01-卷1 第1章 反比例函数 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（湘教版）

数 学 九年级上册 湘教版 1 2 3 卷1 第1章基础诊断卷（A卷） 考查内容：反比例函数 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.［2025湖南邵东月考］下列函数中，是 的反比例函数的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 【解析】 选项 分析 判断 A、C、D 不符合或或的形式， 不 是 的反比例函数 不符合题意 B 符合的形式，是 的反比例函数 符合题意 故选B. 上分总结 反比例函数的判断 形如或或 的形式的函数都是反比例函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7 2.［2024湖南常德期末］反比例函数 的比例系数为( ) A A. B. C. D. 【解析】反比例函数的比例系数为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8 3.［2024云南楚雄州三模］关于反比例函数 的图象与性质，下列说法中正 确的是( ) D A.它的图象位于第一、三象限 B.点 在它的图象上 C.随的增大而增大 D.当时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9 【解析】A选项,因为反比例函数中， ，所以它的图象位于第二、 四象限，故本选项错误；B选项,因为当时， ，所以点 不在它的图象上，故本选项错误；C选项,因为反比例函数 中， ，所以该函数图象在每一象限内，随的增大而增大，但整体不是 随 的增大而增大，故本选项错误；D选项,当时，函数图象位于第四象限， 随 的增大而增大，当时，，所以 ，故本选项正 确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10 上分点拨 反比例函数图象的位置与 的正负 一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：当 时，双曲 线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当 时， 双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，随 的增大而增大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 4.［2024河北中考］节能环保已成为人们的共识，淇淇家计划购买500度电，若平 均每天用电度，则能使用 天.下列说法错误的是( ) C A.若,则 B.若,则 C.若减小，则也减小 D.若减小一半，则 增大一倍 【解析】 淇淇家计划购买500度电，平均每天用电度，能使用 天， ，.当时， ，故A选项不符合题意；当 时，，故B选项不符合题意；，，, 若 减小，则增大，故C选项符合题意；若减小一半，则 增大一倍，故D选项不符 合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12 （第5题图） 5.［2025山东济南期中］如图，过原点的一条直线与反比例函数 的图象分别交于，两点，若点的坐标为 ， 则 点的坐标为( ) C A. B. C. D. 【解析】过原点的一条直线与反比例函数 的图象分 别交于，两点，则，两点关于原点对称，若点的坐标为，则 点的 坐标为 .故选C. 上分技巧反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象关于原点对称，所以其与经过原点的直线的两个交点一定关于 原点对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13 （第6题图） 6.［2025湖南永州冷水滩区期中］反比例函数 的图 象如图所示，则 的值可能是( ) B A.5 B. C.12 D. 【解析】由题图知，, 都不在反比例函数图象上， 则，即，故的值可能是 . 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 7.新情境［2024湖北孝感校级一模］如图（1），区间测速是指检测机动车通过两 个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）的平均速度的方法.小聪发现安全驾驶 且不超过限速的条件下，汽车在某一高速公路的测速区间 段的平均行驶速度 与行驶时间 是反比例函数关系（如图（2）），已知高速公路上行驶 的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于 ，小聪 的爸爸按照此规定通过该测速区间 段的时间可能是( ) B 图（1） 图（2） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 【解析】由题意可设.将代入，得 ， .当时，；当时，， 通过该测速 区间段的时间不超过，不低于 ，观察各选项，只有B符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16 8.新考法［2025浙江瑞安校级月考，中］反比例函数的图象上有 ， ， 三点.下列选项正确的是( ) A A.当时， B.当时， C.当时， D.当时， 【解析】，， 反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个 象限内，随的增大而减小.，， 三点在双曲线 上， 当时，，则 ，故A选项正确； 当时，，则 ，故B选项错误；当 时，，则 ，故D选项错误；当 时，，则 ，故C选项错误.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17 9.［2024山东菏泽一模，中］反比例函数与一次函数 在 同一平面直角坐标系中的图象大致是( ) D A. B. C. D. 【解析】分两种情况讨论：当时，一次函数 的图象经过第二、 三、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限；当 时，一次函数 的图象经过第一、三、四象限，反比例函数 的图象位于第二、 四象限.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18 10.［2025湖南长沙质检，偏难］如图，在平面直角坐标系中， 正方形的顶点的坐标为，点在 轴正半轴上，点 在第三象限的双曲线上，过点作 轴交双曲线于点 ，则 的长为( ) B A. B. C.3.5 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 【解析】 设点.如图所示，过点作轴的垂线交所在直线于点，过点作 轴的 平行线交的反向延长线于点，过点作 轴于点 ， ， .又 ， ，， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 ，同理，， 点 . 又，，解得，故点， ， ， 点，， , ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 11.［2025四川广元期末］若函数是关于的反比例函数，则 的 值是____. 【解析】 上分警示 反比例函数表达式中的易错点 反比例函数中，自变量的次数为，比例系数 不能等于0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22 12.新考法［2024贵州铜仁月考］把反比例函数的图象沿 轴翻折，可以得到 反比例函数________的图象. 【解析】把反比例函数的图象沿轴翻折，可以得到反比例函数 的图象. 上分技巧 关于坐标轴对称的双曲线的表达式的求法 反比例函数 的图象关于坐标轴对称的图象对应的函数表达式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 13.［2025湖南常德校级月考］已知与成反比例函数关系，与 成正比例函数关 系，如果当时，，那么当时， __. 【解析】与成反比例函数关系，与成正比例函数关系， 设 ，，则. 当时， ， ，， 当时，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 14.［2025湖南郴州期中］ 如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作 轴的垂 线，连接，若图中阴影部分的面积为3，则 的值是____. 【解析】设点的坐标为在反比例函数 的图 象上， 过点作轴的垂线，连接 ，题图中阴影部分的面积为3， ， 点在第二象限，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 15.［2024湖南怀化沅陵校级月考］对于函数，当时， 的取值 范围是_____________. 【解析】对于函数，， 函数图象位于第一、三象限，在每个象限 内，随的增大而减小.当时，；当时， ， 当时，的取值范围是，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 16.跨学科问题［2025湖南常德期末，中］物理课上，同学们用自制密度计测量液 体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度 是液体的密度 的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时， ， 当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该种液体的密度 为__________. 【解析】设关于 的函数表达式为，把， 代入，得 ，关于 的函数表达式为.把代入 ，得 ，解得，故该种液体的密度 为，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 27 17.［2025湖南邵阳期中，中］ 如图所示，反比例函数的图象上有一动点 ，连接 ，以为直角顶点、为直角边，构造等腰直角三角形 ， 则当面积最小时，点 的坐标为_________. 【解析】是等腰直角三角形，， ， 当取最小值时，的面积最小.设, ，则 ，的最小值为2，此时 ，解得 或，经检验，都是原方程的根.又，，则 ， 此时的坐标为，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 28 18.［2025湖南株洲期中，偏难］已知直线与双曲线 交 于点， . （1）若，则 ___； 0 【解析】， 点， 在反比例函数 的图象上，，， ， 故答案为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 （2）若时，，则___0，___0.（填“ ”“”或“ ”） 【解析】 反比例函数的图象在第二、四象限，且 时， ， 点，在不同的象限.设 在第二象限， 在第四象限，则，，，，且 ， ， 直线经过第一、二、四象限，， .故 答案为 ， . .见答案及评分细则. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 三、解答题：本题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 19.［2025湖南岳阳云溪区期末］（6分）已知反比例函数 的图象经过 点 . （1）求反比例函数的表达式. 【解】 点在反比例函数的图象上， ， 解得 ，…………（2分） 反比例函数的表达式为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 31 （2）请通过计算说明点， 是否在这个反比例函数的图象上. 【解】， 点 在这个反比例函数的图象上.…………（4分） ， 点 不在这个反比例函数的图象上.………… （6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 32 20.［2025四川广元期末］（6分）已知反比例函数 的图象位于第二、四象限. （1）求 的取值范围； 【解】 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 （2）若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值 ， 的大小. 【解】 反比例函数的图象位于第二、四象限， 当时，随 的增 大而增大.…………（4分） ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 34 21.［2024山东济南市中区二模］（8分）电磁波的波长 （单位： ）会随着电磁 波的频率（单位： ）的变化而变化，如表是它们的部分对应值： 频率 10 15 20 25 波长 30 20 15 12 （1）在一次函数、二次函数及反比例函数中，哪个函数能反映波长 关于频率 的变化规律？并求出 关于 的函数表达式.（不需要写出自变量的取值范围） 【解】根据表中数据可知，， 反比例函数能反映波长 关于频率 的变 化规律，…………（2分） 关于的函数表达式为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 35 （2）当电磁波的频率不超过 时，波长至少是多少米？ 【解】，， 当电磁波的频率不超过 时，波长至少 是 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 36 22.［2025河南郑州期末］（8分）如图（1）为某新款饮水机，开机加热时水温每 分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温 与通 电时间成反比例函数关系.当水温降至 时，饮水机再次自动加热.若在 水温为时接通电源，水温与通电时间 之间的关系如图（2）所示. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 37 （1）水温从加热到需要__________________ ； 4…………（2分） 【解析】 开机加热时水温每分钟上升， 水温从加热到 ，所需 时间为 ，故答案为4. （2）在水温下降的过程中，请求出与 之间的函数关系式； 【解】设水温下降的过程中，与之间的函数关系式为 .由题意得， 点在反比例函数的图象上， ，…………（4分） 解得， 水温下降的过程中，与之间的函数关系式是 .………… （5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 38 （3）［中］求在如图（2）所示的一个周期内水温不低于 的时长. 【解】在加热过程中，易得与之间的函数关系式为 ，当水温为 时，，解得 .…………（6分） 在水温下降的过程中，当水温为时， ，解得 ， 在一个周期内水温不低于 的时长为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 39 23.探究性问题［2025湖南郴州永兴期中］（8分）小明在学习了反比例函数的图象 与性质后，进一步研究了函数 的图象与性质.其研究过程如下： （1）绘制函数图象： ①列表：如表是与的几组对应值，其中 ___； … - - - - 0 1 2 … … - - 3 2 … 1 【解析】对于,当时， ，故答案为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 40 ②描点：根据表中的数值在下图中描出剩余的点 ； 【解】如图（1）.…………（3分） 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 41 ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整. 【解】补充图象如图（2）.…………（5分） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 42 （2）［中］探究函数性质：判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填 “×”）. ①函数值随 的减小而增大；___ × 【解析】根据函数图象可得在双曲线的每一个分支上，函数值随 的增大而减小， 故①错误，应为×； ②函数图象关于原点对称；___ × 【解析】图象关于 对称，故②错误，应为×； ③函数图象与直线 没有交点.__________________ √…………（8分） 【解析】当时，无意义，函数图象与直线 没有交点，应为√.故答 案为 ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 43 24.［2025湖南娄底娄星区期末］（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函 数为常数，的图象与一次函数， 为常数， 的图象交于点， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 44 （1）求 的值和一次函数表达式； 【解】将点坐标代入反比例函数表达式，得， 反比例函数的表 达式为 .…………（2分） 将点坐标代入反比例函数表达式，得， 点 的坐标为 .…………（3分） 将， 两点坐标代入一次函数表达式，得 解得 一次函数的表达式为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 45 （2）［中］当时，直接写出 的取值范围； 【解】或 .…………（6分） 由函数图象可知，当或 时，反比例函数的图象在一次函数图象的 上方，即， 当时，的取值范围是或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 46 （3）［偏难］若点在函数的图象上，点 先向左平移1个单位，再向下平移3 个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求点 的坐标. 【解】 点在函数 的图象上， 令点的坐标为，则点 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位后， 所得点的坐标可表示为，即点的坐标为 .………… （8分） 点在函数的图象上，，解得，， 点 的坐标 为或 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 47 $$