卷1 第21章 二次根式 综合检测卷-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（华东师大版）

数 学 九年级上册 华东师大版 1 2 3 卷1 第21章综合检测卷 考查内容：二次根式 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 . 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选项 中只有一个选项符合题意） 1.［2025重庆万州区校级期中］下列各式是二次根式的是( ) B A. B. C. D. 【解析】A选项，被开方数 是负数，没有意义，故此选项不符合题意；B选项， 是二次根式，故此选项符合题意；C选项，被开方数 是负数，没有意义， 故此选项不符合题意；D选项，根指数是3，不是二次根式，故此选项不符合题意. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.［2025陕西榆林期中］若二次根式有意义，则 的值可以为( ) A A.7 B.6 C.0 D. 【解析】要使二次根式有意义，则，解得，故 的值可以是7. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.［2024黑龙江绥化期末］下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ) B A. B. C. D. 【解析】 选项 判断根据 结论 A 中被开方数含有分母 此选项错误 B 中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数 此选项正确 C 中被开方数可以开方 此选项错误 D 中0.8是小数也是分数，即被开方数含有分母 此选项错误 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 上分心得 最简二次根式应满足的条件 （1）被开方数中不含分母； （2）被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 4.［2024广东深圳龙华区期末］下列运算中，正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，被开方数不同,不能合并，此选项错误；B选项，被开方数不同, 不能合并，此选项错误；C选项， ，此选项正确；D选项， ，此选项错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 5.［2024山东滨州期末］若，则 与1的关系是( ) B A. B. C. D. 【解析】，，解得 .故选B. 上分技巧 二次根式的双重非负性 ①二次根式本身大于等于0；②二次根式的被开方数大于等于0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 6.［2024四川内江期中］已知，，则用含, 的式子表示为 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.［2024浙江杭州拱墅区月考］如图，长方形内有两个相邻的正 方形（空白部分），其面积分别为1和6，则图中阴影部分的面积 为( ) B A. B. C. D. 【解析】 两个正方形的面积分别为1和6， 它们的边长分别为1和 .由题图可 知，由阴影部分和小正方形组成的长方形的长为大正方形的边长 ，宽为小正方 形的边长1， 阴影部分的面积为 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 8.［2025河南郑州管城区校级月考，中］如图， 点是以点为圆心， 长为半径画的弧与数轴 负半轴的交点，点是以点为圆心， 长为半 B A. B. C. D. 【解析】根据勾股定理，得， ， 径画的弧与数轴正半轴的交点，数轴上点，表示的数分别为， ，则 的值为( ) ，，，， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 9.分类讨论［2024浙江宁波奉化区期末，中］已知，， 表示取三个数 中最大的那个数，例如：当时，，，，， .当 ，，时， 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】当，，时，①令，解得，此时 ， 符合题意；②令，解得（负值已舍去），此时 ，不合题 意；③令，此时，不合题意.故只有当时，， ， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 10.［2024重庆校级月考，偏难］一般地，如果为正整数，且 ，那 么叫做的次方根.例如：，,的四次方根是 .则下列 结论： 是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若 ，则 的三次方根是 ；④当时，整数 的二次方根有 4 052个.其中正确的个数是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】， 是81的四次方根,故①正确；任何实数都有唯一的奇次方 根，故②正确； ， 的三次方根是 ，故③正确； ， ， 而，， 非负整数 有2 026 个，其中0的二次方根是0， 整数 的二次方根有4 051个，故④不正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11.［2024贵州贵阳期中］已知最简二次根式与可以合并，则 的值为 ____. 【解析】 最简二次根式与可以合并，与 是同类二次根 式，，解得，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 12.开放性问题［2024湖南长沙芙蓉区期末］如果一个无理数与 的积是一个有 理数，写出 的一个值是__________________. （答案不唯一） 【解析】时，，故答案为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 13.［2024江苏常州期末］如果，那么 _____. 【解析】，，，， ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 14.［2024浙江杭州拱墅区期中］若6，8， 为三角形的三边长，则化简 的结果为________. 【解析】，8，为三角形的三边长，，即 ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 15.跨学科问题［2024山东德州期末，中］电流通过导线时会产生热量，电流 （单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量 （单位：）满足.已知导线的电阻为 ，导线产生的热量，则 ____A. 【解析】，导线的电阻为 ，导线产生 的热量， ，故，则.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16.［2025上海闵行区校级月考，偏难］已知， ，且 ，则正整数 的值为___. 2 【解析】 ， ， ，.将代入 ,得 ，化简得 ， ， （负值已舍去）， ，解得 .故答案为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 三、解答题（本题共6小题，共66分） 17.［2024河南郑州期末］（8分）计算： （1） . 【解】原式 …………（1分） .…………（2分） （2） . 【解】原式 …………（3分） .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （3） . 【解】原式 …………（5分） .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 （4） . 【解】原式 …………（7分） .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 18.［2024四川德阳月考］（10分）已知， ，求下列代数 式的值. 【解】， ， ， …………（2分） , .…………（6分） （1） ； 【解】 .…………（8分） （2） . 【解】 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 19.新情境［2024江西吉安期末］（10分）阅读与计算：阅读以下材料，并完成相 应的任务. 斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契 数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）.后来人们在研究它的过程中， 发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿 菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在 实际生活中也有广泛的应用. 斐波那契数列中的第个数可以用表示（其中 ），这是 用无理数表示有理数的一个范例. 任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 【解】第1个数:当 时， 原式 …………（1分） …………（3分） .…………（5分） 第2个数:当 时， 原式 …………（6分） …………（8分） …………（9分） .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 20.［2025河南郑州金水区校级期中］（12分）某班以“已知三角形三边的长度，求 三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1.我国南宋时期数学家秦九韶推出了利用三角形的三边长求三角形面积的秦九 韶公式：（其中，， 为三角形的三边长）. 材料2.古希腊的数学家海伦给出了求三角形面积的海伦公式： 其中，，为三角形的三边长， . 请你用适合的公式解决问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 （1）三角形的三边长分别为，，，则面积 为 ____； 【解析】，， ， . 故答案为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）［中］如图，在四边形中，，，， ， ，求四边形 的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 【解】连结 在中，，， ， ，的面积为 .………… （6分） ，， ， ，…………（8分） 的面积为 ， …………（10分） 四边形的面积为 . …………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 21.［2025山东青岛期中］（12分）【问题探究】 （1）小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，， . 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的经验，类比探究了二次 根式的运算规律，请将探究过程补充完整： ① ； ② ； ③_ ______________________________（填写一个符合上述运算特征的式子）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 【解析】由题中二次根式的运算特征可得 . 故答案为 （答案不唯一）.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 【发现规律】 （2）猜想：___________，且为整数 ，并证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 证明： 左边 右边.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 【解析】由运算规律可得,且为整数 . 故答案为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 【应用规律】 （3）［中］计算： . 【解】 .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （4）［偏难］如果 的小数部分 是 ，那么整数部分为___. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 【解析】 . 结果的小数部分为，即 ， 解得 ， 经检验，是该分式方程的根且符合题意， 结果的整数部分为 . 故答案为5.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22.探究性问题［2025上海浦东新区期末］（14分）我们在学习二次根式时，已经 熟悉了分母有理化及其应用,其实，还有一种方法叫做“分子有理化”,与分母有理化 类似，分母和分子都乘分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式,比如： . 通过分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根 式的最值问题.例如：比较和 的大小可以先将它们“分子有理化”,如 下： ; . 因为，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 再例如：求 的最大值.做法如下： 解：由，可知，而 ， 当时，分母有最小值2，所以 的最大值是2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 【应用】 （1）比较和 的大小； 【解】 ，…………（2分） .…………（4分） ，， ， . …………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 【拓展】 （2）［偏难］求 的最大值和最小值. 【解】由，， 得 . …………（8分） 当时，有最小值，则有最大值1，此时 有最大值 1， 的最大值为2.（…………11分） 当时，有最大值，则有最小值，此时 有最 小值0，的最小值为 .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 $$