18-卷10 第23章 解直角三角形 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（沪科版）

数 学 九年级上册 沪科版 1 2 3 卷10 第23章提优验收卷（B卷） 考查内容：解直角三角形 4 一、选择题 二、填空题 三、 四、 五、 六、 七、 八、 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出 A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1.［2025安徽黄山期中］已知锐角 ，且，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】，且 是锐角， ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 2.［2025江西庐山质检］在平面直角坐标系中，已知点和点 ，则 的值为( ) A A. B. C. D. （第2题图） 【解析】取点,连接,如图.，, 易得 是直角三角形， , ， ， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7 （第3题图） 3.［2025安徽宿州质检］如图，在中， ， ，，则 的长为( ) C A.9 B.10 C.11 D.12 （第3题图） 【解析】过作于，如图，则. ， ， ， ， ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8 4.新定义［2025安徽滁州调研］定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这 样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰 是“倍长三角形”，则底角的余弦值为 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 等腰是“倍长三角形”， 设.当 时， ，不能构成三角形，故此种情况不存在；当 时，,能构成三角形.如图，过作于 ， 则，， ．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9 上分技巧 画图理解“倍长三角形” 根据题意画出图形，结合三角形的三边关系分类讨论，即可解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10 （第5题图） 5.［2025安徽合肥蜀山区期中］如图，在中， , ,的垂直平分线分别交,于， 两点，连接 ．若，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】是的垂直平分线， ， ，, , ．,， ．在 中， ．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 （第6题图） 6.［2025山东威海期中］如图，鱼竿的长为 ，露在水面上的 鱼线的长为，将鱼竿绕点逆时针转动 到 的位 置，此时露在水面上的鱼线 的长度是( ) C A. B. C. D. 【解析】连接，易知点，，在同一直线上.在中， ， ，，， .由旋转可 得， ， .在 中， ， ， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12 7.［2025浙江台州期中］如图，一个正方体箱子沿着斜面向上运动， ， 箱高米，当米时，点到地面 的距离是( ) A （第7题图） A.米 B.米 C.米 D. 米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13 （第7题图） 【解析】过点作于点，作，过点 作 ，与交于点，如图. ， ， ， 正方 体箱子沿着斜面向上运动，， ， ， ， ， 点 到地面 的距离为 米．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14 8.［2025安徽阜阳期中，中］如图（1），将三角尺和三角尺 叠放在一起， 直角边与完全重合，已知长为.若三角尺沿 方向移动到图 （2）位置，分别与,交于点,,此时测得长是，则移动距离 是 ( ) C 图（1） 图（2） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15 （第8题图） 【解析】由题意知，， ， .如图，作于.在 中， .在 中， ， , 在 中， ， ， 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16 （第9题图） 9.数形结合［2025安徽蚌埠期中，中］在计算 的值 时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形来解决.如图，在 中， ， ，延长到 使 ，连接，得 ，设 ，则 B A. B. C. D. ，，，在 中， ．类比这 种方法，可以得到 的值为( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17 【解析】如图，在中， ， ，延长到 使 ，连接，得设，则 ， .在 中， ,故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18 上分点拨 根据题目中的方法解题 想到 ，即可仿照题目中的思路解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19 （第10题图） 10.［2025江苏无锡期中，难］如图，在 中， ， ，点是 延长线上任意一点， 过点作于点，于点，连接，则 的 最小值为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 【解析】过点作于点，设交于点 ，过 点作于点 ，如图. ，， ， , , ， 为等边三角形， , ， ， .设 ，则，则 ， ,在 中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 , ,, 四边形 为矩 形，，,, ， ， .在 中，. ， 的最小值为 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） （第11题图） 11.［2025安徽淮南质检］如图所示，在 中， ， ，于点．若 ，则 的长是_______． 【解析】 在中， ， ， 于， ， ， ， ， ， ，．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 23 12.［2025上海虹口区期中］已知，，分别是中，， 的对边， 且，，满足，若，则 的值为 _ _____． 【解析】，，即 ， 是直角三角形，且，，即 .设 ，则,， ， ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 24 13.［2025安徽滁州期中，中］如图，在中， ,, ， 点在上，将沿折叠，点落在点处，与相交于点 ，若 ，则 ___． 4 （第13题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 【解析】 ,,， ， 将沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ，即 , ，， . ，， ， .故答案为4． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 26 上分点拨 折叠后对应角相等 通过折叠和平行，得到，进一步得到 ，从而利用锐角三 角函数解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 27 14.规律探究［2025安徽合肥瑶海区调研，难］如图，在直线上， 的 横坐标为1，轴于， 直线，交轴于，过作 轴的垂线与直 线交于点，过作直线，交轴于， ，以此类推， 的坐标为 ________________． （第14题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 28 【解析】的横坐标为1，对于,当时， ， ，， ， ， .由题意得 ， ， ，与的横坐标都为4， 对于,当 时， ，，同理，， ， 与的横坐标都为16，， ， ， ，故答案为, ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 29 上分点拨 点的坐标规律的探究 利用特殊角的三角函数值求得 ，结合直角三角形和一次函数表达式， 求得，，，找到规律求得 ， 据此求解即可． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 三、（本题满分6分） 15.［2025江西庐山期中］计算： （1） . 【解】原式 …………（2分） .…………（3分） （2） . 【解】原式 …………（5分） .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 31 四、（本题满分8分） 16.［2025安徽合肥期中］在中， ，，， 的对边分别是 ，， ，根据下列条件解直角三角形． （1） ， ； 【解】 , , . , , , .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 32 （2）， . 【解】，, , ，, ．…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 33 五、（本题满分8分） 17.［2025山东泰安质检］若 为锐角． （1）求证： 【证明】作如图所示的 ， 其中 ， ，，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 34 ① ； 【解】 ， ， .…………（2分） ② . 【解】，， ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 35 （2）求 的值． 【解】由（1）可得 ， ， ， ， 原式 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 36 六、（本题满分10分） 18.跨学科［2025上海期中］材料阅读： 光从空气射入水中时，传播方向发生了改变，这种现象是 光的折射，如图（1），我们把入射角 的正弦值和折射 角 的正弦值之比称为折射率，即 ，已知光线 从空气进入水中时的折射率为 ________________________ 图（1） 问题解答：如图（2），矩形为盛满水的水槽，一束光线从点 射向水面上 的点，折射后照到水槽底部的点，测得 ，，若 ， ，三点在同一条直线上， 为法线，请依据相关材料回答以下问题 （参考数据：，， ）： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 37 图（2） （1）求 的正弦值； 【解】由题意得 .…………（1分） ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 38 （2）［中］求的长．（结果精确到 ） 【解】在中， ，， .…………（4分） ， ， 在中， ，…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 39 设，则 ， ，，解得 ， ,…………（8分） . 答：的长约为 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 七、（本题满分12分） 19.［2025安徽合肥期末］ 图（1） 【问题引入】 如图（1），为等边三角形，为 边上一 点，为边上一点，且 ，求证： ． 【证明】是等边三角形， ， ， ， .…………（2分） 又 ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 41 【能力提升】 ［中］如图（2），在中，为边上一点，连接 ， ，，且，求 的值． 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 42 【解】如图，过点作于，延长至，使，连接 . ， , ， ， . ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 43 ，…………（9分） .…………（10分） 在中， ， 设，则 ， , , . ，， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ， 或 . ， , .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 八、（本题满分14分） 20.［2024安徽合肥模拟］已知在正方形中，点为边的中点，连接 交 对角线于点 （1）连接，如图（1），求证： . 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 46 【证明】 四边形 为正方形， ， . 在和中， ，…………（3分） .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 47 （2）如图（2），过点作于点，平分交于点 ． 图（2） 【解】设正方形的边长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 48 ①［中］求 的值. 【解】 点为边的中点，，. , ，， .…………（5分） 在中，，．在 中， ， .…………（7分） ， ， ，…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 49 ， ， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ②［难］求证： ． 【证明】 设 ， ， . 如图，过点分别作，的垂线，垂足分别为， . ，， ， 四边形 是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 51 是的平分线， ， 四边形 是正方形， . 由①得， ， ， , ， . 在中， ， ， ， ．…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 52 $$