06-卷3 第21章 二次函数与反比例函数 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（沪科版）

数 学 九年级上册 沪科版 1 2 3 卷3 第21章提优验收卷（B卷） 考查内容：二次函数 4 一、选择题 二、填空题 三、 四、 五、 六、 七、 八、 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出 A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1.［2025山东德州月考］对于任意实数 ，下列函数一定是二次函数的是( ) D A. B. C. D. 【解析】当时， 不是二次函数，故A不符合题意；当 时，，则 不是二次函数，故B不符合题意；当 时，,则 不是二次函数，故C不符合题意；对 于任意实数，，则 一定是二次函数，故D符合题意. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 2.［2024黑龙江哈尔滨中考］二次函数 的最小值是( ) D A. B.1 C.2 D.3 【解析】， 当时， 取最小值3.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7 3.［2024内蒙古包头中考］将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物 线的顶点式为( ) A A. B. C. D. 【解析】将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的表达式为 ，即 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8 4.［2025广东惠州惠城区期中］抛物线与 轴的交点的坐标是 ( ) C A. B. C.， D.， 【解析】把代入，得， 抛物线 与 轴的交点坐标为， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9 5.［2025山东临沂月考］如图，某种家用燃气灶烧开同一壶 水所需的燃气量（单位： ）与旋钮的旋转角度 近似满足函数关系 , 已知图中记录了此燃气灶烧开同一壶水时旋钮的旋转角度 与 燃气量 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此 燃气灶烧开一壶水最节省燃气时旋钮的旋转角度约为( ) B A. B. C. D. 【解析】由图象可知，该函数图象的对称轴的取值范围为 ,即 ,因此可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气时旋钮的旋转角度 约为 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10 6.［2025安徽淮南月考］李明同学在探究函数 的 性质时，作出了如图所示的图象.当方程 有两个 实数根时，常数 满足的条件是( ) A A.或 B. C. D. 【解析】， 抛物线 的顶点坐标为 ，结合题中图象可知当方程 有两个实数根时， 或 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 上分警示 函数与方程根的关系 求解方程的根等价于寻找目标函数与的交点.本题中不要忽略当 时, 与目标函数也有2个交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12 7.新考法［2025重庆江北区月考，中］已知二次函数 的图象如图所 示，点，，，在轴上，若满足以下条件：①函数图象与 轴负半轴相交； ②当，随的增大而减小，则坐标系的原点 可能是( ) B A.点 B.点 C.点 D.点 【解析】 函数图象与轴负半轴相交， 点，，可能是原点. 当 时， 随的增大而减小， 点可能是原点，， 不可能是原点.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13 8.新情境［2025福建泉州五中月考，中］二维码是由大小相同的黑、白两色的小 正方形组成的一个大正方形，现有 格式的二维码如图（1），其中有3个角 上是的黑白相间的A型正方形，中间右下有一个 的黑白相间的B型正方 形，除这4个正方形外，其他均为C型正方形（有白色和黑色两种），若C型正方 形中白色块数与黑色块数正好满足如图（2）所示的函数图象，则该 格 式的二维码共有多少块黑色的C型正方形( ) C A.153 B.218 C.100 D.216 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14 【解析】设函数表达式为.将，， 代 入表达式，得 解得 ， ，解得，（舍去）， 该 格式的二维码共有100块黑色的C型正方形.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15 （第9题图） 9.［2025安徽合肥蜀山区调研，中］如图，在平面直角坐标系 中，抛物线与轴交于点，过点 作轴的平行线交抛物线于点为抛物线的顶点.若直线 交 直线于点，且为线段的中点，则 的值为( ) D A.1 B. C. D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16 【解析】 抛物线与轴交于点， ，抛物线的 对称轴为直线， 顶点坐标为，点坐标为. 点 为线段 的中点， 点坐标为.设直线表达式为为常数，且 ， 将点代入得，，将点 代入得 ，解得 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17 上分点拨 二次函数 与其图象的关系 二次函数中的值等于抛物线与 轴交点的纵坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18 （第10题图） 10.［2025安徽阜阳质检，难］如图，正方形的顶点 ， 在抛物线上，点在轴上.若， 两点的横坐 标分别为， ，下列结论正确的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19 【解析】如图，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和 ， 则 .将， 两点的横坐标代入函数表达式得， 点坐标为，点坐标为， ， ，， 四边形 是正方 形，， ， ， . 在和 中， ， ， ，.又 ， ，即， ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） （第11题图） 11.［2025安徽合肥瑶海区月考］如图是二次函数 的图象，则关于的不等式 的 解集是______________. 或 【解析】抛物线与轴的交点为，对称轴为直线 ， 当或时，， 关于的不等式 的解集是或，故答案为或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 12.［2025安徽合肥第四十五中学月考］某超市一月份的营业额为200万元，一月、 二月、三月的营业额共为万元，若月平均增长率为，则这三个月的总营业额 与 月平均增长率 之间的函数关系式为_______________________.（化为一般式） 【解析】由已知得二月份的营业额为 万元，三月份的营业 额为万元，则这三个月的总营业额与月平均增长率 之 间的函数关系式为 .故答案 为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 （第13题图） 13.［2024湖南长沙模拟］如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过平移得到抛物线 ，则两段抛物线及其 对称轴所围成的阴影部分的面积为___. 8 【解析】如图，设平移得到的抛物线的对称轴交 轴于点，交抛物线于点，过作 轴于 ， 平移后抛物线的顶点坐标 为，对称轴为直线，则.当时， ， .由抛物线的对称性及平移的性质可知，阴影部分的面积等于矩形 的面积，即 .故答案为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 23 14.［2025安徽亳州蒙城校级期中］在平面直角坐标系中，已知点 ， ，，直线经过点，抛物线恰好经过 ， ，三点中的两点，则___；若平移抛物线 ，使其顶点在 直线上，则平移后所得抛物线与 轴交点纵坐标的最大值是__． 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 24 【解析】 直线经过点，，解得， 直线表达 式为.把代入，得， 点在直线 上. 直线经过点，直线与抛物线 都经过 点，点，，都在直线 上，直线与抛物线不可能有 三个交点，且，两点的横坐标相同， 抛物线只能经过， 两点.把 ，代入，得解得 抛物 线的表达式为， .设平移后的抛物线的表达式 为，其顶点坐标为. 顶点在直线 上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 ， 抛物线与 轴的交点的纵 坐标为，， 当 时，平移后所得抛物 线与轴交点纵坐标有最大值，为．故答案为1， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 三、（本题满分6分） 15.［2025湖南长沙雨花区月考］已知抛物线 为常数 . （1）求抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）； 【解】 ， 抛物线顶点坐标为 .…………（2分） （2）若，两点在此抛物线上，比较与 的大小. 【解】， 抛物线开口向上，对称轴为直线 .…………（4分） ，，， .………… （6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 27 四、（本题满分8分） 16.［2025广东江门蓬江区期中］已知二次函数 与 一次函数的图象交于， 两点，如图所示，其 中 . （1）求和 的值. 【解】 一次函数的图象过点 ， ，解得 .…………（1分） 抛物线过点 ， ，解得 .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 28 （2）求点 坐标. 【解】联立得 解得或 .…………（4分） （3）求 的面积. 【解】设直线交轴于.在中，令，得 ， ， ，…………（6分） .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 29 五、（本题满分8分） 17.［2025山东济南历城区月考］某公司开发一款与教育配套 的软件，年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，变化过 程可用如图所示的抛物线描述，它刻画了该软件上市以来累 积利润（万元）与销售时间 （月）之间的函数关系 （即前个月的利润总和与 之间的函数关系），根据图象提 供的信息，解答下列问题： （1）此软件上市第几个月后开始盈利? 【解】由图象可得，该软件上市第 4个月后开始盈利.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 （2）求累积利润（万元）与销售时间 （月）之间的函数表达式. 【解】设 函数图象过点 ， ， …………（4分） ， 累积利润（万元）与销售时间 （月）之间的函数表达式是 .…………（6分） （3）前几个月公司的累积利润为2.5万元? 【解】当时，，解得， （舍去），即前5 个月公司的累积利润为2.5万元.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 31 六、（本题满分10分） 18.［2025安徽合肥寿春中学月考］如图，在平面直角坐标系中， 矩形的顶点与原点重合，顶点在轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上，抛物线 经过点 . （1）求 的值与抛物线对称轴. 【解】 抛物线经过点， ， 解得 ，…………（3分） 二次函数的表达式为 . ， 抛物线对称轴为直线 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 32 （2）［中］将抛物线向右平移个单位，使得新抛物线与， 分别交 于，两点，点，的纵坐标相等，求的值和点 的坐标. 【解】将抛物线向右平移个单位 得到抛物线 . 新抛物线与，分别交于， 两点， 点的横坐标为0，点 的横坐标为6.…………（8分） 点，的纵坐标相等， 平移后抛物线的对称轴为直线， ， ，…………（9分） ，令，得 ， 点的坐标为 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 33 七、（本题满分12分） 19.新考法［2025湖北武汉洪山区月考］小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间 发式”两种模式，在“直发式”模式下，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运 动轨迹近似为一条抛物线，如图（1）；在“间发式”模式下，乒乓球从发球器出口 到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，乒乓球第一次接触台面到第二次 接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，如图（2），分别建立平面直角坐标系 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 34 通过测量得到乒乓球距离台面高度（单位：）与球和发球器出口的水平距离 （单位： ）的相关数据，如下表所示： 表1 直发式 0 2 4 6 8 10 16 20 … 3.84 3.96 4 3.84 3.64 2.56 1.44 … 表2 间发式 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 … 3.36 2.52 0.84 0 1.40 2.40 3 3.20 3 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 35 根据以上信息，回答问题： （1）表格中_____， _____； 【解析】由抛物线的对称性及题表1中的数据可知 .设题图（2）中线段所 在直线的表达式为 ， 把，代入，得 解得 ，当时，， . 故答案为， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 36 （2）求“直发式”模式下，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹的表 达式； 【解】由题表1中的数据及抛物线的对称性可知,“直发式”模式下，抛物线的顶点为 ， 设此抛物线的表达式为，把 代入，得 ，解得 ，…………（5分） “直发式”模式下，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹的表达式 为 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 37 （3）［中］若“直发式”模式下，乒乓球第一次接触台面时与发球器出口的水平距 离为 ，“间发式”模式下，乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为 ，请通过计算比较， 的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 38 【解】“直发式”模式下，当时，，解得 （舍去），， .…………（7分） 设“间发式”模式下，乒乓球从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹的表 达式为 ， 把代入，得，解得， 这条抛物线的表达式为 ，…………（9分） 当时，，解得， ， ，…………（11分） .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 39 八、（本题满分14分） 20.探究性问题［2024吉林中考］小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个 计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入的值为时，输出 的值为1；输入 的值为2时，输出的值为3；输入的值为3时，输出 的值为6. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 40 （1）直接写出，， 的值． 【解】,,的值分别为1,1, .…………（4分） ， 将，代入得，解得 . ，， 将，和， 分别代入 得 解得 故,， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 41 （2）［难］小明在平面直角坐标系中画出了关于 的函数图象，如图（2）. Ⅰ.当随的增大而增大时，求 的取值范围. 【解】，，， 一次函数表达式为 ，二次函数表达 式为 . 由题图（2）可知，当时， ， 抛物线的对称轴为直线 ，且开口向上， 当时，随 的增大而增大； 当时，， ， 当时，随 的增大而增大. 综上，当随的增大而增大时，的取值范围为或 .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 42 Ⅱ.若关于的方程为实数，在时无解，求 的取值 范围． 【解】在 时无解， 在 时无解， 即抛物线与直线在 时无交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 43 由Ⅰ可知抛物线的顶点坐标为 ，如图（1）. 图（1） 当时，抛物线与直线在 时恰好有一个交点， 当时，抛物线与直线在 时无交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 44 当时， ， 当时，抛物线与直线在 时无交点. 综上，当或时，抛物线与直线在 时无交点， 即当或时，关于的方程为实数在 时 无解.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 45 Ⅲ.若在函数图象上有点，与不重合.的横坐标为， 的横坐标为 ．小明对，之间（含， 两点）的图象进行研究，当图象对应函数的 最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出 的取值范围. 【解】或 .…………（14分） ，， ， 点，的横坐标关于直线 对称. 图象对应函数的最大值与最小值均不随 的变化而变化， ,之间的图象（含,两点）为直线和直线 之间的函数图象. 对于,当时，；当时， .对于 ,当时，；当时，（舍去）或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 46 ①当 时，如图（2）. 图（2） 由题意得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 47 ②当 时，如图（3）. 图（3） 由题意得 . 综上，的取值范围为或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 48 $$