卷8 第24章 解直角三角形 上分专题（四） 解直角三角形的实际应用 问题的常见模型-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（华东师大版）

数 学 九年级上册 华东师大版 1 2 3 上分专题（四） 解直角三角形的实际应用 问 题的常见模型 重难上分 攻克难点 4 类型1 异侧型 类型2 同侧型 类型3 交叉型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 异侧型 1.［2025安徽阜阳期末］如图，某学习小组在教学楼 的顶部观测信号 塔底部的俯角为 ，观测信号塔顶部的仰角为 ，已知教学 楼的高度为，求信号塔 的高度（计算结果保留根号）． 【解】过点作于，如图所示，则四边形 是矩形， . 在中， ， 在中， ， ， ， 信号塔的高度是 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 2.［2024山东模拟］如图所示是某品牌太阳能热水器的横断面示意图，已知真空集 热管与支架所在直线相交于水箱横断面圆的圆心，支架与水平面 垂 直，厘米，真空集热管的斜面坡度为，另一根辅助支架 长为 70厘米，参考数据：， （1）求 的长度； 【解】由题意知，在中，, ， （厘米）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 （2）求水箱横断面的半径. 【解】如图，连结,，由题意知，，三点和，， 三 点分别在同一条直线上. 在中， . 的坡度为，， .记水箱横断面的半径为 . 在中，， ， ， 水箱横断面的半径为19厘米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 3.［2025吉林长春榆树校级期中］图（1）是宁波象山亚帆中心地标性建筑——亚 帆灯塔.某数学兴趣小组测量亚帆灯塔的高度后绘制了如图（2）所示的示意图.在 其附近高为4米的高台上的处测得塔顶处的仰角为 ，塔底 处的俯角为 ，，在同一水平线上.求亚帆灯塔的高. 结果精确到1米.参考数据： ，， 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 【解】如图，过点作于点，则 . 由题可知，米， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 米. 在中， （米）. 在中， 米， （米）. 答：亚帆灯塔的高 约为14米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 4.［2025山东潍坊期中］如图，某公园中的四个景点，，， 间铺设了游览步 道（步道可以骑行），组成了一个四边形，为了方便，在景点 的正东方设 置了休息区，休息区在景点的南偏西 方向1 600米处，景点在景点 的 北偏东 方向，景点和休息区两地相距米，景点 分 别在休息区、景点 的正东方向和正南方向． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 （1）求步道 的长度（结果保留根号）； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解】由题意得， , , , 米， 米， . 过点作于 ，如图，则 ， 为等腰直角三角形， 答：步道的长度为 米. （米）， （米）， （米）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）小明和小莹骑共享单车到景点游玩，他们同时从休息区 出发，小明沿 路线骑行，速度为每分钟300米；小莹沿 路线骑行，速度为每 分钟200米．请通过计算说明小明和小莹谁先到达景点参考数据： ， ． 【解】米， ， ， 米， （米）， 路线的路程为 （米）， 小莹到达景点所用时间为 （分）. 路线的路程为 （米）， 小明到达景点所用时间为 （分）. ， 小莹先到达景点 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 类型2 同侧型 5.［2024湖南邵阳一模］如图，海中有一小岛 ，它周围8海 里内有暗礁，渔船由西向东航行，在点测得小岛 在北偏 东 方向，航行12海里到达点，这时测得小岛 在北偏 东 方向．参考数据： （1）求 的度数； 【解】如图所示，过点作交延长线于点 .由 题意得， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 （2）如果渔船不改变航线继续向正东方向航行，有没有触礁的危险？ 【解】 ，， 海里. 中， ， （海里） 海里，所以渔船不改变航线继续向正东方向航行，没有触礁的危险． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 6.［2025安徽黄山期中］某中学数学社团开展数学社会实践研 究活动，利用数学课堂上所学的三角函数知识结合传感器制作 出一个能够测量车辆在某段路面的行驶速度的装置．如图，在 距离地面高即的处放有该传感器装置，在 处 测得点的俯角是 ，测得点的俯角是 ．汽车从公路上 （1）求 的长； 【解】根据题意可得 , , . 在中， （米）. 的处由东向西行驶，经过点时传感器开始计时，到达点 时停止计时，通过计 算出的长度和汽车通过的时间可计算出汽车的行驶速度. 参考数据： ,, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 （2）［中］已知该路段限速 ，一辆汽车通过该路段时传感器显示的时间 是 ，请通过计算判断这辆汽车是否超速.（不考虑传感器反应时间） 【解】在中， , ， 米， （米）. 这辆汽车通过该路段时传感器显示的时间是， 这辆汽车通过该路段时的 行驶速度为 ，故这辆汽车没有超速． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 7.［2024湖北随州曾都区期末］某数学学习小组利用课余时间，借助皮尺、测角仪 测量某古塔的高，测量记录如表： 测量项目 测量数据 测量示意图 从处测得塔顶部的仰角 _____________________ 从处测得塔顶部的仰角 测角仪到地面的距离 两次测量时测角仪之间的水平距离 求该古塔的高度结果精确到.参考数据：， ， ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 【解】如图，过点作 直线于，延长交于点 ， 则 . 易知四边形与四边形 均是矩形， ， . 设.在 中， . 在中， ， ，， ， . 答：该古塔的高度约为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 8.［2024山西太原三模］坐落于太原市龙潭公园大鼎广场的春秋大鼎是中共太原市 委、市政府为纪念太原建城2 500年而铸造的.某中学甲、乙两个学习小组决定用自 己学到的知识测量春秋大鼎的高度，为此他们制定了如下测量方案，并利用课余 时间完成了实际测量. 方案一：某一时刻，甲小组测得身高的组员的影长为 ，同一时刻， 测得春秋大鼎的影长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 方案二：如图，乙小组在处测得大鼎顶部的仰角为 ，然后后退，在 处测得春秋大鼎顶部的仰角为 ，测量记录如下表： 课题 测量春秋大鼎的高度 成员 组长： ，组员： ， ， 测量 工具 测角仪，皮尺等 测量 示意 图 __________________________________________________ 说明：为春秋大鼎的高度，， 为两个 测量点，， 为测角仪的高度， ，，，，， 三点共线，，，，，， 在同一平面 内 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 22 测量 数据 的度数 的度数 的高度 的长度 （1）根据方案一可以计算出春秋大鼎的高度约为_____结果精确到 . 5.50 【解】设春秋大鼎的高度为 . 由题意得， ， 春秋大鼎的高度约为 . 故答案为5.50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 23 （2）请你根据方案二中乙小组提供的数据，计算春秋大鼎的高度 结果精确到 .参考数据：， . 【解】如图，延长交于点 . 由题意得， ， . 设， . 在中， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 24 在中， ， . ，， . 答：春秋大鼎的高度约为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 25 （3）比较甲、乙两个小组的测量结果，谈谈在实际测量的过程中可以通过什么措 施减小测量数据产生的误差.（写出一条即可） 【解】在实际测量的过程中，多次测量求平均值可以减小测量数据产生的误差 （答案不唯一,合理即可）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 26 类型3 交叉型 9.［2025广东阳江月考］如图（1）中的阳江市北山石塔建于南宋宝祐年间，是阁 楼花岗岩结构，为广东省内唯一无灰砌石塔．某数学兴趣小组用无人机测量北山 石塔 的高度，测量方案：如图（2），先将无人机垂直上升至距离石塔底端所 在水平面的点，测得北山石塔顶端的俯角为 ；再将无人机沿北山石塔 的方向水平飞行到达点，测得北山石塔底端的俯角为 ，求北山石塔 的高度．结果精确到，参考数据：， ， 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 27 【解】延长交直线于点 ，如图. 由题意得，， . 在中， ， ， . 在中， ， ， ， 北山石塔 的 高度约为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 28 10.［2025辽宁沈阳月考］如图，轮船甲位于码头 正西方向的 处，轮船乙位于码头正北方向的 处，并且测得 .轮船甲自西向东匀速航行，同时轮船乙沿正北方 向匀速航行，它们的速度分别为和，经过 后，轮船甲航行至处，轮船乙航行至处，测得 ， 此时处距离码头多远？精确到 .参考数据： ，， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 29 【解】设处距离码头 . 在中， ， ， . 在中， ， ， . ，， ， 处距离码头大约 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 30 11.［2024河南濮阳期末］如图，学校在教学楼顶悬挂了一幅长为 的励志条幅， 已知楼顶到地面的距离为，在楼前点处测得条幅底端的仰角为 ， 在距点的点处测得条幅顶端的仰角为 （点在线段 上）.若忽略测 量仪器的高度，请你计算条幅 的长度.（结果保留根号） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 31 【解】由题意得 ， , ， ， . 在中，， ， . 在中，， ， . 答：条幅的长度为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 32 $$