20-复习专项（二） 中等题组-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（沪科版）

数 学 九年级上册 沪科版 1 2 3 复习专项（二） 中等题组 专项上分 对点提升 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 一、选择题 （第1题图） 1.［2025湖南娄底娄星区校级月考］如图，点 在反比例函数 的图象上，轴于点，点在 轴上，且 若的面积为10，则 的值为( ) C A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】连接 反比例函数 的图象在第一象 限， 点在反比例函数 的图象上， ， ， 的面积为10，，即 ， 解得 ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 （第2题图） 2.［2025广东东莞月考］一次函数 的图象如图所示，则 二次函数 的图象可能是( ) C A. B. C. D. 【解析】 一次函数的图象经过第一、三、四象限，， ， 二次函数的图象开口向上，与轴交点在轴下方，对称轴是 轴， 满足上述条件的函数图象只有选项C.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7 3.［2025安徽铜陵铜官区月考］在“探索二次函数 的系数 ，，与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：， ， ， ．同学们分别画出了经过这四个点中三个点的二次函数图象，并得 到对应的函数表达式，则 的最大值等于( ) C A. B. C.2 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8 【解析】 点，，的纵坐标相同， 抛物线不会同时经过，，三点, 抛 物线可能同时经过，，或，，或，，,, , ， 经过,,三点的抛物线表达式为 ,此时 ；经过,,三点的抛物线表达式为 ,此时 ;经过,,三点的抛物线表达式为 ,此时 , 的最大值为2，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9 （第4题图） 4.［2025安徽芜湖镜湖区月考］如图，在的网格图中，点, , ,都在格点上，，相交于点，则 的值是( ) B A. B.3 C. D. （第4题图） 【解析】如图，连接，， ，则 ， ， ．又，．在 中， ．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10 （第5题图） 5.［2025浙江杭州西湖区校级月考］如图，在矩形 中， ，，点在线段上，点在线段 的延长线上．若 ， ，则 的长为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 （第5题图） 【解析】如图，在上截取，在 上截取 ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，，, ， ，， ，故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12 （第6题图） 6.［2025浙江金华东阳期末］如图，抛物线交 轴 于点，，交轴的负半轴于点，顶点为 ．下列结 论：；；③当 为任意实数时， ；④方程 的两个根为 ，；⑤抛物线上有两点和 ，若 ，且，则 ．其中正确的有( ) B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13 【解析】因为抛物线经过点和，所以抛物线的对称轴为直线 ， 则，所以,,故①正确．将代入 , 得.又因为，所以，即 ,故②错误．因为抛 物线开口向上，对称轴为直线，所以当 时，函数取得最小值,为 ，所以当时总有，即 ， 故③错误．由题可知，方程的解为， ．方程 可转化为，所以或3，所以或 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14 即方程的两个根为,，故④正确．因为 ， 所以点在直线左侧，点在直线右侧.又因为 ，所以 ．因为抛物线开口向上，对称轴为直线，所以 ，故⑤ 正确．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （第7题图） 7.［2025安徽合肥包河区质检］如图，点，是边 上 的三等分点，且，设、四边形 、四 边形的面积分别为，，，则 为( ) D A. B. C. D. 【解析】，为 的三等分点， ， ， . 设，则， ， ， ， ．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16 （第8题图） 8.［2025安徽淮北质检］如图，四边形的对角线 平 分，为上一点，， ，且 ， ，则 的值为( ) D A. B. C. D. 【解析】过点作，垂足为，如图.平分 ， ，， ， ， ， ，，即 . ，，， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17 （第9题图） 9.［2025安徽池州月考］如图，反比例函数 的 图象上有，两点，过点作轴于点，交 于点 ．若，的面积为2，则 的值为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18 【解析】过点作轴，垂足为，轴，垂足为 ，过 点作轴，垂足为，连接，如图.设 轴，， ， ， 点， 在反比例函数 的图象上，, , .，的面积为2， 的面积为 ， ，， ．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19 10.［2025安徽池州调研］航航同学参加滑雪运动，航航的爸爸帮助他测得某一次 滑雪的数据，已知在某个时间段内，滑行距离与滑行时间 成二次函数关 系，请你根据表中的数据，帮助航航同学计算出他滑行 时，滑行的距离是 ( ) 滑行时间 0 1 2 3 … 滑行距离 0 4.5 14 28.5 … B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 【解析】 该函数图象经过点， 设关于 的函数表达式为 该函数图象经过点和 ， ．经检验，点 在该二次函数 的图象上， 当时， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 二、填空题 （第11题图） 11.［2025湖南常德质检］如图，点 是反比例函数 图象上一点，矩形 的周长是16，正方 形和正方形 的面积之和为56，则反比例函数的 表达式是_____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 【解析】设点的坐标为 点是反比例函数 图象上一点， ， 四边形是矩形，， 矩形 的周长是16，，即.又 正方形 和正方形 的面积之和为56，.由，得 ，即 ，将代入上式，得，， 反 比例函数的表达式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 23 （第12题图） 12.［2025安徽淮南质检］如图，已知是的中点， 是 的中点，连接并延长交于点，则 的值为__. 【解析】如图，过点作的平行线交于点 ， ，.为的中点， . ，，.为 的中点， ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 24 13.［2025浙江湖州吴兴区期末］将一组完全一样的宽，高 的多米诺骨牌 按图（1）所示垂直放置在水平地面上，推动至其全部倒下，最后三块骨牌的位置 如图（2）所示．其中①号骨牌水平倒在地面上，已知②号骨牌与地面夹角 的正 切值为 ． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 （1）的长为___ ． 2 【解析】在中， ， ， ， ，故答案为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 26 （2）若③号骨牌与地面的夹角 的正切值为，则的长为________ ． 【解析】设③号骨牌落在②号骨牌上的点处，过 作 地面的垂线段，延长交地面于点 ，如图所示， 则 ， ， ， ，号骨牌与地面的夹角 的正切值为， 在 中，.设，则 ，根据勾股定理， 得 ， ，， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 27 .在 中， ， .在 中， ， ， ，故答案 为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （第14题图） 14.［2025安徽安庆期中］如图，在平面直角坐标系中，经过坐标 原点的直线与反比例函数的图象交于， 两点，点在反比例函数 的图象上． （1） 的值为_____． 【解析】设点 ，由反比例函数图象的对称性可知点 ，，，， ， ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 29 （2）若，，则 的值为____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 【解析】如图，连接，过作轴于 ， ，， 设， ， .在 中， .设点 ，则 ，，过点作 轴于点 ， ， ，， , ，，，．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15.［2025安徽淮南期中］如图，一座拱桥的下方轮廓是抛物线形，拱高8米，跨度 24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱 的长度为___米． 4 （第15题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 32 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.由题意得，， ， 点横坐标为6.设抛物线表达式为， 抛物线表达式为， 当时，， 支柱 的长度为 （米）.故答案为4． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 33 16.［2025安徽六安金寨校级期末］如图，点是线段 的黄金分割点， ，和均是等边三角形．若表示的面积， 表示 的面积，则的值为_____；与 的大小关系为________． （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 34 【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为 ， 如图. 点是线段的黄金分割点，， . 和均是等边三角形， ， ， ， .故答案为， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 35 （第17题图） 17.［2025安徽滁州凤阳校级月考］如图，在 中， ，，，是 边上一点，且 ，，分别是， 边上的动点，且满足 ，垂足为 ，则 （1） 的长为___； 6 【解析】 ，.， ， ， ，故答案为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 36 （2） 长的最小值为_________． 【解析】如图，取中点，连接， . ， ， , ，，当点 , ,共线时，的长有最小值，长的最小值为，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 37 三、解答题 18.［2025河南郑州金水区期中］如图，一小球 （看成一个点）从 斜坡上的 点处抛出，小球的抛出路线是抛物线的一部分，建立 如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数 刻画.若小 球到达的最高点的坐标为 ，解答下列问题： （1）求抛物线的表达式. 【解】 小球到达的最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为 .把代入，得，解得， 抛 物线的表达式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 38 （2）若小球落点为，求 点的坐标. 【解】令，解得，.当时，， . （3）若在斜坡上的点有一棵树（树看成线段且垂直于轴）， 点的横坐标为 2，树高为4，小球 能否飞过这棵树？通过计算说明理由. 【解】能.理由：对于，当时，，对于 ，当 时，，， 小球 能飞过这棵树. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 39 19.［2025浙江宁波鄞州区开学］我们知道良好的坐姿有利于青少年骨骼生长，有 利于身体健康，那么首先要有正确的写字坐姿，身子上半部坐直，头部端正，两 手放在桌面上，两腿平放，胸膛挺起，理想状态下，如图（1）所示，将图（1） 中的眼睛记为点，腹部看成一点记为点，笔尖记为点，且 与桌沿的交点记 为点，如图（2）所示.若 ， . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 40 （1）求点到的距离及，两点间的距离（结果精确到 ）． 【解】过作于，如图，则 . 由题意得， ， ， .又 ， ，.又 ， . 答：到的距离约为，,两点间的距离约为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 41 （2）老师发现小红同学写字坐姿不正确，眼睛所在位置为图（2）的点，点 正 好在的垂直平分线上，且 ，于是要求其纠正为正确的坐姿．求眼 睛所在的位置应上升的距离（结果精确到 ）. （参考数据：，，， ， ） 【解】过作于，过作交的延长线于 ，如图，则四边形 是矩形，. 点正好在 的垂直平分线上， . ， ， . 答：眼睛所在的位置应上升的距离约为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 42 20.［2025安徽合肥月考］如图，抛物线与轴交于点 和 点，与轴交于点，连接，点 在抛物线上． 备用图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 43 （1）求抛物线的表达式； 【解】,, 设抛物线的表达式为 ，，解得 ， 则抛物线的表达式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 44 （2）小明探究点位置时发现：点在第一象限时，连接，， 面积存 在最大值，请帮助小明求出 面积的最大值； 图（1） 【解】过点作轴交于点 ，如图（1）. 令,则,.由点, 得，直线的表达式为.设 ，则 点,， 面积为 ， 面积有最大值，最大值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 45 （3）小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连接 ，存在 ，请帮助小明求出时点 的坐标． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 46 图（2） 【解】当点在轴上方时，,, 点 和点关于抛物线对称轴对称.，, 点 .当 点在轴下方时，如图（2），设交轴于点 ， ，, ，解 得，即点.由点,的坐标得，直线 的表达式为 .联立得解得 （舍去）或 ，, 点的坐标为.综上，点的坐标为 或 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 47 $$