,所以 M＞N．] (２)[解]　∵ １１－a－ (１＋a)＝ a ２ １－a , ①当a＝０时,a ２ １－a＝０ ,∴ １１－a＝１＋a． ②当a＜１,且a≠０时,a ２ １－a＞０ ,∴ １１－a＞１＋a． ③当a＞１时,a ２ １－a＜０ ,∴ １１－a＜１＋a． 互动探究 解:作差,即 M－N＝(a１－１)(a２－１)． ①当a１,a２∈(－∞,１)时,(a１－１)(a２－１)＞０, 即 M＞N; ②当a１,a２∈(１,＋∞)时,(a１－１)(a２－１)＞０, 即 M＞N; ③当a１,a２ 中一个小于或等于１,另一个大于或等于１ 时,(a１－１)(a２－１)≤０,即 M≤N． 综上,当a１,a２∈(－∞,１)或a１,a２∈(１,＋∞)时,M＞ N,当a１,a２ 中一个小于或等于１,另一个大于或等于１ 时,M≤N． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９９２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案 跟踪训练 　A　[∵c－b＝４－４a＋a２＝(２－a)２≥０,∴c≥b． ∵(b＋c)－(c－b)＝２a２＋２,∴b＝a２＋１, ∴b－a＝a２－a＋１＞０,∴b＞a．综上可知,a、b、c的大小 关系是c≥b＞a．] 考点三 １．B　[由指数与对数运算可得:２a＋log２a＝４b＋２log４b＝ ２２b＋log２b,又 因 为 ２２b＋log２b＜２２b＋log２b＋１＝２２b＋ log２２b,即２a＋log２a＜２２b＋log２２b,令f(x)＝２x＋log２x, 由指,对函数单调性可得f(x)在(０,＋∞)上单调递增, 由f(a)＜f(２b),可得a＜２b．] ２．C　[若a＞b,则a３＞b３,即a３－b３＞０．] ３．解析:法一:设f(－２)＝mf(－１)＋nf(１)(m,n为待定 系数),则４a－２b＝m(a－b)＋n(a＋b), 即４a－２b＝(m＋n)a＋(n－m)b． 于是得 m＋n＝４ n－m＝－２{ ,解得 m＝３ n＝１{ , ∴f(－２)＝３f(－１)＋f(１)． 又∵１≤f(－１)≤２,２≤f(１)≤４, ∴５≤３f(－１)＋f(１)≤１０,故５≤f(－２)≤１０． 法二:由 f(－１)＝a－b f(１)＝a＋b{ , 得 a＝１２ [f(－１)＋f(１)] b＝１２ [f(１)－f(－１)] ì î í ïï ï , ∴f(－２)＝４a－２b＝３f(－１)＋f(１)． 又∵１≤f(－１)≤２,２≤f(１)≤４, ∴５≤３f(－１)＋f(１)≤１０,故５≤f(－２)≤１０． 答案:[５,１０] 第４节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(１)大于　(２)判别式　(３)Δ≥０　(４)交点　２．{x|x＜x１,或 x＞x２}　 x|x≠－ b ２a{ }　R　{x|x１＜x＜x２}　⌀　⌀ 思考辨析　(１)√　(２)√　(３)×　(４)×　(５)√ 小题查验 １．D　２．D　３．C　４．(１,３)　５．(－１,３) 跃升􀅰关键能力　考点一 　解:(１)由Δ＝９－１６＝－７＜０,故不等式的解集为⌀． (２)原不等式等价于３x２＋２x－８≥０⇔(x＋２)(３x－４)≥ ０⇔x≤－２或x≥４３ , 故不等式的解集为 x|x≤－２,或x≥４３{ }． (３)原不等式可化为(x－１)(ax－１)＜０, ∴①当a＝０时,可解得x＞１, ②当a＞０时,不等式可化为(x－１)x－１a( ) ＜０, ∴当a＝１时,不等式可化为(x－１)２＜０,解集为⌀; 当０＜a＜１时,１a＞１ ,不等式的解集为 x|１＜x＜１a{ }; 当a＞１时,１a＜１ ,不等式的解集为 x|１a＜x＜１{ }; 当a＜０时,不等式可化为(x－１)x－１a( ) ＞０, ∴不等式的解集为 x|x＞１,或x＜１a{ }, 综上可知,当a＜０时, 不等式的解集为 x|x＞１,或x＜１a{ }; 当a＝０时,解集为{x|x＞１}; 当０＜a＜１时,不等式的解集为 x|１＜x＜１a{ }; 当a＝１时,不等式的解集为⌀; 当a＞１时,不等式的解集为 x|１a＜x＜１{ }． 考点二 １．D　[２kx２＋kx－３８＜０ 对一切实数x都成立, 因２kx２＋kx－３８＜０ 是一元二次不等式,所以k≠０． 则必有 ２k＜０, Δ＝k２－４×２k× －３８( ) ＜０,{ 解得－３＜k＜０．] ２．解析:要使f(x)＜－m＋５在[１,３]上恒成立, 则mx２－mx＋m－６＜０, 即m x－１２( ) ２ ＋３４m－６＜０ 在x∈[１,３]上恒成立． 有以下两种方法: 法一:令g(x)＝m x－１２( ) ２ ＋３４m－６ ,x∈[１,３]． 当m＞０时,g(x)在[１,３]上是增函数, 所以g(x)max＝g(３)＝７m－６＜０． 所以m＜６７ ,则０＜m＜６７． 当m＜０时,g(x)在[１,３]上是减函数, 所以g(x)max＝g(１)＝m－６＜０． 所以m＜６,所以m＜０． 综上所述,m的取值范围是 m|０＜m＜６７ ,或m＜０{ }． 法二:因为x２－x＋１＝ x－１２( ) ２ ＋３４＞０ , 又因为m(x２－x＋１)－６＜０,所以m＜ ６ x２－x＋１ ． 因为函数y＝ ６x２－x＋１ ＝ ６ x－１２( ) ２ ＋３４ 在[１,３]上的 最小值为６ ７ ,所以只需m＜６７ 即可． 因为m≠０,所以m 的取值范围是 m|０＜m＜６７ ,或m＜０{ }． 答案:m|０＜m＜６７ ,或m＜０{ } ３．C　[把不等式的左端看成关于a的一次函数, 记f(a)＝(x－２)a＋x２－４x＋４, 则由f(a)＞０对于任意的a∈[－１,１]恒成立, 所以f(－１)＝x２－５x＋６＞０, 且 f (１)＝x２ －３x ＋２＞０ 即 可,解 不 等 式 组 x２－５x＋６＞０, x２－３x＋２＞０,{ 得x＜１或x＞３．] 考点三 [典例]　[解析]　(１)由 题 意 得y＝[１２(１＋０．７５x)－ １０(１＋x)]×１００００×(１＋０．６x)(０＜x＜１), 整理得y＝－６０００x２＋２０００x＋２００００(０＜x＜１)． (２)要 保 证 本 年 度 的 年 利 润 比 上 年 度 有 所 增 加,必 须 有 y－(１２－１０)×１００００＞０, ０＜x＜１,{ 即 －６０００x ２＋２０００x＞０, ０＜x＜１,{ 解得０＜x＜ １ ３ , 所以投入成本增加的比例应在 ０,１３( ) 范围内． 跟踪训练 解:(１)降低税率后的税率为(１０－x)％, 农产品的收购量为a(１＋２x％)万担, 收购总金额为２００a(１＋２x％)万元． 依题意得y＝２００a(１＋２x％)(１０－x)％ ＝１５０a (１００＋２x)(１０－x)(０＜x＜１０)． (２)原计划税收为２００a􀅰１０％＝２０a(万元)． 依题意得１ ５０a (１００＋２x)(１０－x)≥２０a×８３．２％, 化简得x２＋４０x－８４≤０,解得－４２≤x≤２． 又∵０＜x＜１０,∴０＜x≤２． ∴x的取值范围为(０,２]． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰００３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学