精品解析：山西省山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期8月（总第一次）模块诊断数学试题

山西大学附中 2025～2026学年第一学期高三8月模块诊断（总第一次） 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张新媛 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 4. 在 中，角 所对的边分别为，若，，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，若，则（    ） A. B. C. D. 6. 某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 满意度计分的众数约为75分 C. 满意度计分的平均分约为79分 D. 满意度计分的第25百分位数约为70分 7. 如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，的定义域为，，且满足，，则（ ） A. B. 1 C. 2025 D. 2026 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，或” C. 如果，那么“”是“”的充分不必要条件 D. 当时，不等式恒成立，则 的取值范围是 10. 如图，在直三棱柱中，，，点 是线段上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 当 为的中点时，平面 B. 四面体的体积为定值 C. 的最小值为 D. 为定值9 11. 已知函数，，则下列正确的选项有（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若函数是增函数，则实数 的取值范围为 C. 当 时，若是函数与函数的交点，则 D. 若，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若复数 满足，则复数 的虚部为_________．． 13. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为__________. 14. 若对任意，当时恒有，则 的取值范围是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知椭圆， 为椭圆上一点，分别为它的左右焦点， 到距离之和为4，离心率． （1）求椭圆 的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，求三角形面积． 16. 2025年被称为中国“体重管理年”，国家卫生健康委员会联合多部门发布了《2025年全民健康体重管理行动计划》，旨在通过政策引导、科学宣教和社区支持，帮助民众树立健康生活方式，实现长期体重管理．为了解居民体育锻炼情况，某区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查．统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表． 年龄次数 每周0~2次 70 55 36 59 每周3~4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，取随机变量，求的值． 参考公式：． 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. （1）求数列，的通项公式； （2）数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 18. 在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中，设甲在接下来第球比赛中获胜的概率为. （1）若，求甲以获胜的概率； （2）求与的关系； （3）证明：. 19. 设函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若 且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2025～2026学年第一学期高三8月模块诊断（总第一次） 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张新媛 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】集合 为函数的定义域，集合 为函数的值域，再根据交集的运算求解. 【详解】，，所以， 故选：D. 2. 已知向量，满足，，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据向量的垂直关系求出向量夹角的余弦值，然后结合向量的数量积求出模即可. 【详解】因为， 所以， 解得， 所以. 故选：B. 3. 已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数性质，列出方程，求出参数，求出奇数项的二项式系数和. 【详解】由二项式系数性质可知，第4项的二项式系数为，第7项的二项式系数为， 当时，可知； 可得，则奇数项的二项式系数和为. 故选：B. 4. 在 中，角 所对的边分别为，若，，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求出的值，再根据面积公式求出三角形面积. 【详解】由余弦定理得，代入， 整理可得，所以. 故选：B 5. 已知函数的部分图象如图所示，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数的解析式，然后由得出的值，最后利用二倍角公式求出的值. 【详解】由题图可知相邻对称轴间的距离为，可得， 因此，， 当时，，，故，． 由可得， 由函数的最大值为3可得，因此， 由，得， ∴． 故选：A． 6. 某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 满意度计分的众数约为75分 C. 满意度计分的平均分约为79分 D. 满意度计分的第25百分位数约为70分 【答案】C 【解析】 【分析】由频率分布直方图的面积和为1可得A正确；由频率分布直方图计算众数，平均数，第25百分位数可得B正确，C错误，D正确. 【详解】对于A，由频率分布直方图可得，又， 解得，，故A正确； 对于B，满意度计分的众数为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确； 对于C，满意度计分的平均分约为，故C错误； 对于D，前两组的频率之和为，所以满意度计分的第25百分位数约为70分，故D正确. 故选：C. 7. 如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和 ，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在正四棱台中利用定义找出侧面与底面所成锐二面角，根据其正切值可计算棱台的高，再利用棱台的体积公式即可求. 【详解】取 、的中点 、 ，连接、、， 则由题意可知为侧面与底面所成锐二面角，则， ，得 ，， 在直角梯形中，，则， 则正四棱台的体积为. 故选：A. 8. 已知函数，的定义域为，，且满足，，则（ ） A. B. 1 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件判断函数的对称性，并得到函数的周期性，再通过赋值法，结合函数的性质，即可求和. 【详解】由可得：，又因为..， 所以，即的对称中心为； 由可得：， 即（常数）， 令，则，所以，即的对称轴为； 所以，，故，， 所以，的周期. 因为，所以； 因为，令代入，所以； 根据对称性可知：，，，， 所以. 故选：D 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，或” C. 如果，那么“”是“”的充分不必要条件 D. 当时，不等式恒成立，则 的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式性质，命题逻辑，充分条件判定及二次不等式恒成立的条件，逐一分析选项，验证每个命题的正误. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，原命题“存在x满足”的否定应为“所有x都不满足”，即“所有x都满足或”，原命题表述正确，故B正确； 对于C，若，，则，则，即，必要性成立； 若，，则，所以，充分性成立，所以如果，那么“”是“”的充要条件，故C错误； 对于D，当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，，故D正确. 故选：BD. 10. 如图，在直三棱柱中，，，点 是线段上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 当 为的中点时，平面 B. 四面体的体积为定值 C. 的最小值为 D. 为定值9 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题可得，据此可判断选项正误；对于B，由平面可得到平面距离为定值，据此可判断选项正误；对于C，将平面沿折叠，使平面与平面重合，然后由余弦定理结合题目信息可得最小值；对于D，注意到在方向上的投影向量为，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，因几何体为直棱柱，，则，又M为的中点，则. 又由题可得平面，平面，则. 因平面，， 则平面，即平面，故A正确； 对于B，由题可得，又平面，平面， 则平面，即平面，从而到平面距离为定值， 又也为定值，则四面体的体积为 为定值；故B正确， 对于C，如图，将平面沿折叠，使平面与平面重合， 使变为，则当三点共线时，最小. 因， ，结合几何体为直棱柱. 则，为等腰直角三角形，， 又，则，则由余弦定理： ， 则的最小值为，故C错误； 对于D，，由题可得， 则在方向上的投影向量为， 所以，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，，则下列正确的选项有（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若函数是增函数，则实数 的取值范围为 C. 当 时，若是函数与函数的交点，则 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，通过复合函数定义域的求法即可求解；对于选项B，通过分离参数，利用导数研究函数的单调性与最值计算即可求解；对于选项C，通过变形得到，解出，即可得出结果；对于选项D，通过分类讨论含参函数的单调性，得出，构造函数，利用导数研究其单调性及最值计算即可求解. 【详解】对于选项A，因为的定义域为，所以， 所以，所以的定义域为，故A正确； 对于选项B，因为，且是增函数， 所以，且在定义域上恒成立， 则在上恒成立. 令，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以在时取到最小值，即，所以， 所以实数 的取值范围为，故B错误； 对于选项C，因为， ， 当 时，， 因为是函数与函数的交点， 所以， 即，即， 所以，所以，， 所以，故C正确； 对于选项D，若，则， 令，则， （1）当，即时，则，此时在上单调递增， 且当时，，不符合题意； （2）当，即，令，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以时，取到最小值， 即 即， 所以， 令，则， 易知当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 即当时，取到最大值，即， 所以， 当且仅当，时， 取到最大值，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：构造函数，利用导数研究其单调性及最值是解决函数问题最重要的方法. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若复数 满足，则复数 的虚部为_________．． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数 ，结合复数的概念可得结果. 【详解】由题意可得，故复数 的虚部为. 故答案为：. 13. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程求出的值，再结合双曲线的离心率公式以及来计算离心率. 【详解】已知该双曲线的一条渐近线方程为，所以.  双曲线的离心率（其中为双曲线的半焦距），且满足. 将两边同时平方可得，把代入可得. 由步骤1可知，将其代入上式可得. 因为，所以.  故答案为：. 14. 若对任意，当时恒有，则 的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简题设条件可得，用换元法将问题转化为在上没有零点，对参数 分类讨论，并构造函数，利用导数求函数的最大值即可求解. 【详解】由得， 即， 设，则，所以问题转化为在上没有零点. 当0时，没有零点，满足题意； 当时，由得， 设， 则， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以， 所以. 综上， 的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：将题设化简整理，用换元法将问题转化为在上没有零点是解题关键，本题考查利用导数求函数的最大值，分类讨论思想，函数与方程思想，属于较难题. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知椭圆， 为椭圆上一点，分别为它的左右焦点， 到距离之和为4，离心率． （1）求椭圆 的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，求三角形面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆的性质，求出即可． （2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式及点到直线距离公式求解即得． 【小问1详解】 依题意，，则，由离心率，得，解得， 所以椭圆 的方程为． 【小问2详解】 设，， 由消去 得，解得， 则弦长， 原点 到直线距离， 所以三角形面积． 16. 2025年被称为中国“体重管理年”，国家卫生健康委员会联合多部门发布了《2025年全民健康体重管理行动计划》，旨在通过政策引导、科学宣教和社区支持，帮助民众树立健康生活方式，实现长期体重管理．为了解居民体育锻炼情况，某区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查．统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表． 年龄次数 每周0~2次 70 55 36 59 每周3~4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，取随机变量，求的值． 参考公式：． 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，认为体育锻炼频率的高低与年龄有关 （2） 【解析】 【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论； （2）根据分层随机抽样可知年龄在内的人数分别为1，2，分析可得的所有可能情况为，进而求解即可． 【小问1详解】 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 125 95 220 体育锻炼频率高 75 105 180 合计 200 200 400 零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关， ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于． 【小问2详解】 由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能情况为， ； 所以． 17. 已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. （1）求数列，的通项公式； （2）数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列性质得到方程组，求出，，求出公差和首项，得到通项公式，并根据等比数列通项公式求出； （2）计算出，利用错位相减法求和，得到答案. 【小问1详解】 为等差数列，故， 因为，，所以， 整理得，解得或， 当时，，当时，， 因为，所以，，故， 此时，所以， 因为等比数列的首项，公比为3，得. 【小问2详解】 由题，， ， ， 两式相减得 ， 故. 18. 在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中，设甲在接下来第球比赛中获胜的概率为. （1）若，求甲以获胜的概率； （2）求与的关系； （3）证明：. 【答案】（1）0.176； （2）； （3）证明：由（2）知，， 而，则， 数列是以为首项，为公比的等比数列， 因此，即， 由，得，则数列递增， 所以. 【解析】 【分析】（1）将所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再结合已知求出概率. （2）根据给定条件，利用全概率公式列式即可. （3）由（2）的结论，利用构造法，结合等比数列定义求出通项，再作差判断单调性即可推理得证. 【小问1详解】 依题意，甲以获胜，在接下来的比赛中的情况为：甲乙甲甲或乙甲甲甲， 所以甲以获胜的概率为. 【小问2详解】 设 “在第球比赛中甲获胜”为事件 ，“在第球比赛中甲获胜”为事件 ， ，，， 依题意，， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件 与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键. 19. 设函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若 且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论函数的单调性. （2）①把问题转化为直线与函数图象交点问题，结合导数求解.②判断大小，作差等价转化，利用导数证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ①当 时，， 函数有两个不同的零点， 等价于方程有两个不同的根， 等价于函数的图象与直线有两个不同的交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当 从大于0的方向趋近于0时，在，当时，， 所以的取范围为. ②，不妨令， ， 由①知，，即，而， 只需证明，即证，令， 令，求导得， 函数在上单调递减，，即， 因此，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $