精品解析：陕西省榆林市府谷县第四中学2024-2025学年上学期期末数学试题

2024~2025学年度第一学期期末调研试题（卷）九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，熟知一元二次方程的根满足方程是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，把代入方程，即可解得m的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴ ∴ 故选：B． 2. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，根据主视图的定义即可判断，解题的关键是正确理解左视图是从左面观察几何体得出的平面图形，注意：能看到的线用实线，看不到而存在的线用虚线． 【详解】左视图如图所示， 故选：． 3. 有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．则红色卡片的数量约为（ ） A. 8张 B. 4张 C. 10张 D. 12张 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率，根据概率公式求数量，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得抽到红色卡片的概率为，进而根据卡片的总数为20张，即可求解． 【详解】解：由题意可得，抽到红色卡片的概率为， 故红色卡片的数量为：（张）， 故选：A． 4. 如图，，，分别是，的角平分线，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据相似三角形的对应角的角平分线之比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，，分别是，的角平分线，， ∴， 故选：C． 5. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的函数值，熟练掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标，满足函数解析式，是解题的关键．把点代入函数解析式即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ 故选：A． 6. 将矩形和菱形按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积倍，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了矩形和菱形的性质，根据矩形的面积公式以及菱形的面积公式解答即可，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：∵矩形的面积，菱形的面积， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，在中，点在边上，过点作交于点，过点作交于点，连接交于点，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据平行线分线段成比例可知，得到，然后可证，得到，接着根据题意易证四边形是平行四边形，得到，最后由，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， 故选：D． 8. 若点，，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟记当时，函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，是解题的关键．先根据反比例函数中，判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴点，位于第三象限， ∴， ∵， ∴点位于第一象限， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如果两根木杆垂直立在地面上，其中一根的影子的方向为正东方，另一根的影子的方向为正西方，那么这是________投影（填“中心”或“平行”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律， 熟记中心投影的特点和规律是解题的关键． 平行投影的影子只能在同侧，中心投影的影子可以在两侧，根据中心投影的特点解答即可． 【详解】解：∵两根木杆的影子方向不同， ∴这是中心投影． 故答案为：中心． 10. 如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件________，使为矩形． 【答案】或（或或或）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，根据矩形的判定推理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形； 当（或或或）时，平行四边形是矩形； 故答案为：或（或或或）（答案不唯一） ． 11. 已知关于x的方程无实数解，则m取到的最小正整数值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式列出不等式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程无实数解， 当时，原方程为一元一次方程，有解， 当时，原方程为一元二次方程， ∴， 解得：， ∴则m取到的最小正整数值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键． 12. 如图， 的直角边在轴上，反比例函数的图象经过斜边上的点，且满足，与边交于点，连接，若的面积为2，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 过点作轴，交轴于点，证明，根据面积比等于相似比平方得出，然后利用面积的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，点，分别在，上，，，交于点，则的面积的最大值是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质以及三角形面积，解题的关键是证明，推出是解题的关键．连接，过点作于，先证，则△△，△△，再推出，推出，可得，求出面积的最大值即可解决问题． 详解】解：连接，过点作于，如图所示： ，， ， 又∵， ， ，， ∴ ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 一定，当最大时，△的面积最大， ， 时，最大， 即当时，△的面积最大，最大值， △的面积的最大值， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 则或， 解得：，． 15. 如图，在四边形中，，连接，点是对角线的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，从而，再根据“等边对等角”即可证明． 【详解】证明：∵，点是的中点， ∴，， ∴， ∴． 16. 若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】点不在反比例函数的图象上，理由见详解． 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，运用待定系数法得到反比例函数解析式，再把代入计算即可判定． 【详解】解：点不在反比例函数的图象上，理由如下， 点在反比例函数（为常数，且）的图象上， ∴， 解得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点不在反比例函数的图象上． 17. 如图，是以为底的等腰三角形，若，请用尺规作图法在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．作的角平分线交于，点即为所作，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，点即为所作， ∵，， ∴， 由作图可得：平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为．在第一象限画出以原点为位似中心的位似图形（点的对应点分别是），使与的相似比为． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查在坐标系中画位似图形，先根据位似图形的点的坐标变化求出各顶点坐标，再依次连接即可解答． 【详解】解：∵， 且与的相似比为， ∴，，， ∴如图，为所求． 19. 如图，在四边形，，连接，点为的中点，连接并延长交于点，，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 由点O为的中点得到，由得到，，证得，得到，进而推出四边形是平行四边形，再根据即可得证． 【详解】证明：∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 20. 如图，在矩形中，，，连接，点在边上，连接，交于点，若．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键，根据矩形的性质，证明，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴． 21. 交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，根据一元二次方程与增长率的计算方法列式求解即可． 【详解】解：九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同， ∴设该品牌头盔销售量的月增长率为， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为． 22. 一个不透明的口袋里装着分别标有数字，，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀． （1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率为 ； （2）从中任取一球，记下球上的数字，然后把小球放回；再任取一球，记下球上的数字，请用画树状图（或列表法）的方法，求出两球上的两数之积为非负数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中所抽取的数字恰好为负数的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两球上的两数之积为非负数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中所抽取的数字恰好为负数的结果有2种， ∴所抽取的数字恰好为负数的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 共有16种等可能的结果，其中两球上的两数之积为非负数的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种， ∴两球上的两数之积为非负数的概率为． 23. 如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子的高为6米，宽为1米，出口到的距离为4米． （1）求段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）出口到轴的距离的长是多少？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用， （1）先设出函数解析式，然后根据题意可知，点在该函数的图象上，代入函数解析式即可得到k的值，再写出函数解析式即可； （2）根据题意可以得到点C的横坐标，代入（1）中得解析式即可得到点C的纵坐标，从而可以写出出口C到x轴的距离的长． 【小问1详解】 解：设段所在的反比例函数的表达式为， ∵梯子的高为6米，宽为1米， ∴点在该函数图象上， ∴，得， ∴段所在的反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：由题意可得，点C的横坐标为， 将代入，得， 即出口C到x轴的距离的长是米． 24. 如图，小华及数学小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度．在阳光下，小华站在点处时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点，其中；随后，该小组组员甲在点处放置一面平面镜，组员甲移动到点时，恰好在镜子中看到广告牌顶端的像，此时，，组员甲的眼睛到地面的距离为，小华的身高为．已知，，，点在一条直线上根据以上信息，求广告牌的高度．（平面镜的厚度、大小忽略不计） 【答案】广告牌的高度为． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据题意可证，得，则，再证明，得，则，可得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，根据光的反射得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴广告牌的高度为． 25. 如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的长．（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析 （2）a 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）先根据证明，得出，再根据正方形中，，即可得到，从而可求得的长． 【小问1详解】 证明：∵的垂直平分线交于，交于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 26. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中， ，，． 【问题探究】 （1）如图①，连接，在纸片绕点旋转过程中，求证：∽； 【问题解决】 （2）如图②，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的高线的延长线上，连接，求的长； 【问题拓展】 （3）如图③，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在中线的延长线上，连接，求的周长． 【答案】（1）见详解 （2） （3）的周长为 【解析】 【分析】（1）根据题意，运用两边对应成比例，两边夹角相等，两三角形相似的判定方法即可求证； （2）根据题意可证，得，再证，得，由此即可求解； （3）如图所示，设交于点，连接，可得，，可证，得，点为中点，再证明四边形是矩形，得到，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）证明：在中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴． （2）∵是边上的高，即，点恰好落在高线的延长线上， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 又， ∴； （3）如图所示，设交于点，连接， ∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴点为的中点， 又， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期期末调研试题（卷）九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 2. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．则红色卡片的数量约为（ ） A. 8张 B. 4张 C. 10张 D. 12张 4. 如图，，，分别是，的角平分线，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 将矩形和菱形按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的倍，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点在边上，过点作交于点，过点作交于点，连接交于点，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如果两根木杆垂直立在地面上，其中一根的影子的方向为正东方，另一根的影子的方向为正西方，那么这是________投影（填“中心”或“平行”） 10. 如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件________，使为矩形． 11. 已知关于x的方程无实数解，则m取到的最小正整数值是_______． 12. 如图， 的直角边在轴上，反比例函数的图象经过斜边上的点，且满足，与边交于点，连接，若的面积为2，则的值为_________． 13. 如图，在中，，，点，分别在，上，，，交于点，则的面积的最大值是___． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 如图，在四边形中，，连接，点是对角线中点，连接．求证：． 16. 若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 17. 如图，是以为底等腰三角形，若，请用尺规作图法在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为．在第一象限画出以原点为位似中心的位似图形（点的对应点分别是），使与的相似比为． 19. 如图，在四边形，，连接，点为的中点，连接并延长交于点，，连接．求证：四边形是菱形． 20. 如图，在矩形中，，，连接，点在边上，连接，交于点，若．求证：． 21. 交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 22. 一个不透明的口袋里装着分别标有数字，，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀． （1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率为 ； （2）从中任取一球，记下球上的数字，然后把小球放回；再任取一球，记下球上的数字，请用画树状图（或列表法）的方法，求出两球上的两数之积为非负数的概率． 23. 如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子的高为6米，宽为1米，出口到的距离为4米． （1）求段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）出口到轴的距离的长是多少？ 24. 如图，小华及数学小组成员将利用所学知识测量一个广告牌高度．在阳光下，小华站在点处时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点，其中；随后，该小组组员甲在点处放置一面平面镜，组员甲移动到点时，恰好在镜子中看到广告牌顶端的像，此时，，组员甲的眼睛到地面的距离为，小华的身高为．已知，，，点在一条直线上根据以上信息，求广告牌的高度．（平面镜的厚度、大小忽略不计） 25. 如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形正方形； （2）若，求的长．（用含的代数式表示） 26. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中， ，，． 【问题探究】 （1）如图①，连接，在纸片绕点旋转过程中，求证：∽； 【问题解决】 （2）如图②，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的高线的延长线上，连接，求的长； 【问题拓展】 （3）如图③，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的中线的延长线上，连接，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$