17-第23章 解直角三角形 上分专题（五） 解直角三角形实际应用问题的常见模型-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（沪科版）

数 学 九年级上册 沪科版 1 2 3 上分专题（五） 解直角三角形实际应用问题 的常见模型 重难上分 攻克难点 4 类型1 异侧型 类型2 同侧型 类型3 交叉型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 异侧型 1.［2025安徽阜阳期末］如图，某学习小组在教学楼的顶部观测信号塔 底部 的俯角为 ，信号塔顶部的仰角为 ，已知教学楼的高度为 ，求信号 塔的高度（计算结果保留根号）． 1 2 3 4 5 6 6 【解】如图，过点作于 ， 1 2 3 4 5 6 7 则四边形是矩形，.在中， ， .在中， ， ， ， 信号塔的高度是 ． 1 2 3 4 5 6 8 2.［2025安徽合肥期末］如图所示是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图， 已知真空集热管与支架所在直线相交于水箱横断面的圆心，支架 与 水平面垂直，厘米，真空集热管的斜面坡度为 ，另一根辅助 支架厘米，（参考数据：， ） （1）求 的长度； 【解】由题意知，在中，, ， ， 的长度约为35厘米. 1 2 3 4 5 6 9 （2）求水箱横断面 的半径. 【解】在中，的坡度为 ， ， ， , ，， 水箱横断面 的半径约为19厘米. 1 2 3 4 5 6 10 类型2 同侧型 3.［2025安徽安庆调研］如图，海中有一小岛 ，它周围8 海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在点测得小岛 在北 偏东 方向上，航行12海里到达点，这时测得小岛 在 北偏东 方向上．（参考数据： ） （1）求 的度数； 【解】如图所示，过点作，垂足为点 . 由题意得， ， ， . 1 2 3 4 5 6 11 （2）如果渔船不改变航线继续向正东方向航行，有没有触礁的危险？ 【解】 ，， 海里.在 中， ， （海里）海里， 渔船继续向正东方向航行，没有触礁的危险． 1 2 3 4 5 6 12 4.［2025安徽黄山期中］某中学数学社团开展数学社会 实践研究活动，利用数学课堂上所学的三角函数知识结 合传感器制作出一个能够测量车辆在某段路面的行驶速 度的装置．如图，在距离地面高（即）的 处放有该传感器装置，在处测得点的俯角是 ，测 （1）求 的长； 【解】根据题意可得 , ，在 中， .故的长约为 . 得点的俯角是 ．汽车从公路上的处由东向西行驶，当经过点 时传感器会 开始计时，当汽车到达点时会停止计时，通过测量 的长度和汽车通过的时间 可计算出汽车的行驶速度. 1 2 3 4 5 6 13 （2）［中］已知该路段限速 ，一辆汽车通过该路段时传感器显示的时间 是 ，请通过计算判断这辆汽车是否超速通过.（不考虑传感器反应时间，参考 数据：,, ） 【解】在中， , ， ， 一辆汽车通过该路段时传感器显示的时间是 ， 这辆汽车通过该路段的速度为 ， 这辆汽车没有超速通过． 1 2 3 4 5 6 14 类型3 交叉型 5.［2025广东阳江月考］如图（1），阳江市北山石塔建于南宋宝祐年间 （ 年），是阁楼花岗岩结构，为广东省内唯一无灰砌石塔．某数学兴 趣小组用无人机测量北山石塔 的高度，测量方案示意图如图（2），先将无人 机垂直上升至距离石塔底端水平面的点处，测得北山石塔顶端 的俯角为 ，再将无人机沿北山石塔的方向水平飞行到达点 处，测得北山石塔底 端的俯角为 ，求北山石塔的高度．（结果精确到 ，参考数据： ，， ） 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 15 【解】延长交于点 ，如图. 1 2 3 4 5 6 16 由题意得，， . 在中， ， ， ，.在 中， ， ， ， 北山石塔的高度约为 ． 1 2 3 4 5 6 17 6.［2025湖南永州月考］火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要 灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．如图是某种消防车云梯的侧面示意图， 点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，， 在同一水平线上，其中可伸缩，套管 的长度不变，在某种工作状态下测得液 压杆， ， ． 1 2 3 4 5 6 18 （1）求 的长； 【解】如图，过点作于点 . 在中， ， ， . 在中， ， .故的长约为 . 1 2 3 4 5 6 19 （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯 绕 着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯 旋转 了多少度． （参考数据：，，， ， ， ） 1 2 3 4 5 6 20 【解】如图，过点作于点 ， 记旋转后点的对应点为，过点作于点，过点作于点 ， 则.在中，， ， ， ， 在中， ， ， ， ， 故云梯大约旋转了 ． 1 2 3 4 5 6 21 $$