15-卷7 第3章 图形的相似 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（湘教版）

数 学 九年级上册 湘教版 1 2 3 卷7 第3章提优验收卷（B卷） 考查内容：图形的相似 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.［2024广东东莞校级一模］一段加固后的护栏及其局部示意图如图所示，该护栏 竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成.已知 ，则 的长度为( ) C （实物图） （局部示意图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 【解析】如图，过点作交于点，交于点 且任意相 邻两根木条之间的距离相等，.， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7 2.［2025湖北鄂州月考］已知 ，下列等式不一定成立的是( ) D A. B. C. D. 【解析】，，，，与 不一定相等，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8 3.［2025浙江余姚期中］下图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是( ) A （第3题图） A.点 B.点 C.点 D.点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9 【解析】如图，连接对应点，交于点，则点 即为位似中心. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10 4.［2025湖南郴州苏仙区校级开学］两个相似三角形的相似比是 ，则其对应中 线之比是( ) B A. B. C. D. 【解析】 两个相似三角形的相似比为， 其对应中线之比是 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 （第5题图） 5.新定义［2025浙江桐乡校级开学］如图，已知 ， 则，若规定为单位线段1，则.若规定 为 单位线段1，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】，，,. 规定 为 单位线段1， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12 6.［2025天津南开区质检，中］如图，中， ，， . 将 按下列选项中的方式剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( ) D （第6题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13 【解析】 选项 分析 结论 A ， ， 不符合题意 B ，， 不符合题意 C 由题图可知， ， ， ， .又， 不符合题意 D 由已知条件无法证明与 相似 符合题意 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 （第7题图） 7.新考法［2025湖南邵阳双清区调研］如图是一把折叠椅及 其侧面的示意图，把一个钢卷尺垂直地面放置，其中 与 “0”刻度线重合，点落在“30”刻度线上， 与“50”刻度线 重合.若测得，则 的长是( ) B A. B. C. D. 【解析】根据题意得， 易得，. ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 （第8题图） 8.［2024云南昆明盘龙区模拟，中］如图，是 的中线， ，分别是，的中点，连接，则 ( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16 【解析】 上分点拨 相似三角形的面积比 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17 （第9题图） 9.［2024河南洛阳洛龙区一模，中］如图，正方形 的边长为3， 点是上一点，连接，交于点.若，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】如图，过作于 四边形 是边长为3的正方形， ，， ， ，，， 易得 ， ，.， 易得，， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18 10.［2024湖南长沙雨花区一模，难］如图，把一张宽为的矩形纸片 沿 ，折叠.顶点，，，的对应点分别为，，，，点与 重合， 点恰与，的交点重合.若，则 的长为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 【解析】 四边形为矩形，，， ， ， 设， .由折叠的性质可 得，，，， ， ， ， ， ， ， .又 ， ，，即 ，整理得 ，解得， （不合题意，舍去）， ，，， 在 中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 由勾股定理得 ， .设 ，则 ， ， .又 ，， ， ，，即， ， .在中，， ，由勾股定 理可得 ， ., ， 解得， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 11.［2025湖南湘潭期中］如图，已知,,，则 与 的周长之比为_____. （第11题图） 【解析】,,，，与 的周长之比为，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22 12.［2025湖南常德期末］把一个矩形 按如图方式划分成三个全等的小矩形， 每一个小矩形都与矩形相似，若，则 的长为_____. （第12题图） 【解析】根据题意得小矩形的宽为3，设 每一个小矩形都与矩形 相 似，，解得（负值已舍去），.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 （第13题图） 13.［2025浙江瑞安月考］如图（1）是由若干个相似直角三角 形组成的美妙螺旋线，选择其中两个相邻的直角三角形如图 （2）所示.若，，，则 的长为 ___. 【解析】 ，， ， ， ， ，，即， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 （第14题图） 14.［2025湖南湘潭岳塘区调研］如图，在 中， ，，，过点作于点 ， 以为顶点作一个直角三角形，其两边分别与边， 交于 点，，点不与点重合，则 __． 【解析】 ， ， ， ，，. ， .又， ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 （第15题图） 15.［2025浙江宁波宁海校级质检］有五本形状为长方体的书放 置在长方体书架中，其截面如图所示，其中四本竖放，第五本 斜放，点正好在书架边框上.每本书的厚度为 ，高度为 ，书架长，则 的长为_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 【解析】由题知， ， ，， ， ， ， ，， ，即 ，.在中，由勾股定理得 ，即 ，解得或（舍去），故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 27 （第16题图） 16.［2024四川乐山一模，中］古希腊数学家欧多克索斯在深入研 究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段 分 为两条线段，，使得其中较长的一段是全长 与较短 的一段的比例中项，即满足，后人把 这个 数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点.如图，在 中，已 知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则 的面积 为__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 28 【解析】如图，过点作于点， ， .在中， . ，是边 的两个“黄金分割”点， ， ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 （第17题图） 17.［2025河南平顶山期末，中］如图， 中三个顶点的坐标 分别为，，，为的一条中线，以 为位似 中心，把每条边扩大到原来的2倍，得到，则 的 长为______. 或 【解析】 点,,的坐标分别为，， ， ，为 的一条中线， .以为位似中心，把 每条边扩大到原来的2倍，得到 ，则.当点在第一象限时， ； 当点在第三象限时，.综上所述，的长为或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 18.［2025浙江温州调研，难］如图，矩形的边长，，为 的中点，在线段上，且，分别与，交于点， ，则 ____. （第18题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 31 【解析】 四边形是矩形，, , .如图，过作于交于，则 , ,为的中点， ， ，,， .在 中，.， , ，，. ， ， ，. ， ，， ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 32 三、解答题：本题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 19.［2025湖南娄底期末］（6分）如图，在中，是边 上 的高，，，作矩形，使它的一边 在 上，顶点，分别在，上，与的交点为 ，且矩形 的长是宽 的2倍. （1）求证： ； 【证明】 四边形为矩形，，， ， .又 ， ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 （2）试求矩形 的周长. 【解】设，则，.由（1）可知， ， ，, 矩形的周长为 .………… （6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 34 20.［2025江苏靖江期中］（6分）如图，的顶点与线段 的端点，均在边 长为1的正方形网格的格点上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 35 （1）请找一个格点，使得，并画出 . 【解】如图，点及即为所求（点及 位置不唯一）.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 36 （2）①在（1）的条件下，与 的相似比是_ __________________； …………（5分） 【解析】由勾股定理得., ， 与的相似比是.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 37 ②___________________ . 45…………（6分） 【解析】如图，取点关于的对称点，连接 并延长， 交网格线于格点，连接，，则 ， ， .由勾股定理得 ，， ， ，， ， 为等腰直角三角 形， ， .故答案为45. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 38 21.［2025浙江杭州上城区质检］（8分）如图，点为 的 边上一点，连接并延长至点，使得，点 在线段 上，且，， . （1）若，求 的长. 【解】 易得 ，…………（1分） ， ， .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 39 （2）若 ，平分，求 的长. 【解】如图，过作于 . ，平分 ， ， ，， ， ， ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 40 ，，， 易得， ， ， ， .…………（6分） ,， ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 41 22.项目式学习［2025河南驻马店期末，中］（8分）某“综合与实践”小组开展测量 本校旗杆高度的实践活动.他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量， 测量报告如下： 课题 测量旗杆的高度 成员 组长： 组员： ， ， 测量工具 皮尺，标杆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 42 测量示意 图 __________________________________ 说明：在水平地面上直立一根标杆 ，观测者沿着直线 后退到点 ，使眼睛、标杆的顶端 、旗杆 的顶端 在同一直线上 测量数据 观测者与标杆的距离 观测者与 旗杆的距 离 标杆 的长 观测者的眼睛离 地面的高度 解决思路 如图，过点作于点，交于点 请根据以上测量数据及该小组的解决思路,求出学校旗杆 的高度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 43 【解】由题意得，， ， .…………（2分） ， . ， , ，…………（4分） ， ，…………（6分） ， ， 学校旗杆的高度为 .………… （8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 44 23.［2025湖南怀化洪江月考］（8分）如图，在等腰三角形中， ， 平分，点在的延长线上，，交于点 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 45 （1）求证： ； 【证明】， . ， ， ， .…………（1分） ， ，…………（2分） ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 46 （2）若，求 的长． 【解】过点作于 ，如图. ，平分 ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 47 ，，，， ， ，…………（4分） .…………（5分） ，， .…………（6分） ， ，…………（7分） .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 48 24.［2025湖南益阳桃江期中］（10分）如图， ，且 ，是的中点，是边上的动点，与 相交于 点，连接 . （1）求证： ； 【证明】，点是的中点，.又， 四边形 为平行四边形，…………（1分） ， . 又 ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 49 （2）［中］若是的中点，，求 的长； 【解】 四边形 为平行四边形， ， .…………（4分） 是的中点，， ， . …………（5分） ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 50 （3）［难］若，平分，点是线段上的动点，连接， , 是否存在点使得？若存在，求出 的度数；若不存在，请 说明理由. 【解】存在.， . 平分， ， ， . ， ， ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 51 ， ， .…………（9分） ， 是等边三角形， ， ， ， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 52 $$