卷8 第24章 解直角三角形 对点上分（类题推送）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（华东师大版）

数 学 九年级上册 华东师大版 1 2 3 第24章 对点上分（类题推送） 基础上分 练透考点 4 上分点1 直角三角形的性质 上分点2 锐角三角函数 上分点3 特殊角的三角函数值 上分点4 解直角三角形 上分点5 解直角三角形的实际应用 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 上分点1 直角三角形的性质 （第1题图） 1.［2024陕西商洛商南模拟］如图，在 中， ，为的中点，点在上，且 ， ，则 的大小为( ) B A. B. C. D. 【解析】 ，， ， ， ，为 的中点， ，是等边三角形， ， ，, .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 6 （第2题图） 2.［2025山西忻州期中］如图，是等边三角形，点是 的 中点，，，则 等于( ) D A.6 B.8 C.9 D.12 【解析】是等边三角形， ， ， ， 点是 的 中点， .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 7 （第3题图） 3.［2025广东惠州期中］如图，等边中，点是 延长线上 一点，点是上一点，且.若， ， 则 的长为___. 【解析】过作于点， ， .设，则 . ， 是等边三角形， ，， ， ， ，即，解得， ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 8 4.［2025重庆北碚区校级期中］如图，为斜边上的中线，过点 作 的垂线交于点，过点作的垂线交的延长线于点.若 ， 则 ____. 2.5 （第4题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 9 【解析】为斜边上的中线， ， ，， .在 中，，， 由勾股定理得 ，. ， ， ， ， .在和 中， ，.在 中， 由勾股定理得 .故答案为2.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 10 上分点2 锐角三角函数 5.［2025山东济南钢城区期中］已知在中， ， ， ，则 等于( ) D A.6 B.16 C.3 D.12 【解析】在中， ， ， ．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 11 上分技巧 绘制直角三角形 解直角三角形时可绘制出符合题意的三角形并进行分析，确定已知角与已知边， 从而帮助我们更好地找准三角函数中对应的边. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 12 （第6题图） 6.［2025海南海口期中］如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标 为，那么 的值是( ) C A. B. C. D. 【解析】取格点，如图. 点的坐标为， ， ，.在中， ． 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 13 7.［2024福建泉州期中］若 是锐角，则下列说法正确的是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 14 【解析】如图， ，则,.， ,故A正 确.， ,故B错误. ,， ,故 C错误.,， ,故D错误.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 15 （第8题图） 8.［2024陕西西安模拟］如图，点，， 是由边长相同的小正方 形组成的网格中的三个格点（即小正方形的顶点），则 的 值为( ) D A. B. C. D. 【解析】如图所示，连结 .设小正方形的边长均为1，则 ， ， ，， , ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 16 上分点拨 构造直角三角形 连结，设小正方形的边长均为1，则利用勾股定理的逆定理可求得 , 即 为直角三角形，然后利用锐角三角函数的定义求解即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 上分点3 特殊角的三角函数值 9.［2024广东梅州一模］在中， ，，，则 的 度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】如图所示. ，， ， ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 18 10.［2025福建龙岩期中］在中，若 ，则 一定是( ) D A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【解析】， ， ，，, ， ， , 一定是等腰直角三角形，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 19 11.［2025山东泰安调研］在中， ,，则 ___． 【解析】在中， ,， ， ，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 20 12.［2025陕西西安碑林区期中］计算： （1） ； 【解】 . （2） ． 【解】 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 21 上分点4 解直角三角形 （第13题图） 13.［2025安徽安庆调研］如图，是 的高，若 ，，则 的长为( ) A A.6 B.5 C.4 D.3 【解析】是 的高， ， ， ， ， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 22 14.［2025安徽六安裕安区月考］在中， ，，点 是 边上一点，，,则 ( ) D A.5 B.6.5 C.7 D.7.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 23 【解析】过点作于点，如图.在 中， , 设， ， .在中， , ，解得， （舍去）， ，, 在中，.在 中， ，，解得 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 24 15.［2025吉林长春榆树校级期中］如图，在中， ， 是边 上的中线，过点作，交延长线于点.若，，则 的长为_____. （第15题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 25 【解析】 在中， ，， ， ，. 是 边上的中线， . ， ， ， ， ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 16.数形结合［2025湖南常德期中，偏难］如图，在矩形中， ， ，是边上任意一点，则 的最小值是_________． （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 27 【解析】如图，过点作射线，使与的夹角为 ，过点 作，垂足为点，连结，过点作 ，垂足为点 ，交于点 在中， ， ， ， 的最小值为的长.，且 ， ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 28 ， ， ， 的最小值为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 上分点拨 数形结合与巧用三角函数 遇到求两线段之和的最小值，常常利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”来解 决问题.在中，可以把看作 ，从而添加辅助线，构建含 角的 直角三角形，使得 ，进而解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 17.［2025湖北武汉月考］如图，在中，于 . （1）若,，求 的长； 【解】,，于，， . ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 31 （2）若，求 的值. 【解】 ，，， . 设，则， . ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 32 18.［2025浙江杭州调研，中］如图，在中， ， ，的长为6.求 的面积． 【解】如图，作于点 ． ，， . ， . 在中， ， ， ， ， 的面积是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 33 上分技巧 模型 三角形中有两个内角分别是 和 ，则第三个内角是 ，所以在此三角形 中有 角和 角这两个特殊角，以不分割特殊角为原则，添加辅助线，构造 直角三角形进行求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 34 19.［2025山东潍坊期中］如图，在中， ， 是 边上的中线，过点作，垂足为点， ， . （1）求 的长； 【解】， . 在中，，，， . 在中， ,，， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 35 （2）求 的正切值. 【解】如图，过点作的垂线，垂足为 . ，， . 是边上的中线， . 在中， ,，， ， ， . 在中， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 36 20.［2024北京海淀区校级月考］如图，在 中， ，, . （1）求 的长； 【解】如图， 过点作于点，则 . ，， . ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 37 （2）延长至，使，连结，请求出 的值. 【解】如图，作于点.，, ， ， . ，， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 38 上分点5 解直角三角形的实际应用 21.［2025广东深圳期中］如图，某校九年级学生为了测量某主塔的 高度，站在处看塔顶，仰角为 ，然后向东走160米 米，到达处，此时看塔顶，仰角为 ，则该主塔的 高度是（学生眼睛到地面的距离忽略不计）( ) D A.160米 B.米 C.200米 D. 米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 39 【解析】过点作，垂足为，如图.是 的一个 外角， ， ， ， ， 米.在 中， （米）， 该主塔的高度是 米，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 （第22题图） 22.［2025湖南常德质检，中］春节期间，小澎陪妈妈去爬山.如 图，两人从山脚下处沿坡前行，到达处时，发现 处标语牌 上写着“恭喜你已上升50米”，若此山坡的坡度 ，则小澎 和妈妈在坡路上前行了( ) C A.50米 B.120米 C.130米 D.170米 【解析】 山坡的坡度，.由题可知 米， 米.由勾股定理得 （米）， 小澎和妈妈在坡路上前行了130米，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 41 （第23题图） 23.［2025江苏南京建邺区校级二模］小明不小心把一块直角三角 形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若 ， ， ，则原直角三角形玻璃的面积约为_____ .结果保留整数.参考数据：， ， 107 【解析】在中， ， ， ， 原直角三角形玻 璃的面积约为 ，故答案为 107. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 42 （第24题图） 24.［2025河北石家庄期中］如图是一把圆规的平面示意图， 是支撑臂，是旋转臂，已知 .若支撑臂与旋转臂 的夹角 ，则，之间的距离为________（用含， 的式子表示）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 43 【解析】如图，连结，过点作 ，垂足为 ，， ， .在 中， ， ， ，之间的距离为 ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 44 25.［2024山东淄博高青模拟］为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图 （1），某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.在如图 （2）的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高度记为，遮阳篷 长为5米，且与 水平线的夹角为 . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 45 （1）求点到墙面 的距离； 【解】如图，过点作，垂足为 . 在中，米， ， （米）， 点到墙面 的距离约为4.8米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 46 （2）当太阳光线与水平地面的夹角为 时，量得 长为1.8米，求遮阳篷 靠墙端离地高度 . 结果精确到0.1米.参考数据：，， 【解】如图，过点作，垂足为，则四边形为矩形， ， 米. 米， （米）. 在中， ，米， 米. 在中，米， ， （米）， （米）， 遮阳篷靠墙端离地高度 为4.4米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 47 $$