卷5 第23章 图形的相似 上分专题（二） 相似三角形的常考模型-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（华东师大版）

数 学 九年级上册 华东师大版 1 2 3 上分专题（二） 相似三角形的常考模型 重难上分 攻克难点 4 类型1 A字型 类型2 8字型 类型3 子母型 类型4 一线三等角型 类型5“手拉手”旋转模型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 A字型 母题学方法 上分攻略 此类题目的图形中的两个三角形有一个公共角，只要再找一对相等的角或夹这个 公共角的两边成比例，就可证明这两个三角形相似. 1. ［2025安徽阜阳颍东区调研］如图， ，若 ，，则 的长是( ) A A.20 B.12 C.8 D.6 【解析】，，.又 ， ，故选A. 上分总结 A字型 A字型分两种：①正A字型，②斜A字型.注意两种A字型的边角对应关系不同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 子题练变式 2. ［2025安徽淮南大通区质检］如图，在等边三角形中，点， 分别在，上，且 ，下列不正确的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 【解析】，是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， .综上，A， C，D正确,不符合题意.在和中，, ，可 知这两个三角形不相似，故B不正确，符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 类型2 8字型 母题学方法 上分攻略 此类题目的图形中的两个三角形有一个公共顶点，且有一组对顶角，只要再证另 一组对应角相等或夹这组对顶角的两边成比例，就可证明这两个三角形相似. 3.［2024云南文山州期末］如图，在四边形 中，对角线 ，相交于点，平分，且 .求证： . 【证明】， . ，， . 平分， . 又， . 上分总结 8字型 8字型有两种：①正8字型，②斜8字型（蝴蝶型）.注意两种8字型的边角对应关系不同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 子题练变式 4.［2024江苏无锡模拟］如图，四边形中，，点在边 上，与的延长线交于点， ． （1）求证：四边形 为平行四边形； 【证明】，点在的延长线上， ， ，，， . ，， ， 四边形 为平行四边形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 （2）［中］连结，分别延长，交于点，如果 ，求证： ． 【解】如图. 四边形 是平行四边形， . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 又， ， . ，， . ，， ， ，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型3 子母型 母题学方法 上分攻略 如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即 ,又称为射影定理. 5.［2025安徽黄山徽州区期中］如图，已知在 中， ，是斜边上的高，如果， ， 那么 的长为( ) A A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】在中， ，是斜边 上的高，则易证 ,,即， ， ， ，故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 6.［2025浙江台州仙居调研］如图，在 中， ，，，过点作于点 ， 以为顶点作一个直角，其两边分别与边， 交于点 ，，点不与点重合，则 __． 【解析】， ， ，， ， .， .又 ，，.故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 类型4 一线三等角型 母题学方法 上分攻略 此类题目的图形中一条直线上有三个相等的角，找出两个三角形中的两组角对应 相等就可以证明两个三角形相似. 7.［2025江苏扬州期中］如图，，，点 是线 段上的一点，且 ． （1）求证： ； 【证明】，，， ， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 （2）［中］已知，，，求线段 的长． 【解】，，， ． 上分总结 一线三等角型 通常通过等量关系找到对应的角，进而得到相似三角形.注意不要找错相对应的角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 子题练变式 8.［2025安徽蚌埠期中］如图（1），为等边三角形，，点为 边上的动点（点不与点，重合），点在边上，且 ． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 （1）求证： ； 【证明】为等边三角形， . ， ， . ，， . （2）［中］如图（2），当运动到的中点时，求线段 的长． 【解】由（1）可知， . 为等边三角形， . 点为的中点，，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 类型5“手拉手”旋转模型 母题学方法 上分攻略 此类题目中的两个三角形有一组公共顶点，两组边（交于公共顶点的4条边）对应 成比例且夹角相等. 9.［2024安徽合肥包河区期中］如图， ，添加下列条件不能使 的是 ( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 【解析】 选项 分析 结论 A ，， ， 不符合 题意 B ，.又， ， 不符合 题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 选项 分析 结论 C ，.又， ， ，， .又 ， 不符合 题意 D 由，，不能判定 符合题 意 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 子题练变式 10.［2025浙江金华月考］如图，和 均为等腰直角三角形， ，在内， ,连结 ．若 ，，则 ____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 【解析】与均为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，，， ， ,，.， ， .， ， ， ，．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 $$