09-卷4 第2章 一元二次方程 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（湘教版）

数 学 九年级上册 湘教版 1 2 3 卷4 第2章提优验收卷（B卷） 考查内容：一元二次方程 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.［2025广西南宁青秀区月考］一元二次方程 的一次项系数是 ( ) A A. B.2 C. D.3 【解析】 方程的一次项为， 一次项系数为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 2.［2024四川凉山州中考］若关于的一元二次方程 的 一个根是，则 的值为( ) A A.2 B. C.2或 D. 【解析】 关于的一元二次方程的一个根是 ， 且，解得 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7 3.若关于的方程中 在数轴上的位置如图所示，则此方程的根的 情况是( ) C A.无法确定 B.无实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根 【解析】由数轴得，， 此方程有两个 不相等的实数根，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8 4.［2025湖南娄底双峰月考］若，，则下列方程中，以， 为根的是( ) D A. B. C. D. 【解析】，， 方程以， 为根.故选D. 上分总结 利用根与系数的关系倒推一元二次方 若, 是二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9 5.［2025河北廊坊月考］小李解方程 的步骤如图所示，则下列说法 正确的是( ) 解方程： . 解： ,① ,② ,③ .④ B A.小李解方程的过程正确 B. 也是该方程的一个解 C.小李解方程的方法是配方法 D.小李解方程的过程从第②步到第③步时出现错误 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10 【解析】，， ， ，，， 或 ，或.故小李解方程的过程错误， 也是该方程的一个解， 小李解方程的方法不是配方法，小李解方程的过程从第③步到第④步时出现错误. 故选B. 上分警示 方程变形时的注意事项 在方程两边同时除以或乘一个代数式时，必须保证这个代数式不为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 6.［2025湖北武汉月考］如图，某小区规划在一个长、宽 的长方形土地 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与 平行，其余 部分种花草，要使花草的面积为 ，那么通道宽应设计成多少米？设通道宽 为，则下列方程： ； ； ，其 中正确的是( ) C A.① B.② C.①② D.①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12 【解析】 长方形土地的长为、宽为，且通道宽为， 种花草 的部分经过平移可看成长为、宽为的长方形. 花草的面积为 ， ，则①正确； ，则②正确； ，则③不正确， 正确的是①②.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13 7.［2025湖南常德石门月考］小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时， 小明在化简过程中写错了常数项，得到两个根分别是2和5；小红在化简过程中写 错了一次项系数，得到两个根分别是2和6，则此方程正确的解为( ) C A. B.， C.， D.此方程无实数解 【解析】由题意得， ，则可知C选项符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 8.［2025江西南昌月考，中］科学兴趣小组的同学们将自己收集的标本向本组的其 他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有学生( ) A A.12名 B.12名或66名 C.15名 D.33名 【解析】设全组共有学生名，由题意得，解得 （不合题意，舍去）， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 9.规律探究［2025湖北武汉月考，中］下图是某同学在沙滩上用石子摆成的图形， 第1个图形用了6个石子；第2个图形用了10个石子；第3个图形用了16个石子；第4 个图形用了24个石子；….照此规律，第几个图形用了114个石子( ) C A.8 B.9 C.10 D.11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16 【解析】设第个图形用了个石子，则由题意得 ； ；； ；…； .令，则， ，解得 （舍去）或 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17 10.新考法［2025浙江绍兴柯桥区月考，难］定义为不大于实数 的最大整数， 如，，，则方程 的根为 ( ) B A.， B. C. D.无实数根 【解析】当时，，解得（舍去）或 （舍去）；当时，，解得，（舍去）， 方 程的根为 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 11.［2024湖南中考］若关于的一元二次方程 有两个相等的实数 根，则 的值为___. 2 【解析】由题意得，解得 ,故答案为2. 上分技巧 一元二次方程根的情况 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 12.［2025北京东城区月考］若一元二次方程 经过配方，变形为 的形式，则 的值为____. 10 【解析】方程，移项得，配方得 ，即 ，则 .故答案为10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 13.［2025广东广州月考］用公式法解某个关于 的一元二次方程，得 ，则该一元二次方程是_________________. 【解析】由题意得，，， 该一元二次方程是 ， 故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21 14.［2025湖北随州月考］直角三角形的两直角边长是方程 的两根， 则它的斜边长为___. 6 【解析】设直角三角形的斜边长为，两直角边长分别为, 直角三角形两直角 边长是方程的两根，， .根据勾股定理可得 ， （负值舍去）.故答案为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22 15.［2025湖南湘潭期末］若最简二次根式与 是同类二次根式，则 的值为___. 1 【解析】由题意得，整理得，解得， . 当时，不是最简二次根式，不符合题意，故 .故答案为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 16.［2025湖南衡阳期中］方程 的两根都是非零整数，且 ，则 ______. 【解析】设方程的两非零整数根分别为，， ， ，， 得， ， ， ，， ， 或，，解得,或 , 方程的两根都是非零整数，， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 17.传统文化［2025江苏无锡锡山区月考，中］在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采 风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝.欣赏下面改编 的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.十 位恰小个位三，个位平方与寿符.”则周瑜去世时的年龄为____岁. 36 【解析】设周瑜去世时的年龄的十位数字为，则个位数字为 .根据题意得 ，整理得，解得 （舍去）， ， 周瑜去世时的年龄为36岁，故答案为36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 18.分类讨论思想［2025湖南长沙质检，难］若关于 的方程 的所有根都是比1小的正实数，则实数 的取值范围是 ______________. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 【解析】当时，.当时，，解得 ， ，符合题意；当时，，解得， ，不符 合题意.当时， ，即 ，解得，. 关于 的方程 的所有根都是比1小的正实数， .综上，实数的取值范围是或 .故答案为 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题：本题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 19.［2025湖北襄阳樊城区期中］（6分）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程， 随后用手掌捂住了一部分，如图. （1）当 时，所捂部分的值为________________________________________ _________________________________________________________________； 【解】当时，所捂部分的值为，故答案为121.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 28 （2）若所捂部分为，用配方法求出 的值. 【解】根据题意得，整理得 ， ，…………（4分） 即，，解得， .………… （6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 20.［2025重庆渝北区八中月考］（6分）百货大楼服装柜销售中发现：某品牌童装 平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接国庆节，商场决定采取适当的降价 措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降 价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1 200元， 那么每件童装应降价多少元？ 请先填空后再列方程求解： 设每件童装降价 元， 那么平均每天就可多售出____件， 现在平均每天可售出__________件， 每件盈利__________元. . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 【解】 每件童装降价元， 平均每天就可多售出 件，现在平均每天可售出 件，每件盈利元.故答案为，， .………… （3分） 平均每天销售这种童装盈利1 200元， ，………… （4分） 即 ， 解得， . 要扩大销售量，减少库存， ， 每件童装应降价20元.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 31 21.［2025湖南岳阳君山区月考］（8分）实数，满足 . （1）验证， 是否满足上述等式； 【解】当，时， ， ，，即， 满足上述等 式.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 32 （2）若，，佳佳认为一定存在两个不同的 的值使得 成立，佳佳的说法正确吗？请说明理由. 【解】佳佳的说法正确.…………（3分） 理由：当， 时， ， 整理得 ，…………（5分） ， 关于的方程 有两个不相 等的实数根，即一定存在两个不同的的值使得成立， 佳佳的 说法正确.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 22.新情境［2025广东广州天河区月考］（8分）如图是某月的 月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解 答下列问题. （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数. 【解】设最小数为，则最大数为.由题意得 ，…………（1分） 整理得，解得（不符合题意，舍去）， ， 最小数为10.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 34 （2）［中］虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能， 请求出最小数；若不能，请说明理由. 【解】虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124.…………（4分） 理由如下：设最小数为，则另外三个数分别是，， . 由题意得 ，…………（6分） 整理得，解得（不符合题意，舍去）， 在 最后一列， 虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为 124.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 35 23.［2025湖南株洲荷塘区期中］（8分）已知实数，满足 ， ，且，则，可看成方程 的两个不相等的实 数根，由根与系数的关系就可以知道与的和，与 的积.根据上述材料，解决 以下问题： （1）___， ___； 1 -1 【解】，是方程的两个不相等的实数根， ， .故答案为1， .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 36 （2）［中］已知实数，满足，，且 ，求 的值； 【解】，满足，，且，， 可看成方 程的两个不相等的实数根，， ，…………（4分） .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 37 （3）［偏难］已知实数，满足，，且 ， 求 的值. 【解】，满足，，且，则 ， ，和可看成方程 的两个不相等的实数根， ，…………（7分） 则，即， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 38 24.探究性问题［2025江苏南京月考］（10分）【阅读】 已知方程，求一个关于 的一元二次方程，使它的两个根分别是已 知方程的两个根的2倍. 解：设所求方程的根为，则，所以 . 把代入已知方程，得 . 化简，得 ， 故所求方程可以为 . 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”. 请用“换元法”求新方程.（要求：把所求方程化为一般形式） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 39 【理解】 （1）已知方程，求一个关于 的一元二次方程，使它的两个根分别 比已知方程的两个根小1，则所求方程为______________.（要求：方程的二次项系 数需为1） 【解】设所求方程的根为，则，.把 代入已知方程， 得，化简，得 ，则所求方程为 . 故答案为 .…………（1分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 40 （2）已知方程，求一个关于 的一元二次方程，使它的两个根分别 是已知方程的两个根的相反数，则所求方程为______________.（要求：方程的二 次项系数需为1） 【解析】设所求方程的根为，则，把 代入已知方程，得 ，化简，得，则所求方程为 .故 答案为 .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 41 【运用】 （3）［中］已知关于的一元二次方程有两个实数根， . ①若，，则关于的方程 的两根分别是多少？ （用含有， 的代数式表示） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 42 【解】设关于的方程的根为，把 代入 ，得.设关于 的一元二次方程 的根为，把代入 ，得 ，由此可得 已知关于 的一元二次方程 有两个实数根，， 关于 的方程 的两根分别是, .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 43 ②关于的一元二次方程___________________的两个根分别是， . 【解析】由题意得该一元二次方程的两个根分别是已知方程的两个根的2倍，设所 求方程的根为，则，.把 代入已知方程，得 .化简，得 ，则所求方程为 .故答案为 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 44 （4）［中］关于的一元二次方程 的 两个根与哪个关于 的一元二次方程的两个根互为倒数？ 【解】设所求方程的根为，由题意得,,，.把 代入已 知方程，得，化简，得 ，则所求方程为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 45 【延伸】 （5）［难］已知关于的一元二次方程 的两个实数根分 别为1和，那么关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为____________. , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 46 【解析】由题意得 ， .根据（4）可得 ， 关于的一元二次方程 的两个实数根分 别为1和，或,则或， 关于 的一元二次方程 的两个实数根分 别为, . 故答案为, .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 47 $$