卷6 第23章 图形的相似 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（华东师大版）

数 学 九年级上册 华东师大版 1 2 3 卷6 第23章提优验收卷（B卷） 考查内容：图形的相似 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选项 中，只有一个选项符合题意） 1.［2024广东东莞校级一模］一段加固后的护栏及其局部示意图如图所示，该护栏 竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已 知，则 的长度为( ) C （实物图） （局部示意图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 【解析】如图，过点作于点，交于点 ，且任意相邻两 根木条之间的距离相等，.， ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 2.［2025湖北鄂州月考］已知 ，下列等式错误的是( ) D A. B. C. D. 【解析】，，，， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 3.［2025浙江余姚期中］下图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是( ) A A.点 B.点 C.点 D.点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 【解析】如图，连结对应点，交于点，则点 为位似中心．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 上分总结 找位似中心 位似中心的几种情况（以三角形为例）. 位似中心在外部 ________________________________________________ ____________________________________ 位似中心在内部 _________________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 位似中心在边上 （顶点上） _______________________________ ________________________________ ____________________________________ 实际情况中找位似中心时，先根据两个图形的位置关系判断属于哪种情况，再找 对应点相连. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第4题图） 4.［2024贵州铜仁期末］如图是某景区大门部分建筑示意图，已 知，,，当时， 的长是( ) C A. B. C. D. 【解析】，，即， ，故 的长是 ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 （第5题图） 5.［2024陕西渭南一模］如图，与 位似，点 是它们的位似中心，且相似比为 ，则下列结论正确的 有( ) B ；；； ． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】与位似，相似比为，， ， ，，易得，而 ，故①④错 误，②③正确.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 6.新考法［2024河北邯郸二模］如图是一把折叠椅及其侧 面的示意图，把一个钢尺（单位： ）垂直地面放置，其 中与“0”刻度线重合，点落在“30”刻度线上， 与“50” 刻度线重合.若测得，则 的长是( ) B A. B. C. D. 【解析】根据题意得，，. ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 7.［2025天津南开区一模，中］如图，中， ， ， ．将 按下列选项中的方式剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相 似的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】 选项 分析 结论 A ， ， 不符合题意 B ，， 不符合题意 C ， , 而，，.又 ， 不符合题意 D 由已知条件无法证明与 相似 符合题意 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 上分技巧 相似三角形的判定定理 ①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③三边成比例的两个三角形相似. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 （第8题图） 8.［2024安徽宿州期中，中］如图，在矩形中， , ,,分别是边, 上的点（不与端点重合）， .若与相似，则 的长为( ) D A.3或 B.3或12 C.3或12或 D.3或12或 【解析】设，则.分两种情况讨论：①若 ，则 ，即，整理得，解得,， 的长 为3或12； ②若，则，即，解得，的长为 .综上 所述，的长为3或12或 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 （第9题图） 9.［2024河南洛阳洛龙区一模，中］如图，正方形 的边长为3， 点是上一点，连结，交于点．若，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】如图，过作于 四边形 是边长为3的正方形， ，， ， ，，， ， ，.，， ， ． 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 10.［2024浙江温州鹿城区一模，难］如图，把一张宽为的矩形纸片 沿 ，折叠．顶点，，，的对应点分别为，，，，点与 重合， 点恰与，的交点重合．若，则 的长为( ) A （第10题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 【解析】 四边形为矩形，，， ， ， 设， .由折叠的性质可 得，，，， ， ， ， , ， ， , ,, , 共线，.又 ， ，，即 ，整理得 ，解得， （不合题意，舍去）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ，，， 在 中， 由勾股定理得 ， .设，则 .由题可 知，，， ， ，，即， ， .在中，， ，由勾股定 理可得 ， . , ，解得， ，故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） （第11题图） 11.［2025浙江瑞安月考］如图（1）是由若干个相似直角 三角形组成的美妙螺旋线，选择其中两个相邻的直角三 角形如图（2）所示．若， ， ，则 的长为___． 【解析】 ，， ， ， ， ， ，即 ， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （第12题图） 12.［2025河北石家庄期中］如图，在平行四边形 中， ，，则 ____． 【解析】， 四边形 是平 行四边形，，， , .又， ， ，，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 13.［2025浙江宁波宁海校级质检］有五本形状为长方体的书放置在长方体书架中， 其截面如图所示，其中四本竖放，一本斜放，点 正好在书架边框上．每本书的厚 度为，高度为，书架长，则 的长为_______． （第13题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 【解析】由题知， ， ，， ， ， ， ，， ，即 ，.在中，由勾股定理得 ，即 ，解得或（舍去），故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （第14题图） 14.［2024四川乐山一模，中］古希腊数学家欧多克索斯在深入研 究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段 分 为两条线段，，使得其中较长的一段是全长 与较短 的一段的比例中项，即满足，后人把 这个 数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在 中， 已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则 的面 积为__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 【解析】如图，过点作于点， ， .在中， . ，是边 的两个“黄金分割”点， ， ， ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （第15题图） 15.［2025广东揭阳期末，偏难］如图，矩形的对角线 ， 相交于点，过点作，交于点.若 ， ，则 的长为___． 2 【解析】 四边形是矩形，其对角线，相交于点 ， ，，， ， ，， ， ， ，,即，解得 或 （舍去）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 16.［2025河南平顶山期末，难］如图， 的三个顶点的坐标 分别为，，，为的一条中线，以 为位似 中心，把每条边扩大到原来的2倍，得到，则 的 长为______． 或 【解析】 点,,的坐标分别为，，， ， 为的一条中线，.以 为位似 中心，把每条边扩大到原来的2倍，得到，则.当点 在第一象限时，；当点 在第三象限时， .综上所述，的长为或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 三、解答题（本题共6小题，共66分） 17.［2025湖南娄底期末］（8分）如图，中，是边 上的 高，，，作矩形，使它的一边 在 上，顶点，分别在，上，与的交点为 ，且矩形 的长是宽 的2倍． （1）求证： ； 【证明】 四边形为矩形，，， ， . 又，， .·············（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）试求矩形 的周长． 【解】设，则，.由（1）可知， ， ，, 矩形 的周长为 .·············（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 18.［2025福建宁德蕉城区校级月考］（10分）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为，， . （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 【解】如图， 即为所求.·············（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （2）以原点为位似中心，相似比为，在 轴的左侧，画出将（1）中的 放大后的 ； 【解】如图， 即为所求.·············（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （3）与（2）中的 能否为位似图形？若能，请直接写出位似中心 点 的坐标. 【解】能，点的坐标为 .·············（10分） ，，，，， ， 直线的表达式为 . 设直线的表达式为 ， ，解得， . 点在直线,直线上，，解得，故点的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 19.［2025浙江杭州上城区质检］（10分）如图，点为 的边上一点，连结并延长至点，使得，点 在线 段上，且，， ． （1）若，求 的长． 【解】， ，·············（2分） ， ， ．·············（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （2）若 ，平分，求 的长． 【解】如图，过作 于 . ， . 平分 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 ， ， ， . ，， ， .·············（6分） ，，，， ， ， ， .·············（8分） ,， ， ．·············（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20.项目式学习［2025河南驻马店期末，中］（12分）某“综合与实践”小组开展测 量本校旗杆高度的实践活动．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地 测量，测量报告如下： 课题 测量旗杆的高度 成员 组长： 组员： ， ， 测量工具 皮尺，标杆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 测量示意图 _____________________________________ 说明：在水平地面上直立一根标杆 ，观测者沿着直线 后退到点 ，使眼睛、标杆的顶端 、旗杆 的顶端 在同一直线上 测量数据 观测者与标杆的距离 观测者 与旗杆 的距离 标杆 的长 观测者的眼睛离 地面的高度 解决思路 如图，过点作于点，交于点 请根据以上测量数据及该小组的思路,求出学校旗杆 的高度． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 【解】由题意得，， ， .·············（2分） ， . ， , ，·············（6分） ，， ，·············（10分） ， 学校旗杆的高度为 ．·············（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 21.［2025安徽亳州期末］（12分）如图，在 中，高线 ，交于点，连结 . （1）求证： ； 【证明】， ， . 又， ，·············（3分） ， .·············（4分） 又， .·············（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 （2）［中］若，，，求 的值. 【解】，， ， ， . ， ， ， .·············（10分） 易知， .·············（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 22.［2025四川巴中巴州区期中］（14分）如图， ，且 ，是的中点，是边上的动点，与 相交于 点，连结 ． （1）求证： ； 【证明】，点是的中点， ． 又， 四边形 为平行四边形，·············（2分） ， ． 又 ， .·············（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 （2）［中］若是的中点，，求 的长； 【解】 四边形 为平行四边形， . ， .·············（5分） 是的中点， ， ， .·············（6分） ， .·············（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 （3）［难］若，平分，点是线段上的动点，连结， , 是否存在点使得？若存在，求出 的度数；若不存在，请 说明理由． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 【解】存在.， . 平分， ， ， . ， ， ， .·············（10分） ， ， .·············（12分） ， 是等边三角形， ， ， ， ．·············（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 $$