卷5 第23章 图形的相似 上分专题（三） 与相似三角形有关的动态变化-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（华东师大版）

数 学 九年级上册 华东师大版 1 2 3 上分专题（三） 与相似三角形有关的动态变化 重难上分 攻克难点 4 类型1 相似三角形中的平移、翻折、旋转 类型2 相似三角形中的动点问题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 相似三角形中的平移、翻折、旋转 母题学方法 上分攻略 对给定的图形（或其中一部分）进行某种位置变换（平移、翻折或旋转），然后 在新的图形中分析有关图形之间的关系，可根据变换前后对应角相等、对应边相 等找到相似三角形的判定条件，从而证明三角形相似. 1.［2025安徽六安金安区期末］如图，将矩形纸片 沿着过点的直线折叠，使点落在 边上， 落点为，折痕交边于点 ． 1 2 3 4 5 6 6 （1）求证： ； 【证明】 四边形是矩形， . 根据折叠性质知， ， ，， . （2）［中］若，，求 的长. 【解】由折叠性质知，， . ， . 四边形是矩形，， ， ．设，则 . ，,解得， ． 1 2 3 4 5 6 7 子题练变式 2. 如图，将线段平移得到，点与点对应，点与点 对应，连 结， . （1）求证： . 【证明】由平移得，， 四边形 是平行四边形， . 1 2 3 4 5 6 8 （2）［难］点在的延长线上，点与关于直线对称，直线交 的延 长线于点，点在线段上，且 . ①设 ，求的度数（用含 的代数式表示）. 【解】，是 的一个外角， ， ∵点与关于直线 对称， ， ， ，的度数为 . 1 2 3 4 5 6 9 ②求证： . 【证明】如图，过点作，交于点，连结 . ，，，， , . 点与关于直线对称， 易得 ， ，， . 又，，， ， . 1 2 3 4 5 6 10 3. ［难］如图（1），把一个含有 角的三角尺放在正方形 中， 使 角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时， 角的两边 ，所在直线始终与正方形的边，所在直线分别相交于点， ，连结 ，可得 . 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 11 【探究一】 如图（2），把绕点逆时针旋转 得到 .求证： . 【证明】由正方形的性质得 把绕点逆时针旋转 得到 ， ,， ， , ，,, 三点共线，.在和 中， ， . 1 2 3 4 5 6 12 【探究二】 在图（2）中，连结，分别交，于点， .求证： . 【证明】如图（1）所示， 四边形 是正方形， ， ， . ， . ， . 1 2 3 4 5 6 13 【探究三】 如图（3），直线与 角两边，分别交于点， ，连结 交于点，求 的值. 【解】，是正方形的对角线， ， ， . ， ，即 ，，， . 1 2 3 4 5 6 14 如图（2）所示，将绕点逆时针旋转 得到 ，则 点在直线 上， ， ， . 又，， . ， . ，， ，即 . 1 2 3 4 5 6 15 类型2 相似三角形中的动点问题 母题学方法 上分攻略 此类题目需在点的运动中寻找相似三角形，通过列方程、分类讨论求解. 4.［2025福建莆田荔城区校级月考，中］如图，在 中， ，，．动点从点出发，在 边 上以的速度向点运动，同时动点从点出发，在 边上以 的速度向点运动，运动时间为，连结 ．若 与相似，则 的值为_______． 或 1 2 3 4 5 6 17 【解析】在中，，， ， .由题意知， ， ，.当时，， ， 解得；当时，，，解得.故答案为 或 ． 上分警示 相似三角形中的动点问题 需分类讨论，随着点的运动，可能会导致相似三角形对应边的改变. 1 2 3 4 5 6 18 子题练变式 5. ［2025河南周口期末，偏难］如图，中， ， ，，动点从点出发，在边上以的速度向点 匀速 运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点 匀速运动，运动时 间为，连结，，.当时，求 的值． 1 2 3 4 5 6 19 【解】如图所示，过作于点，设， 交于点 ，,, .由题意得， ，. 易得， ， 即，， ， ., ， ， . 又 ，， ， , ． 1 2 3 4 5 6 20 6.［2025四川巴中中学月考］如图，已知四边形是矩形，以点 为坐标原点 建立平面直角坐标系，其中，，点以每秒1个单位的速度从点 出发 沿轴正方向运动，连结，作交轴于点，连结交射线于点 ， 设运动时间为 秒. 备用图 1 2 3 4 5 6 21 （1）当时，___， ___； 6 4 【解析】当时， 四边形是矩形，， ， ，， ， 为等腰直 角三角形，， ， ，是等腰直角三角形， ，故答案为6，4. 1 2 3 4 5 6 22 （2）当点在原点上方，且时，求的值和点 坐标； 【解】 四边形是矩形，， . ，，即,解得 . ， ， . ，，， ， ，，故点的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 23 （3）在运动的过程中，是否存在以，，为顶点的三角形与 相似？若存 在，请求出 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在.当在轴正半轴上时，由（2）可知， . 若，则，，整理得 ,此方程无实数根； 若，则，，整理得 ，解得 ， （舍去）， ， 点的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 24 当在 轴负半轴上时，如图. ， ， . ，，，， ， . 1 2 3 4 5 6 25 若，则，，整理得 ，解得 ， （舍去）， ， 点的坐标为 ； 若，则， ， 整理得 ,此方程无实数根. 综上所述,点的坐标为或 . 1 2 3 4 5 6 $$