03-第21章 二次函数与反比例函数 对点上分（类题推送）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（沪科版）

数 学 九年级上册 沪科版 1 2 3 第21章 对点上分（类题推送） 基础上分 练透考点 4 上分点1 二次函数的定义及表达式 上分点2 二次函数的图象与性质 上分点3 二次函数的图象与字母系数的关系 上分点4 最值问题 上分点5 二次函数与一元二次方程、不等式的综合 上分点6 反比例函数的图象与性质 上分点7 反比例函数的应用 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 编者按：先做基础诊断（A卷）检测薄弱，再到对点上分处进行错题对应练习，补 足短板，最后做提优验收（B卷）综合提升 上分点1 二次函数的定义及表达式 1.［2025安徽六安皋城中学月考］下列函数中，属于二次函数有( ) （1）；（2）；（3） ；（4） ；（5）；（6） . B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】（1）是二次函数，故符合题意；（2） 不是二 次函数，故不符合题意；（3） 是二次函数，故符合题意；（4） 不是二次函数，故不符合题意；（5） 不是二次函数，故不符合题意；（6）中不确定 是否为0，不一定是 二次函数，故不符合题意.综上所述，二次函数有2个.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 7 2.［2025湖北宜昌西陵区期末］抛物线的函数表达式为，若将 轴向下平移1个单位长度，将 轴向左平移2个单位长度，则该抛物线在新的平面直 角坐标系中的函数表达式为_________________. 【解析】根据题意知，坐标轴的移动可看成将抛物线 向上平移1 个单位长度，向右平移2个单位长度，所以抛物线在新的平面直角坐标系中的表达 式为.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 8 3.［2025上海虹口区期末］已知二次函数的图象经过 ， ， 三点. （1）求该函数的表达式； 【解】 二次函数的图象经过，， 三 点， 解得 该函数的表达式为 . （2）用配方法将该函数的表达式化为 的形式. 【解】 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 9 上分技巧 二次函数顶点式的求法 ①将二次函数表达式设为顶点式的形式：，， 是常数， ；②将顶点坐标和另一点坐标代入顶点式，解方程，求出，， 的值即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 10 上分点2 二次函数的图象与性质 4.［2025安徽合肥中国科学技术大学附属中学质检］下列关于二次函数 的图象和性质的叙述中，正确的是( ) D A.点 在函数图象上 B.函数图象开口方向向上 C.函数图象对称轴是直线 D.当时，随 的增大而减小 【解析】A选项，当时，，则点 不在函数图 象上，故该选项不正确，不符合题意；B选项，， 函数图象开口方 向向下，故该选项不正确，不符合题意；C选项，抛物线 的对 称轴是直线 ，故该选项不正确，不符合题意；D选项， 抛物线对称轴为直线，开口向下， 当时，随 的增大而减小，故 该选项正确，符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 11 5.［2025重庆九龙坡区校级月考］在同一直角坐标系中，函数 与 的图象可能是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 12 【解析】 函数的图象与轴的交点坐标为和， ，函数 的图象与轴的交点坐标为，， 抛物线和直线有一个交点在 轴上，故选项A、C、D不合题意.若函数 的图象经过第一、三、四象限， 则，， 两个图象的一个交点在 轴的正半轴上，二次函数 的图象开口向上. 抛物线的对称轴， 对称轴在 轴 的右侧，故选项B符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 13 6.［2025黑龙江大庆月考］在二次函数：； ； 中，图象开口大小从大到小依次为________.（填序号） ②③① 【解析】， 图象开口大小从大到小依次为②③①.故答案为 ②③①. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 14 7.［2025北京西城区校级月考，中］在平面直角坐标系中，点 ， ，，在抛物线 上. （1）若，求 的值； 【解】， 抛物线对称轴为轴，，关于轴对称， . （2）若，求 的取值范围. 【解】把代入，得， .把 代入，得 .由题意可知抛物线开口向 下且经过点，，，， .综 上所述，，，即 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 15 8.［2025福建厦门月考，中］已知二次函数 （ 是实数）. （1）当时，若点在该函数图象上，求 的值. 【解】当时， 点 在 该函数图象上，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 16 （2）小明说该二次函数图象的顶点在直线 上，你认为他的说法对吗? 为什么? 【解】对，理由如下：， 二次函数图象的顶点坐标 为.当时，， 顶点 在 直线 上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 （3）已知点，都在该二次函数图象上，是否存在 ， 使得 存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 【解】存在. 点，都在该二次函数图象上， 该二次 函数图象的对称轴为直线 .由（2）可得该二次函数 图象的顶点坐标为，，， ， . , 当时，取得最大值，最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 18 上分点3 二次函数的图象与字母系数的关系 （第9题图） 9.［2025辽宁抚顺新抚区期末］如图，抛物线 的对 称轴是直线 .下列结论： ；；； ； . 其中正确结论的个数是( ) C A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 19 【解析】由图象得抛物线开口向上，与轴交于负半轴，， 对称轴 是直线，，即，，故①正确. 抛物线与 轴有2个不同的交点，， ，故②正确.由图象得当 时，，即，故③错误.由图象得当时， ，即 ，故④正确.， ， ，， ， ，故⑤正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 20 （第10题图） 10.［2025山东日照期末］如图是抛物线 的部分图象，其顶点坐标为 ，且 与轴的一个交点在点和 之间，则下列结论： ；；；④当 时， ；一元二次方程 有 D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 两个不相等的实数根. 其中正确结论的个数是( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 21 【解析】 抛物线的对称轴为直线，， ，故①错误.② 当时，，，故②正确. 抛物线的 顶点坐标为， 抛物线与直线 只有一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， ，故③正确.④把抛物线向下平移 个单 位，即可得到抛物线， 当时， ，即 ，故④正确 一元二次方程 ， .由图象可知，， ， ， 一元二次方程 有两个不相等的 实数根，故⑤正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 22 上分点4 最值问题 11.［2025江苏苏州姑苏区月考］二次函数的最小值是8，则 ___. 9 【解析】 二次函数的最小值是8，， ， 整理，得，解得或， .故答案为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 23 12.［2025福建厦门思明区校级月考］点在二次函数 的图象 上，若的最大值是，则 _______. 或4 【解析】 点在二次函数的图象上， ， 的最大 值是，的最大值是， ，整理得 ，解得或4.故答案为 或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 24 13.［2025安徽淮南八公山区月考，中］已知二次函数（， 为常 数）. （1）当， 时，求函数的最小值； 【解】当， 时，二次函数的表达式为 ， 当 时，函数有最小值，最小值 为 . （2）当时，函数的最小值为，求 的值； 【解】当 时，二次函数的表达式为 当时，函数的最小值为 ， ，解得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 25 （3）当且时，函数有最小值 ，求二次函数的表达式. 【解】,， 二次函数的表达式为 ， 函数图象开口向上，对称轴为直线 ，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随 增大而增大.当 ，即时，当时，函数有最小值， ，解得 （舍去）.当,即时，当 时，函数有最小值， ，（舍去）.当,即 时， 当时，函数有最小值，，解得或 （舍去）.综 上所述，， 二次函数的表达式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 上分点5 二次函数与一元二次方程、不等式的综合 14.［2024黑龙江绥化期末］二次函数 的部分图象 如图所示，则关于的一元二次方程 的解为_______ __________. ， 【解析】由图象可知，该函数图象的对称轴是直线，与 轴的一 个交点是.由抛物线的对称性可知，该函数图象与 轴的另一个交点是 ， 当，即时，，. 故关于 的一元 二次方程的解为，，故答案为， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 27 15.如图，已知过原点的抛物线与轴交于另一点 . （1）求的值和抛物线顶点 的坐标. 【解】 抛物线过点，，解得 ， ， 抛物线顶点的坐标是 . （2）根据图象，直接写出关于的不等式 的解集. 【解】或.令,易知直线过点， .由图象可得关于 的不等式的解集为或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 28 上分点6 反比例函数的图象与性质 16.［2025安徽安庆期中］对于反比例函数 ，下列说法中错误的是( ) A A.随 的增大而减小 B.图象位于第一、三象限 C.图象与坐标轴无交点 D.图象关于直线 对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 29 【解析】 选项 分析 结论 A ， 在每个象限内，随 的增大而减小 符合题意 B ， 函数图象位于第一、三象限 不符合题意 C 反比例函数图象与坐标轴无交点 不符合题意 D 反比例函数 的图象位于第一、三象限,且关于直 线 对称 不符合题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17.［2025江西赣州章贡区质检］如图，双曲线与直线 相交于，两点，点坐标为，则 点坐标为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意可知，点与点关于原点对称，, 点 坐标为 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 31 18.［2025四川乐山期末］若点，，在反比例函数 的图象上，则，， 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 【解析】 点，，在反比例函数 的图象上， ，，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 32 19.［2025安徽合肥第四十六中学期中］已知方程 有两个正数根， 那么函数与函数 在同一坐标系里的图象可能是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 33 【解析】 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 34 （第20题图） 20.［2025甘肃平凉质检］如图，是坐标原点，点在 轴上， 点在反比例函数 的图象上，在等腰三角形 中，，且三角形的面积为12，则 的值为 ( ) A A. B.6 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 35 【解析】过点作 ，如图. ， 点在反比例函数的图象上， 设 点坐标为，，则. 三角形 的面积为12， ， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 36 （第21题图） 21.［2024浙江温州二模，中］如图，在平面直角坐 标系中，点，，将 向右平移 到的位置，点，分别与点， 对应，函数 的图象经过点和的中点 ， 则 的值为___． 6 【解析】 点，，， . 根据题意可知，.设，则， ， . 函数的图象经过点和的中点 ， ，解得， ．故答案为6． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 37 上分点7 反比例函数的应用 22.［2025浙江衢州期末］某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过 调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻 的函数关系图象，该图象经过点 ．根据图象可知，下列说法正确的是 ( ) D A.当时， B.关于的函数表达式是 C.当时， D.当时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 38 【解析】由题可设关于的函数表达式为.把点 代 入得，解得，即关于的函数表达式为 ，故B不 正确；当时，，解得，故A不正确；当 时， ，由图象知，当时，，故C不正确；当 时，；当时，，由图象知,当 时， ，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 39 23.［2025河南开封经济技术开发区期末］学校举行数学文化竞 赛，图中的四个点分别描述了八（1）、八（2）、八（3）、八 （4）四个班级竞赛成绩的优秀率 （班级成绩优秀人数占班级参 加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数 的情况，其中八 （2）、八（4）两个班级对应的点恰好在同一个反比例函数的图 象上，则成绩优秀人数最多的是( ) A A.八（1）班 B.八（2）班 C.八（3）班 D.八（4）班 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 40 【解析】设反比例函数的表达式为 .设八（1）班对应的点为 ，八（2）班对应的点为，八（3）班对应的点为 ，八（4） 班对应的点为.依题意得，，， 分别为八（1）、八（2）、 八（3）、八（4）四个班级成绩优秀的人数.由题图可知， ， 八（1）班成绩优秀的人数最多. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 41 24.［2025河北唐山路南区校级期末］如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为 10米的墙，用篱笆围一个面积为12平方米的矩形园子.设米， 米，则 下列说法正确的是( ) B A.与之间的函数关系式为 B.随 的增大而减小 C.当时，的取值范围为 D.当长为3米时， 长为6米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 42 【解析】根据矩形园子的面积为12平方米可知， ，故A选项错误， 不合题意.,,随的增大而减小，故B选项正确，符合题意.当 时，，解得.又，， 的取值范围为 ，故C选项错误，不合题意.当长为3米时， （米）， 故D选项错误，不合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 43 25.［2025安徽六安金安区期末］今年以来，新能源汽 车产销两旺，成为推动经济运行的重要发力点．某新能 源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款 后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在 该销售商处购买了一辆价格为20万元的新能源汽车，交 了首付款后余款平均每月付款万元，个月结清与 的函数关系 如图所示，根据图象回答下列问题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 44 （1）确定关于 的函数表达式，并求出首付款的数目． 【解】由图象可知与成反比例关系，设与之间的函数关系式为 . 把代入关系式得，，与 之间的函数关系式为 （万元）, 首付款为5万元. （2）若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元？ 【解】当时， . 答：平均每月应付0.375万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 45 （3）［中］如果张先生打算每月付款0.3万元，那么他要多少个月才能结清余款？ 【解】当时，，解得 ． 答：张先生要50个月才能结清余款． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 46 $$