20-卷10 第4章 锐角三角函数 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（湘教版）

数 学 九年级上册 湘教版 1 2 3 卷10 第4章提优验收卷（B卷） 考查内容：锐角三角函数 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.［2025安徽黄山期中］已知锐角 ，且，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】，且 是锐角， ， ，故选B. 时间：90 min 满分：100分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 2.［2025江西庐山质检］在平面直角坐标系中，已知点和点 ，则 的值为( ) A A. B. C. D. （第2题图） 【解析】取点,连接,如图.，, 易得 是直角三角形，且 , ， ， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7 （第3题图） 3.［2025安徽宿州质检］如图，在中， ， ，，则 的长为( ) C A.9 B.10 C.11 D.12 （第3题图） 【解析】过作于，如图，则 . ， ， ，， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8 4.新定义［2025安徽滁州调研］定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这 样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰 是“倍长三角形”，则底角的余弦值为 ( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9 （第4题图） 【解析】 等腰是“倍长三角形”， 设 .当 时， ，不能构成三角形，故此种情况不存 在；当时，,能构成三角形.如图，过 作 于，则，， .故选A. 上分技巧 画图理解“倍长三角形” 根据题意画出图形，结合三角形的三边关系分类讨论，即可解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10 （第5题图） 5.［2025安徽合肥蜀山区期中］如图，在中， , ,的垂直平分线分别交,于，两点，连接 .若 ，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】是的垂直平分线， ， ，, , .,， .在 中， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 （第6题图） 6.［2025山东威海期中］如图，鱼竿的长为 ，露在水面上的 鱼线的长为，将鱼竿绕点逆时针转动 到 的位 置，此时露在水面上的鱼线 的长度是( ) C A. B. C. D. 【解析】连接，易知点，，在同一直线上.在中， ， ，，， .由旋转可 得， ， .在 中， ， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12 （第7题图） 7.［2025浙江台州期中］如图，一个正方体箱子沿着斜面 向上 运动， ，箱高米，当米时，点 与地面 的距离是( ) A A.米 B.米 C.米 D. 米 【解析】过点作于点，作，过点作 , 与交于点，如图. ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13 ， 正方 体箱子沿着斜面向上运动，， ， ， ， ， 点与地面 的距离为 米.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 8.［2025安徽阜阳期中，中］如图（1），将三角尺和三角尺 叠放在一起， 直角边与完全重合，已知长为.将三角尺沿 方向移动到图 （2）位置，与分别与交于点,，此时测得长为 ，则移动距离 是( ) C 图（1） 图（2） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 【解析】由题意知，， .如图，作于 .在 中，，在 中， ，， 在中， ， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16 （第9题图） 9.数形结合［2025安徽蚌埠期中，中］在计算 的值 时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形来解决.如图，在 中， ， ，延长到 使 ，连接，得 ，设 ，则 B A. B. C. D. ，，，在 中， .类比这 种方法，可以得到 的值为( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17 【解析】如图，在中， ， ，延长到 使 ，连接，得设，则 ， ，在 中， ,故选B. 上分点拨 根据题目中的方法解题 想到 ，即可仿照题目中的思路解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18 （第10题图） 10.［2025江苏无锡期中，偏难］如图，在 中， ， ，点是 延长线上任意 一点，过点作于点，于点 ，连接 ，则 的最小值为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 【解析】过点作于点，设交于点，过点作于点 ，如图 . ，， ， , , .又 , ， ， ,,.设，则 ，则 ， 在 中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 ,,, 四边形 为矩 形，,, , , 在 中，， , .在 中， ，故的最小值为 ， 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 11.［2025湖南永州月考］在中， ，，则 的 值为______. 0.618 【解析】 在中， ， ， ，故答案为0.618. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22 （第12题图） 12.［2025安徽淮南质检］如图所示，在 中， ，，于点.若，则 的长是______. 【解析】 在中， ， ， ， , ， ， ， ， ，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 13.［2025湖南邵阳校级月考］在中， ，若 ，则 的值是______. 【解析】 . 如图. ,，， ， ， . 令，则，解得.， ， 故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 14.［2025上海虹口区期中］已知，，分别是中，， 的对边， 且，，满足，若，则 的值为 _ _____. 【解析】，，即 ， 是直角三角形，且，，即 .设 ，则,， ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 （第15题图） 15.［2025湖南湘潭期中］某商场从安全和便利的角度 出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原 来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高 为，坡角为 ，改造后的斜坡式自动扶梯 的坡角 ，则改造后的自动扶梯增加的占 10.3 【解析】在中， ，， ， .在中， ， ， ，则 . 地长度_____.（结果精确到，参考数据： ， ，， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 16.［2025安徽滁州期中，中］如图，在中， ,, ， 点在上，将沿折叠，点落在点处，与相交于点 ，若 ，则 ___. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 27 【解析】 ,,， ， 将沿折叠，点落在点处， ， ，, ， ， ， ，即 , ，， . ,，， .故答案为4. 上分点拨 利用对应角相等解题 通过折叠和平行，发现，进一步得到 ，从而利用锐角三 角函数解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 28 17.［2024湖南中考，中］如图，图（1）为《天工开物》记载的用于舂 捣 谷物的工具——“碓”的结构简图，图（2）为其平面示意图.已知 于点 ，与水平线相交于点，.若分米，分米, ， 则点到水平线的距离 为__________分米（结果用含根号的式子表示）. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 【解析】延长交于点，连接 ，如图所示. ， .在中， , ， ， ，即 ， 解得.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 18.规律探究［2025安徽合肥瑶海区调研，难］如图，在直线上， 的 横坐标为1，轴于， 直线，交轴于，过作 轴的垂线与直 线交于点，过作垂直于直线交轴于， ，以此类推,则 的坐 标为________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 31 【解析】的横坐标为1，对于,当时， ， ，,,， ， ，.由题意得 ， ，，与的横坐标都为4， 对于 ,当时，，.同理， ， ，与的横坐标都为16， 代入得 ， ，， ，故答案为 . 上分总结规 律探究问题常见解题思路 解决规律探究问题时，可以先求出前几项进行观察，大胆假设进行验证，进而得 到规律. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 32 三、解答题：本题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 19.［2025湖南永州期中］（6分）计算： （1） . 【解】原式 （2分） .（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 （2） . 【解】原式 （5分） .（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 34 20.［2025安徽合肥期中］（6分）在中， ，，， 的对 边分别是，， ，根据下列条件解直角三角形． （1） ， ； 【解】 , , . , , , .（3分） （2）， . 【解】，, , ，, .（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 35 21.［2025山东泰安月考］（8分）已知 为锐角. （1）求证： ① ； 【解】 ， ， .（2分） 【证明】如图， 令 ， ，，，，则 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 36 ② . 【解】，， ， （4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）求 的值. 【解】由（1）可得 ， ， ， 原式 .（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 38 22.［2025北京海淀区期中］（8分）如图，在中， ， 是边 的中点，，交的延长线于点.已知， . （1）求线段 的长； 【解】 ，，,，是边 的中 点， .（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 39 （2）［中］求 的值. 【解】易知 . ， ， .（4分） ，是边 的中点， ， ， .（6分） ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 40 ， ， .（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23.跨学科问题［2025上海期中］（8分）材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象 叫作光的折射，如图（1），我们把入射角 的正弦值和折 射角 的正弦值之比称为折射率，即 ，已知光 线从空气进入水中时的折射率为 ____________________________ 图（1） 问题解答：如图（2），矩形为盛满水的水槽，一束光线从点 射向水面上 的点，折射后照到水槽底部的点.测得 ，，若， ， 三点在同一条直线上，为法线，请依据相关材料回答以下问题 参考数据： ，， ： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 42 图（2） （1）求 的正弦值； 【解】由题意得 .（1分） , .（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 43 （2）［中］求的长（结果精确到 ）. 【解】在中， ，， . （3分） ，， 在 中， ，（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 44 设，则 ， ， ，解得， ,（6分） . 答：的长约为 .（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24.［2025湖南湘潭质检］（10分） 【问题引入】 如图（1），为等边的边上一点，为 边上一点，且 ，求证： . 【证明】是等边三角形， ， ， ， .（2分） 又 ， .（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 46 【能力提升】 ［难］如图（2），在中，为边上一点，连接 ， ，，且，求 的值. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 47 【解】如图，过点作于，延长至，使，连接 . ，,， ， . ， ， ， ，（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 48 .（7分） 在中， ， 设，则，, ， ， ，，或 ， , .（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 $$