06-卷3 第2章 一元二次方程 基础诊断（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（湘教版）

数 学 九年级上册 湘教版 1 2 3 卷3 第2章基础诊断（A卷） 考查内容：一元二次方程 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.［2025四川成都龙泉驿区月考］下列方程中，属于一元二次方程的是( ) D A. B. C. D. 【解析】由一元二次方程的定义知 是一元二次方程.故选D. 上分技巧 一元二次方程满足的条件 ①等号两边都是整式； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 2.［2025山东青岛二中月考］一元二次方程 用直接开平方法可转化为 两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 ，则另一个一元一次方程 是( ) C A. B. C. D. 【解析】，，即或 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7 3.［2025广东河源月考］已知，是一元二次方程 的两个实数 根，则 等于( ) C A.3 B. C. D. 【解析】根据根与系数的关系得 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8 4.［2025山东青岛月考］下列方程中没有实数根的是( ) B A. B. C. D. 【解析】A选项， ，方程有两个不相等的实数根，本选项不符合 题意；B选项， ，方程没有实数根，本选项符合题意； C选项， ，方程有两个不相等的实数根，本选项不符合题意； D选项， ，方程有两个相等的实数根，本选项不符合 题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9 5.易错题［2025河南洛阳月考］已知方程，则 的值为 ( ) D A. B.0 C. D. 或0 【解析】，或，解得， . 当时，；当时， .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10 6.［2025湖南郴州月考］题目：两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的 奇数为 ，则根据题意列出的方程正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】依题意得较大的奇数为，则 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 7.［2025安徽阜阳月考］4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一 个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是 ( ) D A.小张 B.小王 C.小李 D.小赵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12 【解析】 步骤 具体做法 1.移项：含未知数的项在左，常数项在右 ， 2.配方：两边同时加上一次项系数一半的 平方 ， 即 3.直接开平方 ,或 4.写出方程的两个解 解得， 5.判断错误步骤 错误的是小赵，故选D 上分警示 使用配方法的注意事项 在最后开平方时,要注意方程左右两边都要开平方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13 8.［2024河北中考，中］淇淇在计算正数的平方时，误算成 与2的积，求得的答 案比正确答案小1,则 ( ) C A.1 B. C. D.1或 【解析】由题意得，解得或 （舍）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 9.［2025湖南长沙长郡双语实验中学月考，中］某厂家2024年4月生产的机器数量 为180台，6月生产的机器数量为461台，该厂家生产的机器数量的月平均增长率为 ，则 与下列哪个数最接近( ) A A.0.60 B.1.60 C.2.56 D.无法计算 【解析】根据题意得，解得, （舍去），则 与选项A中的数最接近.故选A. 上分技巧 平均增长率问题 平均增长率问题中的一般公式为，其中是平均增长率， 为增长的 次数，为初始数据， 是增长后的数据. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 10.新考法［2025福建厦门期中，偏难］数学家塔比·伊 本·库拉在其研究中讨论了二次方程的几何解法.例如：可以 用如图所示图形来解关于的方程 ，其中四边 B A.的长 B.的长 C.的长 D. 的长 【解析】设正方形的边长为 ，则 ， ，即，则方程 的其中一个 正根为 的长.故选B. 形为矩形，四边形为正方形，且， ，则方程 的其中一个正根为 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 11.［2025湖北黄石月考］已知是关于 的一元二次方程， 则 的值为____. 【解析】由题意知，且，解得.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17 12.开放性问题［2024江苏南通中考］已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，请写出一个满足题意的 的值：__________________. （答案不唯一） 【解析】 关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ，解得，则的值可以为.故答案为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18 13.［2025湖南株洲期中］若关于的一元二次方程 化成 一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为，则 的值为____. 【解析】， ， ， 关于 的一元二次方程 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为 ，，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 14.［2025湖南长沙雨花区月考］若关于的一元二次方程 的一个解是，则 的值是_______. 2 026 【解析】 关于的一元二次方程的一个解是 ， ，即 ， ， 的值 是2 026.故答案为2 026. 上分点拨 整体思想 “整体思想”是代数式求值时的常用思想，一般在要求值的式子中寻找那个“整体”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 15.［2025北京海淀区月考］已知，是方程 的两个实数根， 且，则函数 的图象不经过第____象限. 三 【解析】，或，解得 ， .,是方程的两个实数根，且， ， ，即函数为.，， 函数图象 必经过第一、二、四象限， 函数图象不经过第三象限.故答案为三. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21 16.［2025湖南娄底期中］代数式 的最大值是____. 【解析】，，， 代数式的最大值是，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22 17.跨学科问题［2024浙江杭州模拟，中］小明利用杠杆原理（杠杆平衡时，动力 ×动力臂阻力×阻力臂）称药品质量.如图，当质量为 克的药品分别放在左盘、 右盘时，另外一盘分别放质量为20克、5克的砝码可使杠杆平衡，则 的值为____. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 【解析】如图，由第一个图可得，则 ；由第二个图可得 ，则，， ，故答案为10. 上分点拨 寻找等量关系 当题中的等量关系不足以直接列出一元二次方程时，可以先把表示已知的等量关 系的等式列出来，再寻找这些等式之间的关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 18.［2025湖南永州零陵区月考，偏难］如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的 方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有________.（填序号） ①方程 是倍根方程； ②若关于的方程是倍根方程，则 ； ③若，满足，则关于的方程 是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则必有 . ②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 【解析】①解方程得，，, 方 程不是倍根方程,故①不正确.②关于的方程 的 一个根为.由题意可知时，或.当时， ;当 时，， ，故②正确 ，， ， ， 关于的方程 是倍根方程， 故③正确.④由题意得，方程的根为 ， .若，则 ，即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 ，， ， ，，.若 ，则 ，即 ， ，， ， ， ,故④正确.故答案为②③④. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题：本题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 19.［2025云南昭通月考］（6分）解方程： （1） . 【解】中，，， ，…………（1分） ，…………（2分） ， ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 28 （2） . 【解】整理得 ， ，…………（4分） 或 ，…………（5分） ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 20.［2024四川遂宁中考］（6分）已知关于 的一元二次方程 . （1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； 【证明】中，，， ， .…………（2分） ，, 无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 （2）如果方程的两个实数根为，，且，求 的值. 【解】方程的两个实数根为， ，则 ， .…………（4分） ，即 ， ,…………（5分） 整理得,,解得， , 的值为 或1.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 31 21.传统文化［2025湖南岳阳月考］（8分）手卷是国画装裱中横幅的一种体式， 以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”（这三部分都是矩 形）及分隔这三部分的“隔水”组成.下图中手卷长，宽 ，引首和拖尾 完全相同，其宽度都为.若隔水的宽度为，画心的面积为 ， 求 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 32 【解】 隔水的宽度为， 画心的长为 ，宽为 . 根据题意，得 ,…………（5分） 解得（不合题意，舍去）， . 答： 的值为10.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 22.［2025北京清华附中月考］（8分）已知关于 的一元二次方程 . （1）若方程的一个根是，求 的值； 【解】把代入方程得 ，解得 .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 34 （2）［中］在中， ，斜边长，两直角边的长， 恰好 是方程的两根，求 的值. 【解】 两直角边的长，恰好是方程 的两根， ， .…………（4分） ，， ， ，整理得 ，…………（6分） 解得（舍去），， 的值为4.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 35 23.［2024辽宁中考］（8分）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价 （元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价 元 ··· 45 55 65 ··· 日销售量 件 ··· 55 45 35 ··· （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）； 【解】由题意，设与之间的函数关系式为 .根据表格数据可得 …………（2分） 与之间的函数关系式为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 36 （2）［中］该商品日销售额能否达到2 600元？如果能，求出每件售价；如果不 能，请说明理由. 【解】不能.…………（4分） 理由：假设该商品日销售额能达到2 600元，则 , 整理得 ,…………（6分） ,…………（7分） 该方程没有实数根， 该商品日销售额不能达到2 600元.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 37 24.探究性问题［2025湖南邵阳月考］（10分）下面是小军同学的数学日记，请仔 细阅读并完成相应的任务. 今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程（组）的解法有 一定的规律，解一元一次方程时，把方程转化为 的形式；解二元一次方程 组时，把它转化为一元一次方程求解；解三元一次方程组时，把它转化为二元一 次方程组求解；解一元二次方程时，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式 方程时，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方 程必须检验.各类方程（组）的解法不尽相同， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 38 但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把多元转化 为一元，把复杂转化为简单. 运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程. 例如：解一元三次方程 ，第一步，提出 ；第二步，转化为两个方程：________或________；第三 步，解得，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 39 【问题】 （1）将小军解一元三次方程 过程中的第二步补充完整：______ 或_______________；（写出的两个方程正确即可，顺序可以调换） 【解】由得或 . 故答案为， .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 40 【类比】 （2）方程的解是，___， ________________； 1 （或，1） 【解析】原方程转化为，或 ， ，，，故答案为1，（或 ，1）.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 41 【拓展】 （3）［中］解方程组 【解】 由②得 .③ 把③代入①并整理得 ，…………（5分） ，解得，， ， ， 原方程组的解为 …………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 42 【应用】 （4）［偏难］如图，已知矩形草坪的长，宽，点 在 上，小明把一根长为的绳子一端固定在点 处，把绳子拉直并 固定在上的点处，再拉直绳子，若绳子的另一端恰好落在矩形的顶点 处，求 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 43 【解】设，则 . 四边形是矩形， ， . 在中，，即 ，则 . …………（8分） 在中，，即 ，则 .…………（9分） ， ， ，，解得， ， 或，则或 . ，的长为 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 44 $$