卷3 第22章 一元二次方程 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（华东师大版）

数 学 九年级上册 华东师大版 1 2 3 卷3 第22章提优验收卷（B卷） 考查内容：一元二次方程 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 . 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选项 中，只有一个选项符合题意） 1.［2025河南濮阳校级月考］若关于的方程 是一元二次方程， 则 的值是( ) B A.2 B. C.2或 D.0 【解析】 关于的方程是一元二次方程， 解得 ，的值为 ．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 上分总结 求一元二次方程中的参数 已知方程为一元二次方程，求方程中的参数时应注意：①方程的最高次项为二次 且必须有二次项；②二次项系数不为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 2.［2025河北保定校级月考］根据下表可以确定关于的方程 的解 的取值范围是( ) … … 4 5 6 … … 13 5 … 5 13 … D A. B.或 C.或 D.或 【解析】由表格数据可知，和5时，， 和4时， ， 关于的方程 的解的取值范围是 或 ．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 3.［2025山东德州期末］已知是关于的一元二次方程 的一 个根，则 的值为( ) B A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】根据题意，把代入，得 ，即 ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 4.新考法［2025安徽宿州月考］老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式解一元 二次方程.规则是每人只能看到前一人传过来的式子，完成一步计算后交给下一位 同学，依次进行，最后完成计算．如图，接力中自己负责的一步出现错误的是 ( ) C A.小明 B.小丽 C.小红 D.小亮 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 【解析】，方程左右两边同时除以2可得 ， 故小明负责的一步正确；由等式的基本性质可得 ，故小 丽负责的一步正确；所以， ， ，故小红负责的一步出现错误；解,得 , ,故小亮负责的一步正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 5.［2025江西吉安校级月考］2024年8月2日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运 动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式.据了解，本次比赛采用单循环赛 制（每两支球队之间都进行一场比赛），如果比赛共进行了78场，那么一共有多 少支球队参加比赛？设一共有 支球队参加比赛，根据题意可列方程是( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意，得 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 6.［2025江苏南京鼓楼区校级月考］若关于的方程，其中 在数 轴上的位置如图所示，则此方程的根的情况是( ) C （第6题图） A.无法确定 B.无实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根 【解析】由题意，得.由数轴，得，， 方程有两个不相等的实数根，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 7.［2024河北唐山路北区模拟］对于题目：先化简再求值： ，其中是方程 的根，甲化简的结果是 ，求值的结果是；乙化简的结果是，求值的结果是 .下列判断正 确的是( ) D A.甲的两个结果都正确 B.乙的两个结果都正确 C.甲的化简结果错误，求值结果正确 D.甲的化简结果和乙的求值结果合在一起才是正确答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 【解析】.是方程的根, ， 原式 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 （第8题图） 8.［2025内蒙古赤峰期中，中］如图是一个三角点阵，从上向 下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点， ， 第行有个点，则前 行的点数之和不可能是( ) B A.55 B.95 C.78 D.120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】由题意得前行的点数之和为.若前 行的 点数之和为55，则，解得或 （舍），所以前10行的 点数之和为55，故A选项不符合题意；若前 行的点数之和为95，则 ，解得，不是整数，所以不存在前 行的点数之和 为95，故B选项符合题意；若前行的点数之和为78，则 ，解得 或 （舍），所以前12行的点数之和为78，故C选项不符合题意；若 前行的点数之和为120，则，解得或 （舍），所 以前15行的点数之和为120，故D选项不符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 上分技巧 图形规律探究问题 根据基础图形，得出前行的点数之和与 之间的关系，然后将各选项代入，进行 验证. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 9.［2024浙江宁波模拟,中］如图，在中，已知 ， ， .以点为圆心，长为半径画圆弧，交于点；以点为圆心， 长 为半径画圆弧，交于点，连结,则下列线段的长一定是关于 的一元二次方 程 的一个根的是( ) A （第9题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 【解析】 ，， ， ， ， ，解得，, 线段 的长是关于的一元二次方程 的一个根.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 10.［2025重庆校级期中，难］定义：已知，是关于 的一元二次方程 的两个实数根，若，且 ，则称这个 方程为“友好方程”.如：一元二次方程的两根为 ， ，,且，所以一元二次方程 为“友 好方程”.关于的一元二次方程 ，有下列两个结论：①当 时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有3个整数 满足要求，对于这两个结论判断正确的是( ) C A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确，②错误 D.①错误，②正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 【解析】①当时，方程为，解得， ， ，，且， 该方程是“友好方程”，故①正确 ，，或 ，解 得，或， 该方程是“友好方程”， 该方程有两个 不相等的实数根，.当，时，， ， 解得.为整数，且,， 此时的值不存在.当 ， 时，，解得.又， 此时满足要求的整数 的值有， ，故②错误.综上，①正确，②错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11.［2025北京海淀区期中］将关于的一元二次方程 化成 的形式，则 ___． 2 【解析】，， 将关于 的 一元二次方程化成的形式，， ， ，， ，故答案为2． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 12.开放性试题［2024吉林四平一模］请填写一个常数，使得关于 的方程 _________________ 有两个不相等的实数根． 1（答案不唯一） 【解析】设常数为，，且关于 的方程有两个不相等的实数根， ， ．故答案为1（答案不唯一）． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 13.跨学科问题［2025广东梅州五华期中］如图，根据物理学规律，如果把一个物体 从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度单位： 为 ．根据物理学规律，物体经过_____ 落回地面．（结果保留小数点后两 位） 2.45 【解析】根据物体落回地面，可得，解得 （舍）， ，因此物体经过 落回地面．故答案为2.45． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 14.［2025广东深圳南山区期中］设，是一元二次方程 的 两个根，则 的值为_______． 【解析】,是一元二次方程的两个根， ， ，．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 15.［2025安徽合肥模拟，难］小夏写了封保护眼睛的倡议书，用社交软件转发的 方式让更多人注意到，设计了如下转发规则：小夏将倡议书发表在自己的社交软 件上，然后邀请自己的个好友转发，每个好友转发后，各自又邀请 个互不相同 的好友转发.已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则 的值为____． 12 【解析】依题意，得，解得， （不合题意，舍 去）．故答案为12． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 16.［2025浙江宁波月考，难］通过下列方法可将 转化为方程 ，我们规定：方程为 的还原方程． . 去分母，得 , 移项，得 , 两边平方，得 , 整理，得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 （1） 的还原方程是_______________． 【解析】，去分母，得，移项，得 ，两边平方， 得，整理，得.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （2）若，则代数式 ___． 5 【解析】，移项，得，两边平方，得 ，整理， 得， ， ， ． 故答案为5． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 三、解答题（本题共6小题，共66分） 17.［2025北京西城区月考］（8分）解方程： （1） ． 【解】，，， ， ， 解得， .…………（4分） （2） . 【解】，，或 ，解得 ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 18.［2025福建厦门思明区校级期中］（10分）已知关于 的一元二次方程 ，其中， 是常数． （1）若 ，试判断该一元二次方程根的情况. 【解】 ， .…………（2分） ，，即 ，…………（4分） 该一元二次方程有两个不相等的实数根.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点在直线上，求 的值． 【解】根据题意，得 0. 点关于原点的对称点为 ， ，即 .…………（7分） 把代入，得，整理得 ， 解得，故 的值为4．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 19.新考法［2025山东日照期末］（10分）请阅读下列材料，并按要求完成相应的 任务. 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现 在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学 家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程正数解的几何解 法．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．例如：解方程 ，即 ，首先构造如图（1）所示的图形，图中大正 方形的面积是，其中四个全等的小矩形面积均为 ，中间 的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为 ，据此可得原 方程的正数解为 ． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 任务： （1）参照上述方法，下列三个构图（每个小方格的边长均为1）中能够得到方程 的正数解的是___________________（填序号）． ②…………（2分） ① ② ③ 【解析】首先构造面积是 的大正方形，其中四个全等的小矩形面积均 为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积又可表示为 ，， 原方程的正数解为 ，故正确构图 为②．故答案为②. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （2）［中］如图（2），在边长为1的小正方形组成的网格中设计出正确的构图求 方程 的正数解.（写出必要的思考过程） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 【解】首先构造如图所示的图形，…………（6分） 图中大正方形的面积是 ，其中四个全等的小矩形面积均为 ，中间的小正方形面积为 ， 大正方形的面积又可表示为， ， 原方程的正数解为 ．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 20.［2025安徽阜阳期末］（12分）如图，学校在教学楼后面规 划出一片区域用于搭建矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后 墙可利用墙长为，中间及其他的边用总长为 的不锈 钢栅栏围成，左右两侧各开一个 的出口后，不锈钢栅栏形如 （1）车棚长度为_________________________ . …………（2分） 【解析】由题意可知， ，故答案为 . “山”字．设车棚宽度为.（备注：距教学楼后墙 处，规划有机动车停车位） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （2）若车棚面积为 ，试求出车棚的长和宽． 【解】由题意得 ，…………（4分） 整理得，解得， （不符合题意，舍 去），…………（6分） . 答：车棚的长为，宽为 .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （3）［中］若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为 的 自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【解】不能围成面积为 的自行车车棚.…………（8分） 理由如下：由题意得 ， 整理得 .…………（10分） ， 原方程无实数根， 不能围成面积为 的自行车车棚．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 21.［2025江苏南通校级模拟］（12分）某手工汤圆店计划在元宵节前用21天的时 间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤糯米粉，而汤圆店每 天能生产450斤汤圆馅或300斤糯米粉（每天只能生产其中一种，1斤 克）.若 该汤圆店这21天生产的汤圆馅和糯米粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆. （1）请问总共生产了多少袋手工汤圆？ 【解】设总共生产了 袋手工汤圆. 依题意得,解得 . 答：总共生产了9 000袋手工汤圆.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 （2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把这21天生产的汤圆在10天内销售 完毕.据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元/袋时每天可售出225袋， 售价每降低2元，每天可多售出75袋.汤圆店按售价25元/袋销售2天后，余下8天进 行降价促销，若第10天结束后还未售完，就将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价 格全部卖给古城小吃店，若最终获利40 500元，则促销时每袋应降价多少元？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 【解】设促销时每袋降价 元.若刚好10天全部卖完，依题意得 , 整理得 .…………（6分） ， 方程没有实数根,…………（7分） 天不能全部卖完,…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，则 销售这部分手工汤圆获得的利润为 元, , 解得, （舍去）.…………（10分） 答：促销时每袋应降价4元.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22.［2025广西月考］（14分）如图，在中， ， ， ．点从点开始沿边向点以的速度运动，与此同时，点 从 点开始沿边向点以的速度运动，当点运动到点 时，两点都停止运 动，设运动时间为 ． （1）填空：___，_______________________．（用含 的代数式表示） …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 （2）［中］当的值为多少时，的面积等于 ？ 【解】由题意得,解得 . 当点运动到点时，两点都停止运动， .由题意得 ，，解得 ， （不合题意，舍去）， 当的值为1时，的面积等于 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 （3）［难］是否存在某一时刻，使四边形的面积等于面积的 ？如果 存在，请求出 的值；如果不存在，请说明理由． 【解】存在. 四边形的面积等于面积的， 的面积等于 面积的 ， ，，解得或 . 当时，；当时，，此时点与点 重合，不合题意， 舍去. 综上，的值为2时，四边形的面积等于面积的 ．…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 $$