17-卷9 第4章 锐角三角函数 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（湘教版）

数 学 九年级上册 湘教版 1 2 3 卷9 第4章基础诊断卷（A卷） 考查内容：锐角三角函数 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.［2025山东聊城期中］若 为锐角，且，则 等于( ) B A. B. C. D. 【解析】，. 为锐角， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 2.［2025上海虹口区期中］在中， ，， ，那么 的值是( ) B A. B. C. D. 【解析】 在中， ，，， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7 3.［2025湖南长沙芙蓉区期末］已知等边 的边长为2，则其面积为( ) B A.2 B. C. D. 【解析】 等边的边长为2， 其中一条边上的高为 ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8 （第4题图） 4.［2024浙江杭州拱墅区模拟］如图，点为 边上任意一点，过 点作另一边的垂线，垂足为点，过点作于点 ，下列 表示 错误的是( ) A A. B. C. D. 【解析】于点，于点， ， ， ， ， ， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9 5.［2025山东烟台招远质检］若，利用科学计算器计算 的度数， 下列按键顺序正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】, 利用科学计算器求 的度数，正确的按键顺序 为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10 （第6题图） 6.［2024湖南长沙模拟］如图，在滑雪场有一坡度为 的滑雪道， 滑雪道的长为，则 的长为( ) B A. B. C. D. 【解析】 在滑雪场有一坡度为的滑雪道， , , 设，则.在 中， ， 由勾股定理得 ，解得 （负值已舍去）， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 （第7题图） 7.［2025湖南长沙天心区期中］如图， 的顶点都在边长为1的 正方形网格的格点上，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】如图，取格点，连接.根据题意得 ， ，.， 是直 角三角形, ， .故选B. 上分点拨 利用网格构造直角 连接网格中的格点是构造直角的常见方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12 8.传统文化［2025浙江温州调研，中］“圭表”是中国古代 用来确定节气的仪器．某“圭表”示意图如图所示， ， 米，测得某地夏至正午时“表”的影长 米，冬至时的正午太阳高度角 ，则夏 至到冬至，影长差 的长为( ) D A.米 B.米 C.米 D. 米 【解析】， .在中， ， 米， 米.米，米， 影长差 的长为 米，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13 （第9题图） 9.［2025湖南株洲渌口区期末，中］如图，在三角形纸片 中， ，，.沿过点 的直线将纸片折 叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点 重 合，若折痕与的交点为，则 ( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 【解析】 沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点 处， ， 折叠纸片，使点与点重合， ， ， ， ， ，.设，则 ， ，解得，， .故选B. 上分点拨 折叠的性质 折叠前后图形的对应边和对应角相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 （第10题图） 10.［2025安徽蚌埠期末，偏难］如图，已知 ， ，边和分别与交于点和点，连接 .若 的面积为7，且，则 的长为( ) D A. B.3 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16 【解析】，,, , ,,， .设 ，,, ， 即，解得， , ，, . ，,， ， ,即，.的面积为7， ,即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17 ，解得（负值已舍去）， . 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 11.［2025湖南郴州永兴期末］的两个锐角和 满足 ，则 的度数是______． 【解析】，， ， ，和是锐角， ， ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 12.［2025上海浦东新区期中］已知直角三角形两直角边长分别为9和40，则较小锐 角的正弦值是___. 【解析】因为直角三角形两直角边长分别为9和40，所以斜边长为 ， 所以较小锐角的正弦值为.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 （第13题图） 13.［2025四川成都期中］如图，在 中， ， ，，则 的长为_________. 【解析】如图所示，过点作于 ， 则， 设,则， ， , , ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21 14.［2025湖南邵阳双清质检］已知点位于第一象限内，，且与 轴正 半轴夹角的正弦值为，那么点 的坐标是_________. 【解析】如图,过点作轴于点与轴正半轴夹角的正弦值为 ， .， ， ，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22 （第15题图） 15.［2024湖南长沙模拟］如图，在中， ， ，，是边上的中线，于点，则 的长度为__. 【解析】在中， ，， ， ，.是 边上的中 线，， ， 在 中， ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 16.新定义［2025江苏宿迁期末］定义：等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰 三角形顶角的值，即顶角.若在等腰中， ，且 ，则 _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 【解析】如图，过点作于， 设 ，则 . ，， .根据勾股定理得， ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （第17题图） 17.新情境［2025湖南株洲质检，中］近年来，随着智能技术的 发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面.如图是某款 智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座 的高 为，上部显示屏的长度为，侧面支架 的长 度为， ， ，则该机器人的最 高点距水平地面的高度约为______.（结果保留到 , 参考数据：，， ） 189.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 【解析】如图，过点，分别作， ，垂足分别为 ，，过点作，垂足为，则四边形 为矩形， ， .在中， , 上分点拨 不规则图形中构造直角三角形 在拐点处作垂线可在不规则图形中构造直角三角形进行解题. ，. ， ， ， ， ， 点到 的高度为 矩形底座的高为， 点 距水 平地面的高度约为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 27 18.［2025湖南常德调研］ 如图，在中，于点，点在上，，连接交 于点 ， ，，，则 的长为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 28 【解析】如图，在上取一点，使，连接 ，则 ，， .在 和 中， ，， ， ， ， .在和 中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 ，， 设，，， ， ， ， .在 中， ，，， ， ，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题：本题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 19.［2025湖南长沙期中］（6分）计算： . 【解】 …………（4分） . …………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 31 20.［2025山东淄博期中］（6分）如图，在中， ， 垂足为，是边上的中线，,, . （1）求 的长； 【解】, .在中，,， …………（1分） 在中， ， ，…………（2分） .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 32 （2）求 的值. 【解】是边上的中线，， ， ，…………（5分） .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 21.［2025湖南岳阳期中］（8分）如图，在四边形 中， ，，平分交于点，连接 ， ， . （1）求证： 是等边三角形； 【证明】, ， , . ， ， ， ， . 平分，, 是等边三角形.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 34 （2）若，求四边形 的周长. 【解】是等边三角形,， .又 ， ，，.又 ， ，.又， 四边形 是平行四边形.又 ， 四边形 是菱形.…………（6分） ， ， ， ，， 四边形的周长为 …………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 35 22.项目式学习［2024湖南中考］（8分）某数学研究性学习小组在老师的指导下， 利用课余时间进行测量活动. 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽 象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形 ，其示意图如下： ___________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 36 活动过程 测绘过 程与数 据信息 ①在水池外取一点，使得点，， 在同一条直线上； ②过点作，并沿方向前进到点 ，用皮尺测得 的长为4米； ③在点处用测角仪测得 ， ， ； ④用计算器计算得， ， ，， ， 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 37 （1）求线段和 的长度； 【解】，的长为4米， ， ， 米…………（2分） ， 米， 米.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 38 （2）［中］求底座的底面 的面积. 【解】过点作于点 ，如图所示. ， 米，…………（6分） 米，（米）， 底座的底面 的面积为 （平方米）.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 39 23.［2025湖南娄底娄星区期末］（8分）在锐角三角形中，，， 所对 的边分别为，，，求证： . 图（1） 证明：如图（1），过点作于点，在 中， ，在中，， ， . 根据上面的材料解决下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 40 图（2） （1）如图（2），在锐角三角形中，，， 所对的边分别 为，，，若，， ，求 的度数； 图（1） 【解】如图（1），过点作于点.在 中， ，在 中， ，， ，即 ，，， …………（3分） .………… （4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 41 图（3） （2）如图（3），一片三角形区域需美化，已知 ， ， 米，求这片区域的面积.（结果保留根号，参考 数据：， ） 图（2） 【解】如图（2），过点作于点 ， ， .在 中， （米）.…………（6分） 易得，， 米，…………（7分） （平方米）.………… （8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 42 24.探究性问题［2025陕西西安期末］（10分） 【基础巩固】 （1）如图，正方形和正方形，其中，，三点共线，连接 并延 长，交于，连接,.若， ，则 __； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 43 【解】过作于 ，如图. ，，.在正方形中， ， ， ，， 是等腰直角 三角形，.又 ， ，，，故答案为 .………… （5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 44 【尝试应用】 （2）［偏难］在（1）的条件下，求 的值. 【解】 四边形是正方形， ， ，同理 ， . ，， 易得 ， ，…………（9分） ， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 45 $$