第03讲 等比数列及其前n项和（复习课件）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 讲师：xxx 等比数列及其前n项和 1 01 考情解码·命题预警 智能导览·极速定位 02 体系构建·思维可视 知能解码 知识点1 等比数列的概念 知识点2 等比数列的有关公式 知识点3 等比数列的性质 题型破译 题型1 等比数列基本量计数 题型2 等比数列的判断与证明 题型3 等比数列角标和性质 题型4 等比数列片段和性质 03 核心突破·靶向攻坚 题型5 奇数项与偶数项求和问题 题型6 等比数列与等差数列综合 题型7 等比数列实际应用 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码·命题预警 考点要求w 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）等比数列的有关概念 （2）等比数列的通项公式与求和公式 （3）等比数列的性质 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷T7，（5分） 全国一卷T13，（5分） 北京卷T5，（4分） 全国甲卷（文）T17（1），（5分） 全国甲卷（理）T5，（5分） 全国II卷T8，（5分） 2全国乙卷（理）T15，（5分） 天津卷T19（2），（10分） 天津卷T5，（5分） 考情透视·目标导航 4 考情分析 高考对等比数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查． 复习目标 （1）理解等比数列的概念． （2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． （3）了解等比数列与指数函数的关系． 考情透视·目标导航 5 02 体系构建·思维可视 知识导图·思维引航 03 核心突破·靶向攻坚 ——知能解码 题型破译 知能解码 知识点1 等比数列的概念 题型破译 知能解码 【自主检测】 【详解】 知识点1 等比数列的概念 题型破译 知能解码 知识点2 等比数列的有关公式 题型破译 知能解码 【自主检测】 【详解】 知识点2 等比数列的有关公式 题型破译 知能解码 知识点3 等比数列的性质 题型破译 知能解码 【详解】 【自主检测】 知识点3 等比数列的性质 故选：C . 03 核心突破·靶向攻坚 ——题型破译 题型破译 知能解码 【例1-1】 题型1 等比数列基本量计数 【详解】 【详解】 【例1-2】 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 等比数列基本量计算方法 题型破译 知能解码 【变式1-1】 题型1 等比数列基本量计数 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【变式1-2】 题型1 等比数列基本量计数 【详解】 题型破译 知能解码 【变式1-3】 题型1 等比数列基本量计数 【详解】 题型破译 知能解码 【例2-1】 题型2 等比数列的判断与证明 【详解】 故选：ACD. 题型破译 知能解码 【例2-2】 题型2 等比数列的判断与证明 【详解】 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 判断证明等比数列方法 题型破译 知能解码 【变式2-1】 题型2 等比数列的判断与证明 【详解】 故选：D. 题型破译 知能解码 【变式2-2】 题型2 等比数列的判断与证明 【详解】 题型破译 知能解码 【变式2-3】 题型2 等比数列的判断与证明 【详解】 题型破译 知能解码 【变式2-3】 题型2 等比数列的判断与证明 【详解】 题型破译 知能解码 【例3-1】 题型3 等比数列角标和性质 【详解】 故选：B. 题型破译 知能解码 【例3-2】 题型3 等比数列角标和性质 【详解】 故选：B. 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 等比数列角标和性质 题型破译 知能解码 【变式3-1】 题型3 等比数列角标和性质 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【变式3-2】 题型3 等比数列角标和性质 【详解】 故选：C. 题型破译 知能解码 【变式3-3】 题型3 等比数列角标和性质 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【例4-1】 题型4 等比数列片段和性质 【详解】 故选：C. 题型破译 知能解码 【例4-2】 题型4 等比数列片段和性质 【详解】 故答案为：52 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 等比数列片段和性质 题型破译 知能解码 【变式4-1】 题型4 等比数列片段和性质 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【变式4-2】 题型4 等比数列片段和性质 【详解】 故选：C. 题型破译 知能解码 【例5-1】 题型5 奇数项与偶数项求和问题 【详解】 故选：D. 题型破译 知能解码 【例5-2】 题型5 奇数项与偶数项求和问题 【详解】 故答案为：300. 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 等比数列奇偶项和性质 题型破译 知能解码 【变式5-1】 题型5 奇数项与偶数项求和问题 【详解】 故选：D. 题型破译 知能解码 【变式5-2】 题型5 奇数项与偶数项求和问题 【详解】 故答案为：2. 题型破译 知能解码 【变式5-3】 题型5 奇数项与偶数项求和问题 【详解】 故答案为：2；9. 题型破译 知能解码 【例6-1】 题型6 等比数列与等差数列综合 【详解】 题型破译 知能解码 【例6-2】 题型6 等比数列与等差数列综合 【详解】 题型破译 知能解码 【变式6-1】 题型6 等比数列与等差数列综合 【详解】 题型破译 知能解码 题型6 等比数列与等差数列综合 【详解】 【变式6-1】 题型破译 知能解码 题型6 等比数列与等差数列综合 【详解】 【变式6-2】 题型破译 知能解码 题型6 等比数列与等差数列综合 【详解】 【变式6-2】 题型破译 知能解码 题型6 等比数列与等差数列综合 【详解】 【变式6-3】 题型破译 知能解码 题型6 等比数列与等差数列综合 【详解】 【变式6-3】 题型破译 知能解码 【例7-1】 题型7 等比数列实际应用 【详解】 故答案为：10. 题型破译 知能解码 【例7-2】 题型7 等比数列实际应用 题型破译 知能解码 题型7 等比数列实际应用 【详解】 题型破译 知能解码 题型7 等比数列实际应用 【详解】 题型破译 知能解码 【变式7-1】 题型7 等比数列实际应用 题型破译 知能解码 题型7 等比数列实际应用 【详解】 故选：C. 题型破译 知能解码 题型7 等比数列实际应用 【变式7-2】 【详解】 题型破译 知能解码 题型7 等比数列实际应用 【详解】 故选：C. 题型破译 知能解码 题型7 等比数列实际应用 【变式7-3】 【详解】 题型破译 知能解码 题型7 等比数列实际应用 【详解】 故答案为：2330；85.19 . 04 真题溯源·考向感知 【详解】 真题溯源·考向感知 【1】 故选：C. 64 真题溯源·考向感知 【详解】 【2】 故选：C. 65 真题溯源·考向感知 【详解】 【3】 66 真题溯源·考向感知 【详解】 【4】 67 题型破译 知能解码 题型7 等比数列实际应用 【详解】 真题溯源·考向感知 【详解】 【5】 69 题型破译 知能解码 题型7 等比数列实际应用 【详解】 05 课本典例·高考素材 课本典例·高考素材 【详解】 【1】 故答案为：5. 72 课本典例·高考素材 【详解】 【2】 73 课本典例·高考素材 【详解】 【3】 74 课本典例·高考素材 【详解】 【3】 75 课本典例·高考素材 【详解】 【4】 76 课本典例·高考素材 【详解】 【5】 77 课本典例·高考素材 【详解】 78 讲师：xxx 感谢观看 THANK YOU 79 (1)等比数列的定义 一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 ( )表示．数学语言表达： ， 为常数， . (2)等比中项 如果 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．即： 是 与 的等比中项⇔ ， ， 成等比数列⇔ . 已知数列 满足， ， （n=1,2,...），则 的前4项和为 ． 故答案为：15. 因为 EMBED Equation.KSEE3 , 所以数列 是公比为 的等比数列， 因为 ,所以 , 所以 ， ， ， , . (1)若等比数列 的首项为 ，公比是 ，则其通项公式为 ；可推广为 . (2)等比数列的前 项和公式：当 时， ；当 时， . （2025·陕西·模拟预测）已知 是公比为2的等比数列， 是公差为4的等差数列，若 ，则 的通项公式为 ． 故答案为：4n+1. 由题意可得 ，则 ，即， 则 的通项公式为 . 设数列 是等比数列， 是其前 项和． (1)若 ，则 ，其中 .特别地，若 ，则 ，其中 . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ， ， ，…仍是等比数列，公比为 ( )． (3)若数列 ， 是两个项数相同的等比数列，则数列 ， 和 (其中 ， ， 是非零常数)也是等比数列． 等比数列 中， 是方程 的两个根，则 （   ） A．4 B．-4 C．-4或4 D． 由 是方程 的两个根，可得 ， 因为数列 为等比数列，可得 且 ， 所以 ，所以 4或 -4. 已知等比数列 中， ， ，则公比 . 故答案为：-2. 依题意， ， EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 ，则 ， 解得 ， ，所以 . 已知等比数列 的前n项和为 ，且满足 ， ．求数列 的通项公式． 设等比数列 的公比为 ，由 , ，得 ，解得 . 方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法 (1)方程思想:等比数列的基本量为首项 和公比 ,通常利用已知条件及通项公式或前 项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含 , , , , 五个量,可“知三求二”. (2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用 , 表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解. (3)分类讨论思想:若题目中公比 未知,则运用等比数列前 项和公式时要对 分 和 两种情况进行讨论. 由已知，数列为等比数列， 可求出 ， （与数列为递增数列矛盾，舍去），故 . 已知递增等比数列 的前n项和为 ， ， 则 （   ） A．8 B．6 C．4 D．2 在等比数列 中， ， ， ，所以公比 ． 由前 项和公式及通项公式可得， ，解得 ， ． 在等比数列 中，已知 ， ， ，则 ． 故答案为：5. 等比数列 的公比为 ，由 ， ，得 ， 整理得 ，解得 或 ，所以 或 . 数列 成等比数列，其公比为 ，前 项和为 ．若 ， ，则 ． 故答案为： 或 . 当 时， ，得 当 时，由 有 ， 所以 ，得 所以数列 时以-1为首项，2公比的等比数列，故C正确； ，故A正确； 由 ， ，故B错误； 因为 ，所以 是等比数列，故D正确. （多选）若 为数列 的前 项和，且 ，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C． 是等比数列 D． 是等比数列 （1）已知 ，因为 ，所以 . 当 时， ，即 .   当 时， .先求 ，因为 为偶数， . 再求 ，因为 为奇数， ，即 .   当 时， .先求 ，因为 为偶数， . 再求 ，因为 为奇数， ，即 . （2）证明：由 可得 . 所以 . 则 . 又 . 所以数列 是以6为首项，2为公比的等比数列. 已知数列 满足 ， ． (1)设 ，写出 ；(2)证明数列 为等比数列． 证明 是等比数列 定义法 ( )(或者 ） 等差中项法 判断 是等比数列 的通项关于 的指数函数 （ ， ） 的前 项和 （ ， ， ） 由 得 ， ∴ 为等比数列，∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ① 为奇数时， ，得 ② 为偶数时， ，得 ， ∵ ， 只能为奇数，∴ 为偶数时，无解， 综上所述， . 数列 满足 ， 且其前 项和为 .若 ，则正整数 （    ） A．99 B．103 C．137 D．169 已知数列 的前n项和为 ，若 ，则 ． 当 时， ，所以 ； 当 时， ， 两式相减得， ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 为常数， 故数列 是首项为-1，公比为2的等比数列，所以 . 故答案为： . 已知数列 满足： ， ． (1)求证：数列 是等比数列； (2)求数列 的通项公式及其前n项和 的表达式． （1）证明：由题得， ， ∴ ， ， 所以数列 是以3为首项，公比为3的等比数列. 已知数列 满足： ， ． (1)求证：数列 是等比数列； (2)求数列 的通项公式及其前n项和 的表达式． （2）由（1）得， ，即 ， 所以前n项和 . 由 和 是方程 的两个根，得 ， 又数列 为各项均为正数的等比数列，则 ， 所以 . 已知 为各项均为正数的等比数列， 和 是方程 的两个根，则 （    ） A． B．4 C． D．5 由题得，根据韦达定理可得 ， ，则 ， ， 由等比数列的等比中项性质可得： ，∴ . 因为等比数列的偶数项符号相同， ， 都是负数，设公比为 ，则 ,所以 . 已知数列 为等比数列，其中 ， 为方程 的两根．则 （    ） A． B． C． D． 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质， 特别是性质“若 ，则 ．”， 可以减少运算量，提高解题速度． 由韦达定理得 ， ， 又 为等比数列，所以 ， 所以 ， 在等比数列 中， ， 是方程 的两根，则 （    ） A． B． C． D． 设等比数列 公比为 ， 因为 ， 是方程 的两根， 所以 ，所以 ， ， 由等比数列的性质可知 ， 所以 . 是等比数列， ， 是方程 的两根，则 （    ） A． B． C． D． 在等比数列 中，根据等比数列性质 ，已知 ， ，那么 ,可得 . 因在等比数列中，偶数项的符号相同， ， ，所以 ，故 . 已知等比数列 中， ， ，则 （    ） A．9 B． C．81 D． 设 ，则 ， 因为 ，所以 ，解得 ， 所以 EMBED Equation.KSEE3 . 记等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （    ） A．7 B．49 C． D．43 已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 . 因为 为正项等比数列，所以 , , , , 也成等比数列，则 ， ， 即 ，两式相除得 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 解得 ，所以 . 为等比数列，公比为 （当 时， 不为偶数）． 由题意及等比数列前n项和的性质，得 ， ， 成等比数列， 则 ，即 ，解得 或 （舍）. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ） A．12 B．14 C．16 D．18 因为 是等比数列 的前 项和且 ， 可知 ， ， ， 也成等比数列， 又因为 ， ，则 ， 可得 ， ， 所以 ， . 已知 是等比数列 的前 项和， ， ，则 （    ） A．7 B．8 C．15 D．16 设首项为 ，公比为 ，数列共有 项，则 满足首项为 ，公比为 ，项数为 项，设所有奇数项之和为 ，因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以 ，所以 EMBED Equation.KSEE3 ， ， 故满足 ，解得 ，又 ，所以 . 已知一个项数为偶数的等比数列 所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则 （   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 设等比数列 的奇数项之和为 ，偶数项之和为 ， 则 ， EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 ， 由题意可得： ，即 ，解得 ， 故数列 的所有项之和是 . 若等比数列 共有 项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列 的所有项之和为 ． （1）等比数列 中，所有奇数项之和 与所有偶数项之和 具有的性质，设公比为 ． ①若共有 项，则 ； ②若共有 项， ． 由题意可知： ，所以 ． 已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B．-2 C．4 D．2 由题设 ，可得 ， 若 的公比为 ，则 ，可得 ， 所以 EMBED Equation.KSEE3 ，则 . 已知等比数列 的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 在等比数列 中，由 ，得 ，解得 ， 设这个数列共有 项，则 ，解得 ，所以这个等比数列的项数为9. 若等比数列 共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 已知等比数列 的公比 ， ， . (1)求 ；(2)设 ，若 ，求 . （1）由题意得 ， 所以 . （2）由（1）得 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 ， 所以 EMBED Equation.KSEE3 解得 或 （舍去）. 已知等差数列 满足： ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)设等比数列 的各项均为正数， 为其前 项和，若 ， ，求 ． （1）对于等差数列 ，设该数列的公差为 ，则 ， ， ∴ ． 由（1）可知 ， 又∵正项等比数列 ，设其公比为 , ∴ ， ，∴ ． 在等差数列 中， ， ． (1)求 通项公式及其前 项和 的最小值； (2)若数列 为等比数列，且 ， ，求 的前 项和 ． （1）设等差数列 的公差为 . 因为 ， ，所以 ，解得 ， 所以 . 所以 因为 ，所以当 或 时 取得最小值， 且最小值为 . （2）由（1）可得： ， ， 所以等比数列 的公比为 ， 所以 ，所以等比数列 的前 项和 . 在等差数列 中， ， ． (1)求 通项公式及其前 项和 的最小值； (2)若数列 为等比数列，且 ， ，求 的前 项和 ． （1）数列 中，因为 ，故 ， 故 ，所以数列 是等比数列，公比是2， 又因为 ，所以 ． 所以 ， ， ， ， ； 已知数列 中， ， ． (1)求数列 的前5项； (2)若等差数列 满足 ， ，求 的前n项和 ． （2）等差数列 满足 ， ， 设等差数列公差为 ， ，所以 ， 所以 ， 所以 的前n项和 EMBED Equation.KSEE3 ． 已知数列 中， ， ． (1)求数列 的前5项； (2)若等差数列 满足 ， ，求 的前n项和 ． （1）因为数列 是等差数列，所以 ．所以 ．所以 ，即 ，解得 ．所以数列 的通项公式 ，即 ，所以数列 的前n项和 ，即 ． 已知数列 满足： ， ． (1)若数列 是等差数列，求 的通项公式以及前n项和 ； (2)若数列 是等比数列，求 的通项公式． （2）因为数列 是等比数列，所以 ． 由 ，得 ，即 ，解得 ． 所以 ．数列 的通项公式为 ． 已知数列 满足： ， ． (1)若数列 是等差数列，求 的通项公式以及前n项和 ； (2)若数列 是等比数列，求 的通项公式． 在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔400万元的无息贷款用做设备更新．据预测，该企业设备更新后，第1个月收入为20万元，在接下来的5个月中，每月收入都比上个月增长20%，从第7个月开始，每个月的收入都比前一个月增加2万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还400万无息贷款只需 个月．（结果取整） 由题意设每个月的收入为数列，其前n项和记作，前6个月的收入成等比数列，且公比为，第7个月开始收入成等差数列，公差为2， 则， 又，，，， 而，， 所以该企业用所得收入偿还400万元贷款只需10个月. 渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年1月—4月 1965年5月—8月 1965年9月—12月 1966年1月—4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁+1个月 60岁+2个月 60岁+3个月 60岁+4个月 …… 那么1975年7月出生的男职工法定退休年龄为（    ） A．62岁3个月 B．62岁5个月 C．62岁8个月 D．63岁 $$