05-卷2 第1章 反比例函数 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（湘教版）

数 学 九年级上册 湘教版 1 2 3 卷2 第1章提优验收卷（B卷） 考查内容：反比例函数 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.［2025湖南娄底期末］在下列函数的表达式中，均表示自变量： ； ；；；；，其中是 的反比例函 数的有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】只有，， 符合反比例函数的定义，是反比例函 数，共3个，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 2.［2025湖南怀化校级月考］在反比例函数的图象上有两点 ， ，当时，有，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】 当时，， 反比例函数的图象位于第二、四象限， ，解得 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7 3.［2025湖南张家界校级期中］下面每个选项中的两种量成反比例函数关系的是 ( ) A A.和 互为倒数 B.圆柱的高一定，体积和底面积 C.被减数一定，减数和差 D.除数一定，商和被除数 【解析】A选项，因为和互为倒数，所以，所以与 成反比例函数关 系，符合题意；B选项，圆柱的体积 底面积 高，圆柱的高一定，体积和底面积 成正比例函数关系，不符合题意；C选项，减数差 被减数，被减数一定，减数 和差成一次函数关系，不符合题意；D选项，被除数 除数 商，除数一定，被除 数和商成正比例函数关系，不符合题意.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8 4.［2025山东泰安泰山区月考］在平面直角坐标系中，点， ， 在三个不同的象限.若反比例函数 的图象经过其中两点，则 的值为( ) C A. B. C. D.1 【解析】在第二象限，在第一象限，且点，， 在三个不同的 象限，又 点的横坐标为，在第三象限. 反比例函数 的图象经过其中两点，， 在该反比例函数图象上， 解得 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9 （第5题图） 5.［2025湖南邵阳调研］如图是三个反比例函数 , ,在轴上方的图象，则,, 的 大小关系为( ) B A. B. C. D. 【解析】 反比例函数 的图象的一支在第二象限，反比例函数 和的图象的一支在第一象限，, , ，当时，由图象可得， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10 6.［2024吉林长春南关区校级四模］小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间 （分）与录字速度 （字/分）所成的反比例函数关系图象，该图象经过点 .根据图象判断，下列说法不正确的是( ) C （第6题图） A.这篇文章一共1 500字 B.当小丽的录字速度为75字/分时，录入时间为20分 C.小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过 ，则 小丽每分至少应录入90字 D.小丽原计划每分录入125字，实际录入速度比原计划提高了 ，则小丽会比原计划提前2分完成任务 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 【解析】设关于的函数表达式为.把代入 ，得 ，，关于的函数表达式为， 这篇文章一共 1 500字，故A选项不符合题意；当时， ，故B选项不符合题 意；当时，， 在第一象限内，随 的 增大而减小， 小丽每分至少应录入100字，故C选项符合题意；当 时， ，当时，， （分）， 即小丽会比原计划提前2分完成任务，故D选项不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12 7.［2025湖南常德月考］已知反比例函数 的图象经过平移后可以得到函数 的图象，关于新函数 ，下列结论正确的是( ) C A.当时，随 的增大而增大 B.该函数的图象与 轴有交点 C.该函数图象与轴的交点为 D.当时，的取值范围是 【解析】A选项，当时，随 的增大而减小，本选项错误，不符合题意；B 选项，该函数的图象与 轴无限接近，但是没有交点，故本选项错误，不符合题意； C选项，该函数图象与轴的交点为 ，故本选项正确，符合题意；D选项，当 时，的取值范围是 ，故本选项错误，不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13 （第8题图） 8.［2024北京朝阳区校级月考］如图，在平面直角坐标系中， 点在轴正半轴上，， ， ， ，反比例函数 的图象恰好经过点，则 的值为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 【解析】在中， ，， ， .在中， ， ，.过点 作 轴于，则 ， , ,,. 反比例函数 的图象 经过点， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 （第9题图） 9.［2025湖南邵阳调研］如图，在平面直角坐标系中，以坐 标原点，，为顶点的 ，其两个 锐角的邻补角的平分线相交于点，且点 恰好在反比例函 数的图象上，则 的值为( ) A A.36 B.25 C.16 D.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16 【解析】过分别作，轴，轴的垂线，垂足分别为，， ，如图所示. ，，，， 的两个 锐角的邻补角的平分线相交于点，，， .设 ，则 ， ，解得，.把 代入得， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17 （第10题图） 10.［2025湖南长沙雨花区质检］如图，四边形 是平 行四边形，其对角线在 轴正半轴上，位于第一象限的 点和第二象限的点分别在双曲线和 的一个 分支上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点 和 点，给出如下四个结论： ；②阴影部分的 面积是；③当 时， ； D A.①③ B.①②③ C.②③④ D.①④ ④若四边形是菱形，则 .其中正确的是 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18 【解析】作轴于，轴于，如图. 四边形 是平行四边形，， ， 易得 ， ， ，故①正确. ，， ， ，故②错误.当 时，四边形 是矩形，由已 知条件不能判断与是否相等， 不能确定与 是否相等，故③错误.若 四边形是菱形，则， ， ， 易得，， ，故④正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 11.［2025湖南衡阳期中］将反比例函数写成的形式，则 的值为____. 【解析】 反比例函数，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 12.［2025湖南长沙雨花区期末］在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象 与直线 的交点个数是___. 1 【解析】把代入，得， 反比例函数 的图象与直线 的交点为，，故反比例函数的图象与直线 的交点个数是1， 故答案为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21 13.［2025湖南湘潭质检］反比例函数与一次函数 的图象交 于，两点，点,的横坐标分别是，，则关于的不等式 的解集是____________________. 或 【解析】如图.当或 时，一次函数图象在反比 例函数图象的下方， 关于的不等式 的解集 为或，故答案为或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22 （第14题图） 14.跨学科问题［2024山东德州二模］如图（1），取一根长 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 并将其吊起 来.在中点的左侧距离中点 处挂一个 重的物体，在中点 右侧用一个弹簧秤向 下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离 35 【解析】 木杆长,点为中点，. ， ，，.故至少为 . （单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足 ，其函数关系图象如 图（2）所示.若弹簧秤的示数不超过，则至少为____ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 15.［2024上海奉贤区期中］在平面直角坐标系中，点坐标为，点与点 关于原点对称，将点沿轴向右平移个单位后恰好落在反比例函数 的 图象上，则 的值为_____. 【解析】 点坐标为，点与点关于原点对称，.将点沿 轴向右平移个单位后点的坐标为 点 平移后恰好落在反比例函 数的图象上，，解得 . 上分点拨 反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数的图象上的点的横、纵坐标的积是定值 ，即 ，经常利用这个关系式及其变式求值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 16.［2025湖南邵阳期中］如图，点，分别在反比例函数 与的图象上，线段的中点在轴上， 的面积为4， 则 ___. 8 （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 【解析】如图所示，过点作轴于，过点作轴于 , .又，， ， 点，分别在反比例函数 与 的图象上，,，的面积为4，, .故答案为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 17.［2025湖南株洲月考，中］边长为4的等边 如图所示放置在平面直角坐标 系中，若将点绕点旋转 后，恰好落在反比例函数 的图象上， 则 ____________. 或8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 27 【解析】如图.①当点绕点顺时针旋转 时，得点 ，连接 ,令交于 是等边三角形， ， ， ，， . ，， 点在 的图 象上，.②当点绕点逆时针旋转 时，得点,连接，过点 作轴于，过点作交的延长线于.易得四边形 为矩 形，, ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 28 , ， ， ， ，， ， ， 点在 的 图象上，.综上所述，满足条件的 的值为 或8.故答案为 或8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18.［2024上海长宁区校级期中，中］我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫作整 点.在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点 ， 点在射线上，过点作轴、轴的垂线，分别交双曲线于点 ， ，将线段，和函数的图象在， 之间的部分围成的区域 （不含边界）记为区域.如果区域内恰有5个整点，那么点的横坐标 的取值 范围是__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 【解析】由题可知点只能位于点的上方，如图，当 的纵坐标为5时，横坐标为 .结合图象可知，当时，区域内有5个整点.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 31 三、解答题：本题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 19.［2024吉林白城模拟］（6分）码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载 完毕恰好用了8天时间. （1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度（单位：吨/天）与卸货天数 之间有怎样的函数关系？ 【解】根据题意可知，轮船上的货物有（吨）， 关于 的函数关 系式为,即平均卸货速度（单位：吨/天）与卸货天数 之间成反比例函数关 系.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 32 （2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至 少要卸载多少吨？ 【解】， .…………（4分） ，， .…………（5分） 答：平均每天至少要卸载48吨.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 20.［2025湖南岳阳质检］（6分）如图，边长为4的正方形 的两边在坐标轴上，反比例函数 的图象与正 方形的两边相交于点，，点是的中点，过点 作 于点，交于点 . （1）填空： ________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _________________________ ； 【解】 四边形是正方形，点是 的中点， ，， 四边形 是矩形，且 点在反比例函数的图象上， . 故答案为8.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 34 （2）求 的长度. 【解】由（1）得反比例函数表达式为，， ， .又，,点是的中点， 易知是 的中 位线，， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 35 21.［2025湖南长沙月考］（8分）如图，一次函数 的 图象与轴交于点，与反比例函数 的 图象交于点 . （1）求，， 的值； 【解】把点代入得，解得 ，…………（1分） 一次函数表达式为 . 把点代入得，解得, .…………（2分） 把点代入得 ， 解得 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 36 （2）若是反比例函数的图象上的点，且 的面积小于 的面积，直接写出点的横坐标 的取值范围. 【解】 .…………（8分） 由（1）得反比例函数表达式为 . 的面积小于的面积，，即 点 在反比例函数 的图象上，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 37 22.新考法［2025河南信阳月考］（8分）如图，反比例 函数的图象与一次函数 的图象 交于第二象限的点，点，直线与轴交于点 ，其 中点的坐标为，点到 轴的距离为2. （1）试确定反比例函数的表达式； 【解】 点在反比例函数 的图象上， ， …………（2分） 反比例函数的表达式为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 38 （2）［中］请用无刻度的直尺和圆规作出点关于直线的对称点 ， 连接， ；（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【解】如图即为所求.（作法不唯一）…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 39 （3）［中］在（2）的条件下，求证：四边形 是菱形. 【证明】如图. 点在反比例函数的图象上，且点到 轴的距离 为2， 点的坐标为，. , ， .…………（7分） 点与关于直线 对称， ，，， 四边形 是菱 形.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 40 23.项目式学习［2025江苏泰州姜堰区期末］（8分）阅读以下素材，探索完成任务. 极地探索，冰面行走是否安全 素材1 为科考探索，我国自主研发了四轮长航程极地漫游机器人，该机器 人质量约为 . 备注：极地漫游机器人对冰面的压力与自身受到的重力相等 素材2 重力（G）质量 重力系数；压强 ；重 力系数 素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 41 解决问题 任务1 直接写出极地漫游机器人对冰面的压强关于受力面积 的函数表达式 【解】 .…………（2分） . 压强 ，极地漫游机器人对冰面的压力与自身受到的重力相等, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 42 任务2 为适应极地的不同应用环境，现将极地漫游机器人进行改装.若该机器人可 更换A、B、C三种型号的履带（更换不同型号的履带时，该机器人整体的质量保 持不变），A、B、C三种型号对应的每条履带与冰面的接触面积分别为 、、 .利用函数的性质判断，该机器人应更换哪种型 号的履带方可保证安全 【解】当时， ,…………（4分） 机器人每条履带的最小接触面积为 ，…………（5分） 该机器人应更换C型号的履带方可保证安全.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 43 任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写 出一条建议帮助科考人员安全离开危险区 【解】丢弃不重要的装备.（答案不唯一）…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 44 24.［2025湖南衡阳期中］（10分）如图，矩形的顶点在坐标原点，顶点 在轴上，.将矩形绕点顺时针旋转 ，使点落在轴上的点 处，得到矩形，与交于点，过点的反比例函数图象交于点 ， 连接, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 45 （1）求反比例函数的表达式； 【解】设反比例函数表达式为.由旋转可知， ， ， ， 由勾股定理得 , ， .…………（3分） 将代入得， 反比例函数表达式为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 46 （2）［难］连接,求 的面积. 【解】由（1）可得 .…………（5分） 在中， ， 由勾股定理易得 ， ， .…………（6分） 由（1）得，当时，， ， .， , ，…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 47 ，…………（8分） . …………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 48 $$