卷5 第23章 图形的相似 对点上分（类题推送）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（华东师大版）

数 学 九年级上册 华东师大版 1 2 3 第23章 对点上分（类题推送） 基础上分 练透考点 4 上分点1 成比例线段与平行线分线段成比例 上分点2 相似多边形 上分点3 相似三角形的判定 上分点4 相似三角形的性质 上分点5 相似三角形的应用 上分点6 中位线 上分点7 位似图形 上分点8 图形与坐标 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 编者按：先做基础诊断卷 检测薄弱，再到对点上分处进行错题对应练习，补足 短板，最后做提优验收卷 综合提升 上分点1 成比例线段与平行线分线段成比例 1.［2025山东招远期末］已知，则 的值为( ) A A. B. C. D.19 【解析】，，， ．故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 （第2题图） 2.［2024浙江杭州拱墅区校级质检］如图， ， ，，则 的长为( ) D A.3 B.4 C.6 D.9 【解析】，，, . ，， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 （第3题图） 3.［2025上海虹口区月考］如图所示，已知直线 ，下列结 论中，正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】， ，故A选项不正确，不符合题意； ， ，故B选项不正确，不符合题意； ，,，故C选项不正确，不符合题意； ， ，故D选项正确，符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 上分技巧 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 上分点2 相似多边形 4.［2023广东佛山禅城区期末］如图，四 边形 四边形 ，且顶点都在 方格纸的格点上，则四边形 和四边 形 的相似比是( ) C A. B. C. D. 【解析】设方格纸中每个小正方形的边长为 四边形 四边形 ， 相似比为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 5.［2024陕西西安质检］如图，在矩形中，， ，剪去一个矩形 后，余下的矩形 矩形，则 的长为__. 【解析】 四边形是矩形，， 矩形 矩形，，，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 上分点3 相似三角形的判定 6.［2024河北保定期中］已知的三边长分别是1，，，则与 相似 的三角形的三边长可能是( ) A A.，2， B.，1， C.1，， D.，1， 【解析】， 三边长是，2，的三角形与 相似. 选项B、C、D中的数据不符合要求，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.［2025江苏无锡期中，中］如图，是的边 上的一点， 连结，已知 ． （1）求证： ； 【证明】，， . （2）若，，求 的长． 【解】设， ， ，， ，整理得 ，解得或 （不合题意，舍去）， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 8.［难］如图（1），和是等边三角形，连结，点，， 分别是 ，和的中点，连结，.易证得.若和 都是等 腰直角三角形，且 ，如图（2）；若和 都是等 腰三角形，且 ，如图（3）.其他条件不变，判断和 之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图（2）或图（3）进行证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 【解】题图（2）中， ，证明： 如图（1），连结，， . 和 都是等腰直角三角形， 且 ，，分别是，的中点，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 点，分别是，的中点，， . 题图（3）中，，证明：如图(2)，连结，，.和 都 是等腰三角形，且 ， . 点，分别是，的中点，， ， ，， , ，，， . 点，分别是，的中点，， .（写出其中一个结论 的证明过程即可） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 上分点4 相似三角形的性质 9.［2024河北邢台信都区质检］已知，，， ， 则 ( ) A A.6 B.4 C.3 D.2 【解析】，，，，，即 ， 解得 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 10.［2024重庆沙坪坝区质检］若两个相似三角形的相似比为 ，则这两个三角 形的周长之比为( ) B A. B. C. D. 【解析】 两个相似三角形的相似比为， 这两个三角形的周长之比为 ， 故选B. 上分心得 相似三角形的周长比和面积比 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 11.［2025江苏苏州姑苏区校级期末］如图，，是 的 两条中线，连结．若，则 ___． 3 【解析】，是的两条中线，是 的中位 线，，， ， . ， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 上分点5 相似三角形的应用 12.［2024山东淄博临淄区期末］如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面 上，其截面可看作一个宽，长 的矩形.当水面触到杯口边缘 时，边 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 【解析】如图所示，作 桌面于点.由题意可得， ， ，故 四边形 是 矩形,,,.又 , ,.又 ， ， ，， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 13.［2025福建漳州期中］小明准备送礼物给妈妈，他将边长为 分米的正方形纸板 按如图所示裁剪（裁剪所得的正方体 展开图的面积最大），利用阴影部分的纸板制作一个正方体礼品 盒，则这个礼品盒的体积为___立方分米. 8 【解析】在正方形中，分米.由题意得， 和 是等腰直角三角形，，， ， 分米，分米，即 分米， 分米， 正方体礼品盒的棱长为2分米， 这个 礼品盒的体积为 （立方分米）.故答案为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14.［2025浙江湖州期末］《九章算术》中《勾股》章的最后几个问题是城池、山 高和井深的测量问题，所使用的测量方法称为“重差术”，“重差术”起源于魏晋时 期刘徽的“日高图”，他曾用此方法测量太阳的高度.某天小浔偶然翻阅到这一章， 一时来了兴趣便开始了研究，请你帮助小浔完成这个研究. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （1）如图（1），为了测量教学楼的高度 ，小浔将一个自制的直角三角尺 竖直放置于水平地面上，并使得，， 在同一直线上， ，若测得米，米， 米，请帮助小浔计算教学楼的 高度 . 【解】米，米， （米）. ，，， ， ，，解得 . 答：教学楼的高度 为14米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （2）如图（2），为了测量某一时刻太阳点的高度，在相距1 000米的， 两 地分别直立一个旗杆，旗杆长2米，分别测得旗杆的影长和 ，便可计算太阳 的高度，小浔发现根据，可以求出的值，根据 ， 可以求出的值，设影长米， 米. ①请分别用含有，的代数式表示和 . 【解】，， . ，， . 综上所述，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 ②若，，请计算太阳的高度 . 【解】设米，米，由①可得，，， ， ，解得， . 易知米， （米）. 答：太阳的高度 为1 252米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 上分点6 中位线 15.［2025河南南阳内乡期中］如图，在中， ，是边 的中 点，是边上一点，连结，.若将 分成周长相等的两部分， 则 的长为( ) C （第15题图） A. B. C.4 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 【解析】如图，延长至，使得，连结 ， .又，是等边三角形，是边 的 中点，是边上一点，将 分成周长相等的两部分， ， ， ，，即，是 的中 位线，.又， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 （第16题图） 16.［2024江苏徐州期末］如图，在四边形中，，， ， 分别是，，，的中点，要使四边形 是菱形， 则四边形 只需要满足的一个条件是( ) D A.对角线 B.四边形 是菱形 C.对角线 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 【解析】 在四边形中，，，，分别是，，， 的中点， ，，，.同理可得，， ， 四边形是平行四边形选项，由，不能证明四边形 是菱形， 故本选项错误；B选项，若四边形是菱形，则点,,, 共线,故本选项错误； C选项，由对角线，不能证明四边形 是菱形,故本选项错误；D选项， 若，则, 平行四边形 是菱形,故本选项正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 上分点7 位似图形 （第17题图） 17.［2025河北唐山古冶区月考］如图是由边长为1的小正方形 组成的网格，以为位似中心，作线段的位似图形.若点 是 点的对应点，则点 的对应点是( ) D A.点 B.点 C.点 D.点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 【解析】，， 线段与其位似图形的相似比为如图，点 的对应点是点 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （第18题图） 18.［2025河南周口期中］如图，与 位似，其位似 中心为点，且，若的周长为5，则 的周长为 ___. 【解析】与位似，其位似中心为点，且 , ，与的相似比为，与 的周长比为 的周长为5，的周长为.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 19.［2025广西崇左江州区期末］如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边 长都是1个单位长度， 的顶点都在格点上． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （1）以原点为位似中心，在第三象限内画出将 放大为原来的2倍后的位似 图形 ； 【解】如图， 即为所作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （2）［中］已知的面积为，则 的面积是____． 14 【解析】和关于原点位似，且相似比为 ， ．故答案为14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 上分点8 图形与坐标 （第20题图） 20.［2025重庆沙坪坝区校级期中］“云冈石窟”“龙门寺” “小西天”和“悬空寺”是山西著名旅游景点.欢欢在图中的 方格纸上标注了这四个景点的位置示意图.若“云冈石窟” 与“龙门寺”的位置分别用， 表示，则“小西天” 的位置可表示为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 【解析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则“小西天”的位置可表示 为 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （第21题图） 21.［2024河北唐山迁安期末］如图，在某一时刻，一艘货 轮与导航灯相距，用北偏东 ， 来描述货 轮相对于导航灯的位置，那么导航灯相对于货轮的位置可 描述为( ) D A.北偏东 ， B.南偏东 ， C.北偏西 ， D.南偏西 ， 【解析】由题意知导航灯相对于货轮的位置可描述为南偏西 ， .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 22.［2025河南驻马店西平校级期中］如图，在平面直角坐标系中，点，， 在 轴上，经过平移和旋转变换得到，若点的坐标为 ， ，则这个变换过程可以是( ) A A.将绕点顺时针旋转 ，再向下平移4个单位长度 B.将绕点顺时针旋转 ，再向下平移1个单位长度 C.将绕点逆时针旋转 ，再向下平移1个单位长度 D.将绕点逆时针旋转 ，再向下平移4个单位长度 【解析】 点的坐标为，， 将绕点 顺时针旋转 ，再向下平移4个单位长度可以得到 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 $$