14-第3章 图形的相似 上分专题（五） 与相似三角形有关的动态变化-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（湘教版）

数 学 九年级上册 湘教版 1 2 3 上分专题（五） 与相似三角形有关的动态变化 重难上分 攻克难点 4 类型1 相似三角形中的平移、翻折、旋转 类型2 相似中的动点问题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 相似三角形中的平移、翻折、旋转 母题学方法 上分攻略 对给定的图形（或其中一部分）进行某种位置变换（平移、翻折或旋转），然后 在新的图形中分析有关图形之间的关系，可根据变换前后对应角相等、对应边相 等找到相似三角形的判定条件证明三角形相似. 1.［2025安徽六安金安区期末］如图，将矩形纸片 沿着过点的直线折叠，使点落在 边上， 落点为，折痕交边于点 . （1）求证： ； 【证明】 四边形是矩形， . 根据折叠性质知， ， ，， . 1 2 3 4 5 6 7 （2）［中］若，，求 的长. 【解】由折叠性质知，， . ， . 四边形是矩形，， ， .设，则 . ，,解得， . 1 2 3 4 5 6 8 子题练变式 2. ［2025湖南长沙质检］如图（1），直线与 轴 正半轴、轴正半轴交于点，，直线过原点且垂直于 ，以线段 为边，为一内角作等边（点与重合），将等边 从图（1） 的位置沿轴正方向以每秒1个单位的速度平移，平移过程中边， 分别与线段 交于点，（如图（2）所示），设平移的时间为 . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 9 （1）在图（1）中，点 的坐标为________. 【解析】根据题意，得解得 点的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 10 （2）如图（2），若在平移的同时，点从的顶点 出发，以每秒2个 单位的速度沿运动，当点运动到点时停止运动， 也随之停止平 移.当点在线段上运动时，若与相似，则 的值为_________. 或2或3 1 2 3 4 5 6 11 图（1） 【解析】由得， ， ，，， ， , 由平移得 , ， .由（1）易得 ， ， ，， 由勾股定理易得 .如图（1），当 时， , ,，在 中，由勾股 定理易得，，解得 . 1 2 3 4 5 6 12 图（2） 如图（2），当 ，且在 的下方时， ，为等边三角形. ， .， ， 解得.当 ,且在的上方，即点与点 重 合时，，此时，解得 .综上所 述，的值为 或2或3. 1 2 3 4 5 6 13 3. 数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图（1），把一个含有 角 的三角尺放在正方形中，使 角的顶点始终与正方形的顶点 重合，绕点 旋转三角尺时， 角的两边，始终与正方形的边， 所在直线分别 相交于点，，连接，可得 . 1 2 3 4 5 6 14 【探究一】 如图（2），把绕点逆时针旋转 得到 ，同时得到点在直线上.求证： . 【证明】 把绕点逆时针旋转 得到 ，同时得到 点在直线上，， ， ，.在 和 中， ， . 1 2 3 4 5 6 15 【探究二】 在图（2）中，连接，分别交，于点， .求证： . 图（1） 【证明】如图（1）所示， 四边形 是正方形， . ， . ， . ， . 又， . 1 2 3 4 5 6 16 【探究三】 ［难］把三角尺旋转到如图（3）所示位置，直线 与三角尺 角两边，分别交于点，，连接 交 于点，求 的值. 【解】，是正方形的对角线， ， ， ， ，即， ， ， . 1 2 3 4 5 6 17 图（2） 如图（2）所示，将绕点逆时针旋转 得到 ， 则点在直线 上， ， ， . 又， ， ， . ，， ，即 . 1 2 3 4 5 6 18 类型2 相似中的动点问题 母题学方法 上分攻略 此类题目需在点的运动中寻找相似三角形，通过列方程、分类讨论求解. 4.［2025福建莆田荔城区校级月考，中］如图，在中， ， ，.动点从点出发， 在边上以的速度向点 运动， 同时动点从点出发，在边上以的速度向点 运动，运动时间为 ，连接.若与相似，则 的值为_______. 或 1 2 3 4 5 6 19 【解析】在中，，， ， .由题意知， ， ，.当时，， ， 解得；当时，，，解得.故答案为 或 . 1 2 3 4 5 6 20 子题练变式 5. ［2025河南周口期末，偏难］如图，在 中， ，，，动点从点出发，在边上以 的 速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点 匀 速运动，运动时间为，连接，，.当时，求 的值. 1 2 3 4 5 6 21 【解】如图所示，过作于点，设， 交于点 ，,, .由题意得， ，. 易得， ， 即，， ， ., ， ， . 又 ，， ， ,解得.故的值为 . 1 2 3 4 5 6 22 6. ［2024湖南衡阳期末］在中，， ， 为 边上的动点，小慧拿含 角的透明三角板，使 角的顶点落在点 ，三角 板可绕 点旋转. （1）如图（1），当三角板的两边分别交，于点， 时，求 证： . 【证明】 在中， ， ， . ， . ， ， ， .又， . 1 2 3 4 5 6 23 （2）［中］将三角板绕点 旋转到图（2）情形，三角板的两边 分别交的延长线，边于点，，此时与 还相 似吗？（只需写出结论） 【解】与 相似. 在中， ，， . ， . ， ， ，.又 ， . 1 2 3 4 5 6 24 （3）［难］在（2）的条件下，连接，与 是否相似？若相似，请 说明理由；若不相似，则动点运动到什么位置时，与 相似？ 【解】不相似.动点运动到中点位置时，与 相似. 同（2）可证，则 . ， . 又， . 1 2 3 4 5 6 25 $$