15-卷9 第23章 解直角三角形 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（沪科版）

数 学 九年级上册 沪科版 1 2 3 卷9 第23章基础诊断卷（A卷） 考查内容：解直角三角形 4 一、选择题 二、填空题 三、 四、 五、 六、 七、 八、 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出 A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1.［2025山东聊城期中］若 为锐角，且，则 等于( ) B A. B. C. D. 【解析】 为锐角，且，， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 2.［2025上海虹口区期中］在中， ，， ，那么 的值是( ) B A. B. C. D. 【解析】 在中， ，，， ．故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7 3.［2025安徽阜阳期末］已知等边 的边长为2，则其面积为( ) B A.2 B. C. D. 【解析】 等边的边长为2， 其中一条边上的高为 ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8 4.易错题［2025安徽合肥期末］下列式子错误的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 ，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； , ， ，故C选项不正确，符合题意； ,， ，故D选项正确，不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9 5.［2025安徽滁州校级月考］如图，点，，的坐标依次为，， ， 则下列结论正确的是( ) D （第5题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10 【解析】 点，，的坐标依次为，， ， ，，， , ， .如图，过点作于点.设 ， 则.在中， ，在 中， ，则 ，解得，即 ， . ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 ，故A选项错误. ， ， ，故B选项错误. ， ， ，故C选项错 误 ，故D选项正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （第6题图） 6.［2024安徽模拟］如图，在滑雪场有一坡度为 的滑雪道，滑 雪道的长为，则 的长为( ) B A. B. C. D. 【解析】 在滑雪场有一坡度为的滑雪道，,， 设 ，则.在中， ，由勾股定理得 ，解得（负值已舍去）， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13 上分总结 坡度与坡角 坡面的铅直高度和水平长度的比叫做坡面的坡度.坡面与水平面的夹角叫做坡角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14 （第7题图） 7.［2025安徽马鞍山期中］如图， 的顶点都在边长为1的正方 形网格的格点上，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】如图，取格点，连接.根据题意得 ， ，. ， 为直角三角形， ， ．故选B. 上分点拨 利用网格构造直角 连接网格中的格点是构造直角的常见方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15 8.传统文化［2025安徽合肥庐阳区调研］“圭表” 是中国古代用来确定节气的仪器．某“圭表”示 意图如图所示，， 米，测得某 地夏至正午时“表”的影长 米，冬至时的 正午太阳高度角 ，则夏至到冬至， 影长差 的长为( ) D A.米 B.米 C.米 D. 米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16 【解析】， .在中， ， 米， （米）米，米， 影 长差的长为 米，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17 （第9题图） 9.［2025安徽亳州期末，中］如图，在三角形纸片 中， ，，．沿过点 的直线将纸片折叠， 使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点 重合. 若折痕与的交点为，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点 处， ， 折叠纸片，使点与点重合， ， ， ， ， ，.设，则 ， ，解得，， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18 上分点拨 折叠的性质 折叠前后的两个图形的对应边相等，对应角相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19 （第10题图） 10.新考法［2025安徽蚌埠期末，偏难］如图，已知 ， ，边和分别与交于点 和点，连接．若的面积为7，且，则 的长为( ) D A. B.3 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 【解析】，,, , ,,，.设 ， ，,, ，即 ，解得， , ，, . ，,， ， ,即，.的面积为7， ,即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ，解得 （负值已舍去）， ．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 11.［2025安徽合肥第四十五中学质检］计算： _______. 【解析】，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 23 12.［2025安徽黄山质检］已知点位于第一象限内，，且与 轴正半轴 夹角的正弦值为，那么点 的坐标是_________. 【解析】如图,过点作轴.与轴正半轴夹角的正弦值为 ， .， ， ，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 24 13.新定义［2025江苏宿迁期末，中］定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等 腰三角形顶角的值，即顶角，若在等腰中， ， 且，则 _____． 【解析】如图，过点作于， 设 ， 则，， .根据勾股定理 得， ， ．故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 14.［2025浙江金华婺城区质检，难］如图（1）是小鸟牙签盒实物图，图（2）是 在取牙签过程中牙签盒的部分侧面示意图，，为连接杆 上两个定点，通过按 压点，使连接杆绕点旋转，从而带动连接杆上升，带动连接杆绕点 旋转，致使连接杆将牙签托盘向外推出，在取牙签过程中,竖直固定杆 位 置不变，且与始终平行，牙签托盘 始终保持水平.现测得 ，，， ， （所测数据在取牙签过程中固定不变），已知牙签盒在初始状态时，，， 三 点共线，在刚好取到牙签时，，，三点共线，且点在线段上. 参考数据： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 26 图（1） 图（2） （1）从初始状态到刚好取到牙签时，牙签托盘 在水平方向被向外推出了____ ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 27 图（1） 【解析】如图（1），当牙签盒在初始状态时，，， 三点共线， 令与的交点为，连接，过作 于 ，, ， ，.设 ，则 ， . ,，， . ，， 牙签托盘 在 水平方向被向外推出了.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 28 （2）的长为_ __ ． 图（2） 【解析】在刚好取到牙签时，如图（2），连接 ，延长 ，交于，， 四边形 是平行四边形， ， ， .过 作 于， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 29 .设，则， . ,，，. ， , ， ， ，， ， ，， ， ， .设 ，则， ， ,， ， ．故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 三、（本题满分6分） 15.［2025安徽阜阳期中］计算： . 【解】 …………（4分） .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 31 四、（本题满分8分） 16.规律探究［2025安徽合肥调研］ 图（1） 图（2） （1）锐角的正弦值和余弦值都随着锐角度数的变化而变化，请在图（1）和图（2） 中探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 32 【解】在题图（1）中，令，显然有 ， ． ，， .又 ， ． 规律：随着锐角度数的增大，其正弦值逐渐增大.…………（2分） 在题图（2）中，. ， ， ， . ， , 即 ． 规律：随着锐角度数的增大，其余弦值逐渐减小.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 33 （2）根据你探索到的规律，试比较 ， ， ， ， 这些角的正弦 值和余弦值的大小； 【解】由（1）得， ； ．…………（6分） （3）利用互余的两个角的正弦值和余弦值的关系，比较下列正弦值和余弦值的大 小： ， ， ， . 【解】 ， ，且 ， ．…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 34 五、（本题满分8分） 17.［2025安徽铜陵期中］如图，在四边形中，，， 平 分交于点，连接， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 35 （1）求证： 是等边三角形； 【证明】, ， , . ， ， ， ， . 平分， , 是等边三角形.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 36 （2）若，求四边形 的周长. 【解】 是等边三角形， ， . 又 ， ， ， . 又,， . 又 ， 四边形 是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 37 ， 四边形 是菱形.…………（6分） ， ， ， ，， 四边形 的周长为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 六、（本题满分10分） 18.项目式学习［2024湖南中考］某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课 余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩 形 ，其示意图如下： _______________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 39 活动过程 测绘过程 与数据信 息 ①在水池外取一点，使得点，， 在同一条直 线上； ②过点作，并沿方向前进到点 ，用 皮尺测得 的长为4米； ③在点处用测角仪测得 ， ， ； ④用计算器计算得 ， ， ， ， ， 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 40 （1）求线段和 的长度： 【解】， 的长为4米， ，， 米.…………（2分） ，米， 米.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 41 （2）［中］求底座的底面 的面积. 【解】过点作于点 ，如图所示. ， 米，…………（8分） 米，（米）， 底座的底面 的面积为 （平方米）.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 42 七、（本题满分12分） 19.［2025安徽合肥调研］在锐角中，，，所对的边分别为， ， ，求证： . 图（1） 证明：如图（1），过点作于点.在 中， ，在中，， ， . 根据上面的材料解决下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 43 图（2） （1）如图（2），在锐角中，，， 所对的边分别为 ，，，若，， ，求 的度数； 图（1） 【解】如图（1），过点作于点.在 中， ，在 中， ，， ，即 ，，， …………（4分） .………… （6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 44 （2）［中］如图（3），一片三角形区域需美化，已知 ， ， 米，求这片区域的面积.（结果保留根号，参考数据： ， ） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 45 图（2） 【解】如图（2），过点作于点 ， ， .在 中， （米）.…………（8分） 易得，， 米，…………（10分） （平方米）.………… （12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 46 八、（本题满分14分） 20.探究性问题［2025陕西西安期末］【基础巩固】 （1）［中］如图，已知正方形和正方形，其中，， 三点共线， 连接并延长，交于，连接，．若，，求 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 47 【解】过作于 ，如图. ，， 四边形是正方形， ， ， ， ，是等腰直角三角形， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 48 又 ， ， ， .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 【拓展提升】 （2）［偏难］在（1）的条件下，求 的值. 【解】 四边形 是正方形， ， ， 同理 ， ， ， ， ， ，…………（12分） ， .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 50 $$