第1节 集合-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

学习讲义􀅰参考答案 第一章　　第１节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．(１)确定性　无序性　互异性　(２)∈　∉　(４)列举法 描述法　图示法　２．A⊆B(或B⊇A)　A⫋B 或B⫌A　 A＝B　３．A∩B　x∈A,或x∈B　x∈A,且x∈B {x|x∈U,且x∉A}　A　A　⌀　A　U　⌀　A 思考辨析　(１)×　(２)×　(３)×　(４)×　(５)× 小题查验 １．B　２．D　３．C　４．C　５．{－１,０} 跃升􀅰关键能力　考点一 １．A　[∵x２＋y２≤３,∴x２≤３, ∵x∈Z,∴x＝－１,０,１, 当x＝－１时,y＝－１,０,１; 当x＝０时,y＝－１,０,１; 当x＝１时,y＝－１,０,１; 所以A 中的元素共有９个．] ２．D　[若集合A 中只有一个元素,则方程ax２－３x＋２＝０ 只有一个实根或有两个相等实根． 当a＝０时,x＝２３ ,符合题意; 当a≠０时,由Δ＝(－３)２－８a＝０,解得a＝９８ , 综上可知,a的取值为０或９８． ] ３．解析:因为３∈A,所以m＋２＝３或２m２＋m＝３． 当m＋２＝３,即m＝１时,２m２＋m＝３, 此时集合A 中有重复元素３, 所以m＝１不符合题意,舍去． 当２m２＋m＝３时,解得m＝－３２ 或m＝１(舍去), 此时当m＝－３２ 时,m＋２＝１２≠３ 符合题意． 所以m＝－３２． 答案:－３２ ４．解析:由 M＝N,知 n＝１ , log２n＝m{ 或 n＝m, log２n＝１,{ ∴ m＝０ , n＝１,{ 或 m＝２, n＝２．{ ∴(m－n) ２０２５＝－１或０． 答案:－１或０ 考点二 [典例]　[解析]　(１)由题意,得B＝{－１,１}, 因为A⊆B,所以当A＝⌀时,a＝０; 当A＝{－１}时,a＝－１;当A＝{１}时,a＝１． 又A 中至多有一个元素, 所以a的取值构成的集合是{－１,０,１}． (２)当B＝⌀时,有m＋１≥２m－１,则m≤２． 当B≠⌀时,若B⊆A,如图． 则 m＋１≥－２ ２m－１≤７ m＋１＜２m－１{ ,解得２＜m≤４． 综上,m 的取值范围为m≤４． [答案]　(１)D　(２){m|m≤４} 互动探究 解析:由题意,得B＝{x|x＞１,或x＜－１}, 对于集合A,①当a＞０时,A＝ x x＞１a{ }． 因为A⊆B,所以１a≥１． 又a＞０,所以０＜a≤１． ②当a＜０时,A＝ x x＜１a{ }． 因为A⊆B,所以１a≤－１ , 又a＜０,所以－１≤a＜０, 综上所述,０＜a≤１,或－１≤a＜０． 故a的取值范围是[－１,０)∪(０,１]． 答案:[－１,０)∪(０,１] 跟踪训练 １．B　[由x３＜２７,解得x＜３,所以A＝{x∈N|x３＜２７}＝ {x∈N|x＜３}＝{０,１,２},所以A 的子集有２３＝８个．故 选B．] ２．解析:由x＋２x－２≤０ ,得－２≤x＜２,所以A＝{x|－２≤x＜ ２},则∁RA＝{x|x＜－２,或x≥２}, 由log２x≥a,得x≥２a,又B⊆(∁RA),所以２a≥２, 解得a≥１．故a的取值范围是[１,＋∞)． 答案:[１,＋∞) 考点三 １．D　[因为 M＝{x|２x－１＞５}＝{x|x＞３},所以M∩N＝ ∅,故选:D．] ２．D　[由并集运算,得A∪B＝{１,２,４,６}．] ３．D　[A＝{１,３},B＝{２,３,５},A∪B＝{１,２,３,５} ∴∁U(A∪B)＝{４}．] ４．解析:∵U＝{x|２≤x≤５},A＝{x|２≤x＜４}, ∴􀭿A＝{x|４≤x≤５}． 答案:{x|４≤x≤５} ５．C　[由题意可知x＝１是方程x２－４x＋m＝０的解,代入 解得m＝３,所以x２－４x＋３＝０,解得x＝１或x＝３,从 而B＝{１,３}．] ６．解析:∁RB＝{x|x＜１,或x＞２}, 要使A∪(∁RB)＝R, 则a≥２．故实数a的取值范围是[２,＋∞)． 答案:[２,＋∞) 第２节 夯实􀅰必备知识　必备知识 １．充分条件　必要条件　充分不必要　必要不充分　充要　 既不充分也不必要　２．(１)∀　(２)∃　３．∀x∈M,p(x)　 ∃x∈M,􀱑p(x)　∃x∈M,p(x)　∀x∈M,􀱑p(x) 思考辨析　(１)√　(２)√　(３)√　(４)√ 小题查验 １．B　２．A　３．∀x∈[－１,１],x２≤a　４．充分不必要 ５．∃x∈(０,＋∞),x≤x＋１ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．A　[由x＝０⇒sin２x＝sin０＝０,由sin２x＝０⇒２x＝kπ,x ＝kπ２ ,k∈Z不一定为x＝０ ∴sin２x＝０⇒/x＝０ ∴x＝０是sin２x＝０的充分不必要条件．] ２．A　[若sinx＝１,则x＝π２＋２kπ ,k∈Z, cosx＝０;若cosx＝０,则x＝π２＋kπ ,k∈Z,sinx＝１或 sinx＝－１．故sinx＝１可推出cosx＝０,充分性成立;反 之不成立,必要性不成立,故为充分不必要条件．] ３．B　[由a２＝b２,则a＝±b,当a＝－b≠０时,a２＋b２＝２ab 不成立,充分性不成立; 由a２＋b２＝２ab,则(a－b)２＝０,即a＝b, 显然a２＝b２ 成立,必要性成立; 所以“a２＝b２”是“a２＋b２＝２ab”的必要不充分条件．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８９２􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 [上篇]　知识必备一遍通 第１节　集　合 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的从属 关系． ２．针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上, 用符号语言刻画集合． ３．在具体情境中,了解全集与空集的含义． ４．理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合 的子集． ５．理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合 的并集与交集． ６．理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给 定子集的补集． ７．能使用 Venn图表达集合的基本关系与基本运算, 体会图形对理解抽象概念的作用 １．集合的基本概念, 形成直观想象和 提升数学运算的 素养． ２．集合间的基本关 系,提升逻辑推理 和 数 学 运 算 的素养． ３．集合的基本运算, 形成直观想象,提 升逻辑推理和发 展 数 学 运 算 的 素养 　　集合的概念及运算的考 查以集合的运算为主,其中 交、并、补集的运算以及两集 合包含关系的考查是高考的 热点;多以选择题或填空题 的形式出现,一般难度不大, 属低档题型,通常与函数、方 程、不等式等知识结合,也常 出现新情境设置题,考查考 生函数与方程、转化与化归、 数形结合等数学思想的运用 以及对新情境设置题的阅读 理解能力 [必备知识] １．集合的基本概念 (１)集合元素的性质:　　　　　、　　　　　、 　　　　　． (２)元素与集合的关系 ①属于,记为　　;②不属于,记为　　． (３)常见数集的记法 集合 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N∗(或N＋) Z Q R (４)集合的表示方法:①　　　　;②　　　　　; ③　　　　． ２．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子 集 集合 A 中 所 有 元素都在集合B 中(即若x∈A, 则x∈B) 　　　　　 　　　　　 真 子 集 集合A 是集合B 的子集,且集合B 中至少有一个元 素不在集合A中 　　　　　 　　　　　 集 合 相 等 集合A,B中的元 素相同或集合A, B互为子集 　　　　　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 ３．集合的基本运算 基本 运算 并集 交集 补集 符号 表示 A∪B 　　　 若 全 集 为 U,则集合A 的 补 集 为 ∁UA 图形 表示 数学 语言 {x|　　　 　　　　} {x|　　　 　　　　} 　　　　　 　　　　　 运算 性质 A∪⌀＝　　; A∪A＝　　; A∪B＝B∪A A∩⌀＝　　; A∩A＝　　; A∩B＝B∩A A∪(∁UA)＝ 　 　;A ∩ (∁UA)＝　　; ∁U(∁UA)＝ 　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．A∪B＝A⇔B⊆A,A∩B＝A⇔A⊆B． ２．若集合A中含有n个元素,则它的子集个数为２n, 真子集个数为２n－１,非空真子集个数为２n－２． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)⌀＝{０}． (　　) (２)空集是任何集合的子集,两元素集合是三元 素集合的子集． (　　) (３)a在集合A中,可用符号表示为a⊆A． (　　) (４)N⊆N∗ ⊆Z． (　　) (５)若A＝{x|y＝x２},B＝{(x,y)|y＝x２},则 A∩B＝{x|x∈R}． (　　) [小题查验] １．(２０２５􀅰山东实验中学押题卷)设集合 A＝{０, －a},B＝{１,a－２,２a－２},若A⊆B,则a＝ (　　) A．２ B．１ C．２３ D．－１ ２．(２０２５􀅰全国二卷)已知集合 A＝{－４,０,１,２, ８},B＝{x|x３＝x},则A∩B＝ (　　) A．{０,１,２} B．{１,２,８} C．{２,８} D．{０,１} ３．(２０２４􀅰北京卷)已知集合 M＝{x|－３＜x＜１}, N＝{x|－１≤x＜４},则 M∪N＝ (　　) A．{x|－１≤x＜１} B．{x|x＞－３} C．{x|－３＜x＜４} D．{x|x＜４} ４．(２０２５􀅰全国一卷)已知全集U＝{x|x是小于９ 的正整数},集合A＝{１,３,５},则∁UA 中元素的 个数为 (　　) A．０ B．３ C．５ D．８ ５．已知A＝{x|２x≤１},B＝{－１,０,１},求 A∩B ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　集合的基本概念(自主练透) [题组集训] １．已知集合A＝{(x,y)|x２＋y２≤３,x∈Z,y∈Z}, 则A 中元素的个数为 (　　 ) A．９ B．８ C．５ D．４ ２．(２０２５􀅰重庆市二模)若集合A＝{x∈R|ax２－ ３x＋２＝０}中只有一个元素,则a＝ (　　 ) A．９２ B． ９ ８ C．０ D．０ 或９ ８ ３．已知集合A＝{m＋２,２m２＋m},若３∈A,则m＝ 　　　　． ４．已知集合 M＝{１,m},N＝{n,log２n},若 M＝N, 则(m－n)２０２５＝　　　　． １．研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满 足的属性,对于含有字母的集合,在求出字母 的值后,要注意检验集合的元素是否满足互 异性． ２．对于集合相等的问题,首先要分析已知元 素与另一个集合中哪一个元素相等,分几 种情况列出方程(组)进行求解,要注意检 验是否满足互异性． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 考点二　集合间的基本关系(师生共研) [典例]　(１)已知集合A＝{x|ax＝１},B＝{x|x２－１ ＝０},若A⊆B,则a的取值构成的集合是 (　　) A．{－１}　　　　　　　　　B．{１} C．{－１,１} D．{－１,０,１} (２)已知集合A＝{x|－２≤x≤７},B＝{x|m＋１ ＜x＜２m－１},若B⊆A,则实数 m 的取值范围 是　　　　　　　． [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　(２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 [互动探究] 本例(１)中若A＝{x|ax＞１(a≠０)},B＝{x|x２ －１＞０},其他条件不变,则a 的 取 值 范 围 是 　　　　． 　　 由集合的关系求参数的关键点 由两集合的关系求参数,其关键是将两集合的 关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满 足的关 系,解 决 这 类 问 题 要 合 理 利 用 数 轴、 Venn图帮助分析,而且常要对参数进行讨论, 注意区间端点的取舍． 提醒:解决两个集合的包含关系时,要注意空集 的情况． [跟踪训练] １．已知集合A＝{x∈N|x３＜２７},则A 的子集的个 数是 (　　) A．４　　　B．８　　　C．１６　　　D．３２ ２．(２０２４􀅰青岛三模)已知集合A＝ x x＋２x－２≤０{ }, B＝{x|log２x≥a},若B⊆(∁RA),则a的取值范 围是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　集合的基本运算(多维探究) [命题角度１]　求交集、并集 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(２０２５􀅰北京卷)集合M＝{x|２x－１＞５},N＝{１,２, ３},则M∩N＝ (　　) A．{１,２,３} B．{２,３} C．{３} D．∅ ２．(２０２５􀅰四川质检)设集合A＝{１,２},B＝{２,４,６}则 A∪B＝ (　　) A．{２} B．{１,２} C．{２,４,６} D．{１,２,４,６} [命题角度２]　集合的交、并、补的综合运算 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．(２０２５􀅰天津卷)已知全集U＝{１,２,３,４,５},集合A ＝{１,３},B＝{２,３,５},则∁U(A∪B)＝ (　　) A．{１,２,３,４} B．{２,３,４} C．{２,４} D．{４} ４．(２０２５􀅰上海卷)已知全集U＝{x|２≤x≤５,x∈R}, 集合A＝{x|２≤x＜４,x∈R},则A＝　　　． [命题角度３]　利用集合的基本运算求参数的取 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 值(范围) 􀪋􀪋􀪋􀪋 ５．设集合A＝{１,２,４},B＝{x|x２－４x＋m＝０}．若 A∩B＝{１},则B＝ (　　 ) A．{１,－３} B．{１,０} C．{１,３} D．{１,５} ６．已知集合A＝{x|x≤a},B＝{x|１≤x≤２},且 A∪(∁RB)＝R,则实数a的取值范围是　　　　． 　　 解集合运算问题应注意以下三点 (１)看元素组成．集合是由元素组成的,从研究 集合中元素的构成入手是解决集合运算问 题的关键． (２)对集合化简．有些集合是可以化简的,先化 简再研究其关系并进行运算,可使问题简单 明了、易于解决． (３)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合 形式有数轴、坐标系和 Venn图． 　提醒:Venn图 图 示 法 和 数 轴 图 示 法 是 进 行集合交、并、补运算的常用方法,其中运 用数轴图 示 法 要 特 别 注 意 端 点 是 实 心 还 是空心． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关一 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第一章　集合、常用逻辑用语、不等式