19-第4章 锐角三角函数 卷9 上分专题（六） 解直角三角形实际应用问题的常见模型-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（湘教版）

数 学 九年级上册 湘教版 1 2 3 上分专题（六） 解直角三角形实际应用问题 的常见模型 重难上分 攻克难点 4 类型1 异侧型 类型2 同侧型 类型3 交叉型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 异侧型 1.［2025湖南岳阳期末］如图，某学习小组在教学楼 的顶部观测信号 塔底部的俯角为 ，信号塔顶部的仰角为 ，已知教学楼 的 高度为 ，求信号塔的高度（计算结果保留根号）. 【解】如图，过点作于，则四边形 是矩形， .在中， ， . 在中， ， ， ， 信号塔的高度是 . 1 2 3 4 5 6 6 2.回归教材［2025湖南湘潭期末］如图所示是某品牌太阳能热水器的实物图和横 断面示意图，已知真空集热管与支架所在直线相交于水箱横断面 的圆心， 支架与水平面垂直，厘米，真空集热管的斜面坡度为 ，另 一根辅助支架厘米， .（参考数据： ， ） （1）求 的长度； 【解】在中，, ， ， 的长度约为35厘米. 1 2 3 4 5 6 7 （2）求水箱横断面 的半径. 【解】在中， . 的坡度为 ， ， , . ，， ， 水箱横断面 的半径约为19厘米. 1 2 3 4 5 6 8 类型2 同侧型 3.［2025湖南长沙调研］如图，海中有一小岛 ，它周围8 海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在点测得小岛 在 北偏东 方向上，航行12海里到达 点，这时测得小岛 在北偏东 方向上.（参考数据： ） （1）求 的度数； 【解】如图所示，过点作,垂足为 .由题意得， ， ， . 1 2 3 4 5 6 9 （2）如果渔船不改变航线继续向正东方向航行，有没有触礁的危险？ 【解】 ，， 海里.在 中， ，（海里） 海里， 渔船继续向正东方向航行，没有触礁的危险. 1 2 3 4 5 6 10 4.［2025湖南常德期中］某中学数学社团开展数学社会实践研究活 动，利用数学课堂上所学的三角函数知识结合传感器制作出一个 能够测量车辆在某段路面的行驶速度的装置.如图，在距离地面高 （1）求 的长； 【解】根据题意可得 , ，在 中， .故的长约为 . （即）的处放有该传感器装置，在处测得点的俯角是 ，测得 点的俯角是 .汽车从公路上的处由东向西行驶，当经过点 时传感器会开始 计时，当汽车到达点时会停止计时，通过测量 的长度和汽车通过的时间可计 算出汽车的行驶速度. 1 2 3 4 5 6 11 （2）［中］已知该路段限速，一辆汽车通过路段 时传感器显示的时间 是 ，请通过计算判断这辆汽车是否超速通过.（不考虑传感器反应时间，参考 数据：,, ） 【解】在中， , ， ， 一辆汽车通过路段 时传感器显示的时间是 ， 这辆汽车通过该路段的速度为 ， 这辆汽车没有超速通过. 1 2 3 4 5 6 12 类型3 交叉型 5.［2025广东阳江月考］如图（1），阳江市北山石塔建于南宋宝祐年间 （ 年），是阁楼花岗岩结构，为广东省内唯一无灰砌石塔.某数学兴 趣小组用无人机测量北山石塔 的高度，测量方案示意图如图（2），先将无人 机垂直上升至距离石塔底端水平面的点处，测得北山石塔顶端 的俯角为 ，再将无人机沿北山石塔的方向水平飞行到达点 处，测得北山石塔底 端的俯角为 ，求北山石塔的高度.（结果精确到 ，参考数据： ，， ） 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 13 【解】延长交于点，如图.由题意得，， .在 中， ， , ， .在中， ， ， ， 北山石塔的高度约为 . 1 2 3 4 5 6 14 6.［2025湖南永州月考］火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要 灾害之一，消防车是消防救援的主要装备.如图是某种消防车云梯的侧面示意图， 点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，， 在同一水平线上，其中可伸缩，套管 的长度不变，在某种工作状态下测得液 压杆， ， . 1 2 3 4 5 6 15 （1）求 的长； 【解】如图，过点作于点 . 在中， ， ， . 在中， ， .故 的长约为 . 1 2 3 4 5 6 16 （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯 绕 着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯 旋转 了多少度. 参考数据：，，， ， ， 1 2 3 4 5 6 17 【解】如图，过点作于点，记旋转后点 的对应点为 ，过点作于点，过点作于点 ，则 . 在中， ， ，， , .在中，， ， ， ， 故云梯大约旋转了 . 1 2 3 4 5 6 18 $$