卷8 第24章 解直角三角形 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（华东师大版）

数 学 九年级上册 华东师大版 1 2 3 卷8 第24章基础诊断卷（A卷） 考查内容：解直角三角形 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 . 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选项 中只有一个选项符合题意） 1.［2025山东聊城期中］若 为锐角，且，则 等于( ) B A. B. C. D. 【解析】 为锐角，且，， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.［2025上海虹口区期中］在中， ，， ，那么 的值是( ) B A. B. C. D. 【解析】 在中， ，，， ．故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.［2025安徽阜阳期末］已知等边 的边长为2，则其面积为( ) B A.2 B. C. D. 【解析】如图，过点作于点是等边三角形， , ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.易错题［2025安徽合肥期末］下列式子错误的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 ，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； , ， ，故C选项不正确，符合题意； ，故D选项正确，不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.［2025山东烟台招远质检］若，利用科学计算器计算 的度数， 下列按键顺序正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】， 利用科学计算器求 的度数，按键顺序 为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第6题图） 6.［2024安徽模拟］如图，在滑雪场有一坡度为 的滑雪道， 滑雪道的长为，则 的长为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得， , , .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第7题图） 7.［2025安徽马鞍山期中］如图， 的顶点都在边长为1的正方 形网格的格点上，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】如图，取格点，连结.根据题意得 ， ，， ， ， ．故选B. 上分点拨 利用网格构造直角三角形 连结网格的两个格点是构造直角三角形的常见方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第8题图） 8.数学文化［2025河南洛阳月考，中］如图是我国古代数学家赵爽 在注释《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角 三角形和一个小正方形 拼成 的大正方形．若，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】设，则，四边形 为正方形， ，， ， ， ，故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 （第9题图） 9.［2025安徽亳州期末，中］如图，在三角形纸片 中， ，，．沿过点 的直线将纸片折叠， 使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点 重合.若 折痕与的交点为，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点 处， ， 折叠纸片，使点与点重合， ， ， ， ， ，.设，则 ， ，解得，， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第10题图） 10.［2025安徽蚌埠期末，偏难］如图，已知 ， ，和分别与交于点和点，连结 ．若 的面积为7，且，则 的值为( ) D A. B.3 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】设，，, , ,,, , ,，即，解得 ， ， , ， ， , ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 ，,即， 的面积 为7，,即，解得 （负值已舍去）， ．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11.［2025安徽合肥第四十五中学质检］计算： _______. 【解析】，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 （第12题图） 12.［2024青海海东期末］如图，在 中， ，，是的中线，是 的中 点，连结，，若，则 的长为_____. 【解析】，是 的中 线， , , ，是的中点，， .由勾股定理得.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 （第13题图） 13.［2025江苏扬州邗江区期中］如图，在等边 中，点 ，分别在边，上，且，过点作 ， 交的延长线于点.若，则以 为边的正方形的面积 为____. 75 【解析】 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形, ， ，， , 即以 为边的正方形的面积为75.故答案为75. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 14.［2025安徽黄山质检］已知点位于第一象限，，且与 轴正半轴夹 角的正弦值为，那么点 的坐标是_________. 【解析】如图，过点作轴于点与轴正半轴夹角的正弦值为 ， .， ，则 ，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 15.新定义［2025江苏宿迁期末，中］定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等 腰三角形顶角的值，即顶角.若在等腰中， ， 且，则 _____． 【解析】如图，过点作于， 设 ，则 ，， ，.根据勾股定理 得， ， ．故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16.［2025浙江金华婺城区质检，难］如图（1）是某种牙签盒的实物图，图（2） 是在取牙签过程中牙签盒的部分侧面示意图，,，为连杆 上两个定 点，通过按压点，连杆绕点旋转，从而带动连杆上升，进而带动连杆 绕点旋转，致使连杆将牙签托盘 向外推出，在取牙签过程中，竖直固定杆 位置不变且与始终平行，牙签托盘 始终保持水平.现测得 ，，， （所测数据在取 牙签过程中固定不变），已知牙签盒在初始状态时，，， 三点共线，在刚好 取到牙签时，，，三点共线，且点在线段上.（取 ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （1）从初始状态到刚好取到牙签时，牙签托盘在水平方向被向外推出____ ； 图（1） 【解析】如图（1），设与交于，连结，过作 于, , ， ，.设，则 ， ., ， ， .易得 ，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 （2）的长为_ __ ． 图（2） 【解析】如图（2），分别延长和交于 ，连结 ，， 四边形 是平 行四边形， ， ， .过 作 于， ， ， .设，则 ， ，， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 .， . ，， ， ， ， ， ， ， ， .设，则 ， ， ， ，即 ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题（本题共6小题，共66分） 17.［2025江苏无锡惠山区校级月考］（8分）计算： （1） ； 【解】原式 .…………（4分） （2） . 【解】原式 . …………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 18.［2025安徽合肥调研］（10分） （1）锐角的正弦值和余弦值都随着锐角度数的变化而变化，请在图（1）和图（2） 中探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律,已知图（1）中 ,图（2）中,,都在射线 上； 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 【解】在题图（1）中，于点，于点， 于点 ，，， . 又,, , .又, 锐角的正 弦值随着锐角度数的增大而增大．…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 在题图（2）中， ，， ， . ， , 即 . 又, 锐角的余弦值随着锐角度数的增大而减小． …………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）根据你探索到的规律，试比较 ， ， ， ， 这些角的正弦 值和余弦值的大小. 【解】由（1）得， ，（8分） ． …………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 19.［2025安徽铜陵期中］（10分）如图，在四边形 中，，，平分交于点 ，连结 ， ， ． （1）求证： 是等边三角形； 【证明】,， ， ， .…………（2分） , .…………（3分） 平分， ， ， ， 是等边三角形.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）若，求四边形 的周长． 【解】是等边三角形,， . 又 ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 又，， . 又， 四边形 是平行四边形. 又， 四边形 是菱形. …………（8分） ， ， ， ，， 四边形 的周长为 . …………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 20.项目式学习［2024湖南中考］（12分）某数学研究性学习小组在老师的指导下， 利用课余时间进行测量活动. 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活 动 过 程 模型 抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形 ，其示意 图如下： ______________________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 活 动 过 程 测绘过 程与数 据信息 ①在水池外取一点，使得点，， 在同一条直线上； ②过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得 的长 为4米； ③在点处用测角仪测得 ， ， ； ④用计算器计算得， ， .， ， 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （1）求线段和 的长度; 【解】，的长为4米， ， ， 米.…………（3分） ， 米， 米.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （2）［中］求底座的底面 的面积. 【解】过点作于点 ，如图所示： ， . 易得四边形是矩形，米， 米，…………（9分） （米）， 底座的底面 的面积为 （平方米）. …………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 21.［2025安徽黄山期中］（12分）已知在中，,, 分别是 ,,的对边，则有 ． （1）在中，,,分别是,,的对边．已知 , ,，求 的值． 【解】, , ,， ， 即 ，…………（3分） .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （2）［中］应用：如图，,为海岸线上两点，点在点 的正北方向， ，有一条小船在点处，若 , ，求小船到点 的距离（结果精确到，参考数据：, , , ） 【解】 , ， ， ，…………（7分） ，即 ， …………（9分） 解得， 小船到点的距离约为 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 22.探究性问题［2025陕西西安期末］（14分）【特例感知】 （1）如图（1），已知正方形和正方形，其中，， 三点共线，连 结并延长交于，连结，，．若，，则 __； 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 图（1） 【解析】过作于 ，如图（1）. ，，.在正方形 中， ， ， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ，，故答案为 . …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 【变式求异】 （2）［中］在（1）的条件下，求 的值； 【解】 正方形中， , ， . 同理得 ，，， ， ， ，…………（7分） ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 【拓展应用】 图（2） （3）［难］如图（2），已知正方形和正方形， 是 中点，连结，点恰在线段上，连结，， ，若 ，当最小时，求正方形 的边长． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 【解】如图（2），连结，，设直线与相交于 . 图（2） 同（2）可证,， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 图（3） 正方形和正方形中，， ， ， ， ，，， 点 在定直线上运动， 当时，最小.过作 于 ，如图（3）.…………（10分） ，，.为 中点，， . 设，则 ，， 是等腰直角三角 形， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 ，，，，解得 ， 即，， ， . 当时，最小， ， ，.过 作 于 . 同理可得，， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 正方形中， ，,即正方形 的 边长为 .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $$