卷9 第24章 解直角三角形 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（华东师大版）

数 学 九年级上册 华东师大版 1 2 3 卷9 第24章提优验收卷（B卷） 考查内容：解直角三角形 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 . 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选项 中只有一个选项符合题意） 1.［2025安徽黄山期中］已知锐角 ，且，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】，且 是锐角， ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.［2025江西庐山质检］在平面直角坐标系中，已知点和点 ，则 的值为( ) A A. B. C. D. （第2题图） 【解析】如图，取点,连结，，则 是直角三 角形，且 ,， ， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.［2025安徽宿州质检］如图，在中，，， ，则 的长为( ) C A.9 B.10 C.11 D.12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 （第3题图） 【解析】如图，过作于，则 .在 中，，， ， .在中， ， , ， ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 4.新定义［2025安徽滁州调研］定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这 样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰 是“倍长三角形”，则底角的余弦值为 ( ) A A. B. C. D. 【解析】设.当时， ，不能构成三角形； 当时，满足三角形三边关系,能构成三角形，如图，过 作 于，则，，， 若等腰 是“倍长三角形”，则底角的余弦值为 ．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第5题图） 5.［2025安徽合肥蜀山区期中］如图，在中， , ,的垂直平分线分别交,于， 两点，连结 ．若，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】是的垂直平分线， ， ，, , ．,， ．在 中， ．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第6题图） 6.［2024浙江温州二模］如图，一根长的竹竿 斜靠在竖直的 墙上，沿着墙下滑，点下滑至点处，点移动至点 处，设 ， ，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由题可知.在中，, ， .同理可得 ， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.［2025浙江台州期中］如图，一个正方体箱子沿着斜面向上移动， ， 箱高米，当米时，点到地面 的距离是( ) A （第7题图） A.米 B.米 C.米 D. 米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 （第7题图） 【解析】过点作于点，作，过点作 于点，如图. ， ， ， 正方 体箱子沿着斜面向上移动，， ， ， ， ， 点 到地面 的距离为 米．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 8.［2025安徽阜阳期中，中］如图（1），将三角尺和三角尺 叠放在一起， 直角边与完全重合，已知长为，若三角尺沿 方向移动至某 一位置（移动的长度小于的长度），与交于点，此时测得长是 ， 如图（2），则移动距离 是( ) C 图（1） 图（2） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】由题意知，， .如图，过点作 于 ， ， ， ， ， ， 故选C. （第8题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 （第9题图） 9.［2025山东威海期中，中］如图是由一系列直角三角形 有公共顶点 组成的图形，其中 .若 是第一个小于 的角，则的值为 参考数据： ，， ( ) D A.5 B.6 C.7 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】由题意可得,，，则 ， .， ， .又， ， , ,. 是第一个小于 的角， ， ， 且为整数, .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 （第10题图） 10.［2025江苏无锡期中，较难］如图，已知在 中，， ，点是 延长线上 任意一点，作于点，于点 ，连结 ，则 的最小值为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 【解析】如图，过点作于点，设交 于点 ，过点作于点 ， , ， ， , ， ， , 是等边三角形， ,.设，则 ， ，.在 中，易知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 ， .易知四边 形为矩形，.在 中， ， 故的最小值为 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） （第11题图） 11.［2025安徽淮南质检］如图所示，在 中， ， ，于点．若 ，则 的长是_______． 【解析】，， ， ， ， ， ，．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （第12题图） 12.［2025北京朝阳区校级期中］如图，在 中， ， ，于点， 交 于点.若，则 的长为___. 3 【解析】 ， ， ， ， ，. ， ， ， ， 的长为3.故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （第13题图） 13.［2025江苏扬州邗江区期中］如图， ，，分别是， 的中点，连结 ，，.若，，则 的长为___. 7 【解析】 ，是 的中点， ，，是 的中点， ，， 是 的中点，， 在 中， ，故答案为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 14.［2025上海虹口区期中］已知，，分别是中，， 的对边， 且，，满足，若，则 的值为 _ _____． 【解析】，，即 ， 是直角三角形，且为直角.，，即 .设 ，则,， ， ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 15.［2025安徽滁州期中，中］如图，在中， , ,，点在上，将沿折叠，点落在边 的 上方点处，与相交于点，若，则 ___． 4 【解析】 ,,， ， 将沿折叠，点落在边的上方点 处， ，， ， ， ， ，即 ， ， ，, ， .故答案为4． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 上分点拨 由折叠得到相等的边和角 通过平行线的性质和折叠的性质，得到，, ,进 一步推出 ，从而利用锐角三角函数的定义解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 16.新考法［2025安徽合肥瑶海区调研，难］如图，在直线上， 的横 坐标为1，轴于， 直线交轴于，过作轴的垂线与直线 交于，过作直线交轴于， ，以此类推， 的坐标为 ________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 【解析】的横坐标为1，的纵坐标为 ， 轴，,, ， ， ， .由题意得 ， ， 轴，的横坐标为4， 的纵坐标为 ，.同理可得， ， 轴，的横坐标为16， 的纵坐标为 ，， ， ， ，故答案为, ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 上分点拨 点的坐标规律的探究 利用特殊角的三角函数值推得 ，结合直角三角形的性质和一次函数 的表达式，得到，，，由此找到点 坐标的规律 即可求解． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 三、解答题（本题共6小题，共66分） 17.［2025江西庐山期中］（8分）计算： （1） . 【解】原式 …………（3分） .…………（4分） （2） . 【解】原式 …………（7分） .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 18.［2025山东泰安质检］（10分）若 为锐角． （1）求证：； . 【证明】如图，在中， ， ，，， . ①， ， .…………（2分） ②，， ， .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）试求 的值． 【解】由（1）可得 ， ， ， ， 原式 …………（8分） .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 19.［2025安徽合肥月考］（10分）如图，是的高，是 上一点， ，若， . （1）求 的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 【解】如图所示，过点作于点 . 是的高，，， .…………（2分） 又，，即，解得 .…………（3分） 在中， ， ，解得 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （2）若，求 的值. 【解】由（1）可得， ， .…………（6分） ，， .…………（7分） ，， ，…………（8分） ， ， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 20.新情境［2025上海期中］（12分）阅读材料： 光线从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现 象叫做光的折射，如图（1），我们把入射角 的正弦值和 折射角 的正弦值之比称为折射率，即 ，已知 光线从空气进入水中时的折射率为 ________________________ 图（1） 解答问题：如图（2），矩形为盛满水的水槽，一束光线从点 射向水面上 的点，经过折射后照到水槽底部的点处， ，， ， ，三点在同一条直线上，为法线，请依据材料回答以下问题： 参考数据： ，， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 图（2） （1）求 的正弦值； 【解】由题可知 ，…………（2分） .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （2）［中］求的长结果精确到 ． 【解】在中， ，， .…………（6分） ，， 在 中， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 设，则， ， ，解得 ， ,…………（10分） . 答：的长约为 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 21.［2025安徽合肥期末］（12分）【问题引入】 图（1） （1）如图（1），在等边中，为边上一点， 为 边上一点，且 ，求证： ． 【证明】是等边三角形， ， . ， ， . 又 ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 【能力提升】 （2）如图（2），在中，为钝角，为边上一点，连结 ， ，，且，请求出 的值． 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 【解】如图，过点作于，延长至，使，连结 . ， , ， ， . ， ， ， ，…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 .…………（10分） 在中， . 设，则 ， , . ， ， ，解得或 （不合题意，舍去）， .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 22.探究性问题［2025安徽合肥期末］（14分）如图（1）所示的直角三角形 中，是锐角，那么锐角 的正弦、余弦、正切和余切这四种三角函数分别为 ，，， ． 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个 角 ，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为 轴的正半轴，建立直角坐标系 （如图（2）），在 的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点 和 原点的距离，然后把 的三角函数规定为 ， ，， .我们知道，从图（1）中得到的四个比值的大小与 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样的，从图（2）中得到的四个 比值的大小也仅与 的大小有关，而与点在 的终边位置无关．比较图（1）与 图（2），可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第 二种定义回答下列问题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 图（1） 图（2） （1）若 ，则在 的三角函数值 ， ， ， 中， 它们的相反数是负值的是______； 【解】 ，，， 的三角函数值 , , , 中是正值的是 ，是负值的是 ， ， ， 它们的 相反数是负值的是 .故答案为 .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 （2）若 的终边与直线重合，则 _ ___________； 或 图（1） 【解析】①如图（1），设, ， ， , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 图（2） ②如图（2），设, , ， , . 综上所述，或- . 故答案为或 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 （3）［中］若 是钝角，其终边上有一点，且，则 _____； 图（3） 【解析】如图（3），作轴于 ． 由题意得， ， , , .故答案为 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 （4）［难］若 ，求 的取值范围． 【解】若 ，设为 的终边上一点，且 ，则 , . 当 时，；当 时， ；当 时，根据三角形的两边之和大于第三边，可知 ， ,, .………… （12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 52 ,,, , , , ,, .综上， .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 53 $$