12-第3章 图形的相似 对点上分（类题推送）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（湘教版）

数 学 九年级上册 湘教版 1 2 3 第3章 对点上分（类题推送） 基础上分 练透考点 4 上分点1 成比例线段与平行线分线段成比例 上分点2 相似多边形 上分点3 相似三角形的判定与性质 上分点4 相似三角形的应用 上分点5 图形的位似 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 编者按：先做基础诊断（A卷）检测薄弱，再到对点上分处进行错 题对应练习，补足短板，最后做提优验收（B卷）综合提升 答案见答案 册P65 上分点1 成比例线段与平行线分线段成比例 1.［2025湖南岳阳期末］若，，，是成比例线段，其中，， ， 则线段 的长为( ) C A.6 B.8 C.12 D.16 【解析】根据题意得，即，所以 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7 2.［2025山东招远期末］已知，则 的值为( ) A A. B. C. D.19 【解析】，，， .故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8 3.［2025上海虹口区月考］如图所示，已知直线 ，下列结 论中，正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】， ，故A选项不正确，不符合题意； ，，故B选项不正确，不符合题意；， ， 故C选项不正确，不符合题意；， ，故D选项正确，符合题意. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 4.［2025湖南娄底校级期末］如图，在颁奖典礼上，舞台 的长为20米，主持人 站在点处，若点是线段上靠近点的黄金分割点，则主持人与点 的距离为 ____________米. 【解析】 点是线段上靠近点的黄金分割点， 米， 米， 米， 主持人与点 的距离为 米，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10 上分点2 相似多边形 5.［2024广东佛山禅城区期末］如图，四边形 四边形 ，且顶点都在 方格纸的格点上，则四边形和四边形 的相似比是( ) C A. B. C. D. 【解析】设方格纸中每个小正方形的边长为 四边形 四边形， 相似比为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11 6.［2025湖南常德期末］下列两个图形一定相似的是( ) A A.两个正方形 B.两个等腰三角形 C.两个直角三角形 D.两个菱形 【解析】A选项， 两个正方形的对应角相等，对应边成比例， 两个正方形一 定相似，故符合题意；B选项， 两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不 一定成比例， 两个等腰三角形不一定相似，故不符合题意；C选项， 两个直 角三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例， 两个直角三角形不一定 相似，故不符合题意；D选项， 两个菱形的对应边成比例，对应角不一定相 等， 两个菱形不一定相似，故不符合题意.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12 上分点3 相似三角形的判定与性质 7.［2024河北保定期中］已知的三边长分别是1，，，则与 相似 的三角形的三边长可能是( ) A A.，2， B.，1， C.1，， D.，1， 【解析】， 三边长分别是，2，的三角形与 相 似.选项B、C、D中的数据不符合要求，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13 8.［2024湖南郴州质检］已知，，， ，则 ( ) A A.6 B.4 C.3 D.2 【解析】，，，，，即 ， 解得 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14 9.［2024重庆沙坪坝区质检］若两个相似三角形的相似比为 ，则这两个三角形 的周长之比为( ) B A. B. C. D. 【解析】 两个相似三角形的相似比为， 这两个三角形的周长之比为 ， 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15 10.［2025湖南娄底校级期末］如图，，是 的两条中 线，连接.若，则 ___. 3 【解析】，是的两条中线，是 的中位 线，，， ， . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16 11.［2025江苏无锡期中］如图，是的边 上的一点，连 接，已知 . （1）求证： ； 【证明】，， . （2）若，，求 的长. 【解】设， ， ，， ，整理得 ，解得或 （不合题意，舍去）， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17 12.［难］如图（1），和是等边三角形，连接，点，， 分别 是，和的中点，连接，.易证得 . 若和都是等腰直角三角形，且 ，如图（2）； 若和都是等腰三角形，且 ，如图（3）.其他 条件不变，判断和 之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图（2）或图（3） 进行证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18 【解】题图（2）中， .证明：如图（1） ，连接，，和 都是等腰直角三角形，且 ，，分别是，的中点，， ， ，， ， 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ， , ，，， ， 点，分别是，的中点，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 题图（3）中， .证明：如图（2） ，连接，，和 都是等腰三角形，且 ， 点， 分别 是，的中点，，， ， ，，， ， 点，分别是，的中点，， . （写出其中一个结论及证明过程即可） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 21 上分点4 相似三角形的应用 13.［2024山东淄博临淄区期末］如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面 上，其截面可看作一个宽，长 的矩形.当水面触到杯口边缘 时，边 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 22 【解析】 如图所示，作 桌面于点.由题意可得，， ， ,故. 四边形 是矩形, ,,.又, , .又，，， ， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 23 14.［2025湖南长沙宁乡期末］图（1）是大拇指广场及测量其高度的方案，图（2） 是测量大拇指高度的示意图.如图（2），在处放置一根高度为 且与地平线 垂直的竹竿，连接并延长交于点，测得为.将竹竿 向右平移 至处，连接并延长交于点，测得为.求大拇指 的高度. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 24 【解】由题意得，，， ， .由题意得，， ， .， . ，，， ， ，解得 . ，，，解得 . 答：大拇指的高度为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 25 15.跨学科问题［2025上海奉贤区期末］如图（1），某小组通过实验探究凸透镜成 像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合 适的高度.如图（2），主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心 ，将长度为8 厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线， 传播方向不变， 移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距 为12.8厘米. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 26 （1）求像 的长度. 【解】由题意得，，， ， ，，， . 答：像的长度为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 27 （2）［中］已知光线平行于主光轴，通过凸透镜折射后经过焦点 ，求凸 透镜焦距 的长. 【解】过点作交于点 ，如图. ，， 四边形 为平行四边形， ， . 同理，四边形为平行四边形， . ，， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 28 ，， . ，，， . 答：凸透镜焦距的长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 29 上分点5 图形的位似 16.［2025湖南株洲芦淞区校级质检］如图，在平面直角坐标系 中，与是位似图形，位似中心是原点 .若 ，，则与 的位似比是( ) A A. B. C. D. 【解析】与是位似图形，位似中心是原点，, ， 与的位似比是 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 30 17.［2025河北唐山古冶区月考］如图是由边长为1的小正方形组 成的网格，以为位似中心，作线段的位似图形.若点是点 的对应点，则点 的对应点是( ) D A.点 B.点 C.点 D.点 【解析】，， 线段 与其位似图形的位似比 为由图可知，点的对应点是点 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 31 18.［2025广西崇左江州区期末］如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边 长都是1个单位长度， 的顶点都在格点上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 32 （1）以原点为位似中心，在第三象限内画出将 放大为原来的2倍后的位似 图形 ； 【解】如图， 即为所作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 33 （2）［中］已知的面积为，则 的面积是____. 14 【解析】和关于原点位似，且相似比为 ， .故答案为14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 34 $$