01-卷1 第21章 二次函数与反比例函数 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（沪科版）

数 学 九年级上册 沪科版 1 2 3 卷1 第21章基础诊断卷！（A卷） 考查内容：二次函数 4 一、选择题 二、填空题 三、 四、 五、 六、 七、 八、 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出 A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1.［2025河南商丘梁园区月考］下列各式中，是 的二次函数的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 2.［2025山西大同云州区月考］若二次函数 的图象经过点 ，则代数式 的值为( ) B A. B.0 C.2 D.5 【解析】 二次函数的图象经过点 ， ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7 3.［2025湖南长沙雨花区月考］如图，抛物线对称轴为直线 ， 与轴的一个交点坐标为，则与 轴的另一个交点的坐标是 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由抛物线的对称性可得,抛物线与轴另一个交点的坐标为 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8 4.［2025河北石家庄新华区月考］以下是四位同学以接力的方式将二次函数 化为顶点式的过程，每位同学只负责其中的一步. 解： .其中出错的步骤有( ) B A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 【解析】 ，故步骤①出错. ,故步骤②正确， ③错误. ,故步骤④正确.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9 5.［2025安徽合肥寿春中学月考］如图，点 ， 在二次函数 的图象上，则方程 的一个解的近似值可能是( ) D A.2.18 B.2.68 C. D.2.45 【解析】由图象得方程 的一个解介于2.18和2.68之间，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10 6.［2025陕西咸阳月考］将抛物线 向上平移2个单 位，所得抛物线顶点一定在( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】将抛物线 向上平移2个单位可得抛物线 ， 平移后的抛物线顶点 坐标为，.，，， 所得抛物线顶点 一定在第一象限，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 7.［2025广东惠州月考］已知二次函数 的图象如 图所示，给出以下结论：； ； ，其中正确结论的个数是( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 【解析】由图象可知，当时，，故①正确；抛物线与 轴有 两个交点，则，故②正确；抛物线开口向下，则，对称轴在 轴 的左侧，则，所以 ，故③错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12 8.新情境［2025重庆北碚区月考，中］某茶杯过最低点 的竖直截面如图所示，其 中杯体竖直截面可近似看成抛物线（杯体厚度忽略不计），点、点 位于杯 口处，且，点 是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深 度为（点到 的距离），将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为 （点到的距离），则 的长度为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13 【解析】以点为原点，水平方向线为轴、竖直方向线为 轴建立平面直角坐标 系，如图.设抛物线的表达式为,点到 的距离为 ,.将代入，得，解得 ， 点到的距离为， 将代入，得 ，解 得，，，，， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14 9.［2025安徽合肥第四十五中学期中，中］已知二次函数 在 范围内的最大值是1，最小值是，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】易得二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 , 当时，有最小值，此时. 二次函数 在范围内的最小值是，.当时， ，解得 ， 二次函数在 范围内的最大值是1， , .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15 10.新考法［2025江苏南京期中，偏难］如图，已知抛物线 的表达 式为，将点向右平移5个单位长度得到点 ，若 线段与只有一个公共点，则 的取值范围是( ) D A. B.或 C. D.或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16 【解析】因为点的坐标为，点由点 向右平移5个单位长度得到，所以点 的坐标为.当时，将代入，得 ，所 以线段与只有一个公共点时，，故此时的取值范围是 .当 时，令，则，解得或4，即抛物线与 轴的交点坐标为 和，则当线段经过抛物线的顶点时，线段与 只有一个公共点.因 为,所以抛物线的顶点坐标为，所以此时 . 综上所述，的取值范围是或 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17 上分技巧 二次函数图象的对称性 只要二次函数的图象的对称轴确定，此二次函数图象上任意一点关于对称轴对称 的点的坐标就能确定. 上分总结 二次函数表达式的三种形式 （1）一般式：，，， 为常数）；（2）顶点式： ,, 为常数）；（3）交点式： ,,为二次函数图象与 轴交点的横坐标）. 上分技巧 图象的平移 图象本质上是几何图形，几何图形平移前后形状、大小均不变. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 11.开放性问题［2025安徽合肥质检］若抛物线的开口向下，则 的值可以是__________________．（写一个即可） （答案不唯一） 【解析】因为抛物线的开口向下,所以,所以 的值可以是 ．故答案为 （答案不唯一）． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19 12.［2025广东广州月考］如图，已知抛物线经过和 两点，如果点 与在此抛物线上，那么___.（填“ ”“ ”或“ ”） 【解析】 抛物线经过和两点， 抛物线的对称轴为直线 . 抛物线的开口向下， 在对称轴右侧，随的增大而减小. 点 与在此抛物线上，，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 13.［2025安徽阜阳太和期中，中］一小球从 的高处落下，小球离地面的高度 和下落时间大致有如下关系：，则小球经过___ 落到地面． 2 【解析】当小球落到地面时，， 令,则，解得 或 （舍去），故答案为2． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14.［2025安徽滁州天长校级期中，偏难］已知二次函数 是常数，且 ． （1）若该函数图象经过点，则 的值为____； 【解析】 二次函数是常数，且 的图象经过点 ，，解得，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 （2）已知该二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与 轴交于 点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则 的值为_ ___________． 或 【解析】当时，，，解得 ， ， 点的坐标为，点的坐标为.当时，， 点 的坐标为 ， ， ，.当时， ， 即，解得（不合题意，舍去）或；当 时， ，即，解得（不合题意，舍去）或 .综上， 的值为或.故答案为或 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 23 三、（本题满分6分） 15.［2025福建福州仓山区月考］在平面直角坐标系中，抛物线 经过 点和点 . （1）求抛物线的表达式； 【解】 抛物线经过点和点， ………… （1分） 解得 …………（2分） 抛物线的表达式为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 24 （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标. 【解】 ，…………（4分） 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 四、（本题满分8分） 16.［2025云南昆明西山区月考］如图，抛物线 与轴交于点，与轴交于点，,点在点 左侧. （1）求点，， 的坐标； 【解】当时，， .…………（2分） 当时，，解得或， ， .…………（6分） （2）若抛物线顶点为，求 的面积. 【解】 ， ,,, 的面积为 . …………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 26 五、（本题满分8分） 17.［2025天津红桥区月考］某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，如图， 在一个边长为 的正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩 余部分折成一个无盖纸盒. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 27 （1）若无盖纸盒的底面积为 ，则剪掉的小正方形的边长为多少？ 【解】设剪掉的小正方形的边长为 ，则无盖纸盒的底面的边长为 ， …………（1分） ，…………（2分） 解得， .…………（3分） ，， ， ,…………（4分） 剪掉的小正方形的边长为 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 28 （2）无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小 正方形的边长；如果没有，说明理由. 【解】有.…………（6分） 设剪掉的小正方形的边长为，无盖纸盒的侧面积为 ， .…………（7分） ， 当时， 有最大值，最大值为450. 答：无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为 ，此时剪掉的小正方形的边长 为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 29 六、（本题满分10分） 18.［2025河南许昌月考］如图，抛物线 与直线 相交于点和点 . （1）求抛物线的表达式； 【解】将点代入得 ，解得 ， 抛物线的表达式为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 （2）求点的坐标，并结合图象写出关于的不等式 的解集； 【解】将点代入得，解得 ， 直线的表达式为 .…………（5分） 联立得 解得或 点的坐标为 .…………（7分） 结合图象可知，关于的不等式的解集为 或 . …………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 31 （3）［中］若关于的方程在 的范围内只有一个实数根 或有两个相等的实数根，求出 的取值范围. 【解】, 抛物线的顶点坐标为 .由题意可知 抛物线与直线在的范围内只有一个交点， 的取 值范围是或 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 32 七、（本题满分12分） 19.［2025浙江温州鹿城区期中］某旅游点的一家商铺销售一批成本为50元/件的商 品，规定销售单价不低于成本价，且不高于70元/件，销售量（件）与销售单价 （元/件）的关系可以近似看作一次函数，其图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 33 （1）请直接写出与之间的函数表达式：_________________.（不必写出 的取 值范围） 【解析】设与之间的函数表达式为.将， 代 入，得 解得与之间的函数表达式为 . 故答案为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 34 （2）［中］设该商铺销售这批商品获得的总利润为 元，当销售单价为多少时， 获得的总利润最大？最大总利润是多少？ 【解】由题意可得 .………… （6分） 函数 的图象开口向下，对称轴是直线 ，（8分） 当时，随的增大而增大， 当时， .故当销售 单价为70元/件时，获得的总利润最大，最大总利润是6 000元.…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 35 （3）［中］若该商铺要保证销售这批商品的利润不低于4 000元，则 的取值范围 是____________. 【解析】当时，，解得 ， . ， 当时， . 又， . 故答案为 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 36 八、（本题满分14分） 20.探究性问题［2025安徽合肥质检］综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点 ， 过，两点的抛物线与轴的另一个交点为点 ， 点是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点分别作轴和 轴的平行线，分别 交直线于点，点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 37 （1）求抛物线的表达式； 【解】对于，令,则；令，则, 点， 的坐标 分别为， .…………（2分） 将,,代入 ，得 解得 抛物线的表达式为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 38 （2）［中］点是轴上的任意一点，若是以 为腰的等腰三角形，请直 接写出点 的坐标； 【解】或或 …………（10分） 设点的坐标为,,,， ， 是以为腰的等腰三角形，或 , 或，或，解得 或或4（舍去）或， 点的坐标为或或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 39 （3）［偏难］当时，求点 的坐标. 【解】轴，轴， , , 点 是抛物线位于第四象限图象上的 点， 设点的坐标为，，则点 ， , ,解得 ， 点的坐标为 .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 40 $$