31.卷18 九年级全一册综合检测卷（二）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级全一册数学配套课件（浙教版）浙江专用

数 学 九年级全一册 浙教版 1 2 3 卷18 九年级全一册综合检测卷（二） 考查内容：九年级全一册所有章节 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2025浙江杭州调研]抛物线 的顶点坐标是( ) D A. B. C. D. 【解析】抛物线的顶点坐标是 ．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 2.[2024浙江金华一模]在同一时刻，同一地点，两根长度不等的木杆置于阳光之下， 但它们的影长相等，那么这两根木杆的相对位置可能是( ) C A.两根木杆都直立在地面上 B.两根木杆平行斜插在地面上 C.两根木杆不平行斜插在地面上 D.两根木杆倒在地面上 【解析】因为在同一时刻，同一地点，两根长度不等的木杆置于阳光之下，但它 们的影长相等，所以两根木杆可能不平行斜插在地面上．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7 3.[2025浙江金华质检]“明天下雨的可能性为 ”这句话指的是( ) C A.明天一定下雨 B.的地区下雨， 的地区不下雨 C.明天不一定下雨 D.明天的时间下雨， 的时间不下雨 【解析】“明天下雨的可能性为 ”指的是明天不一定下雨.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8 4.跨学科问题[2025浙江绍兴期末]凸透镜成像的 原理如图所示，.若物体到焦点 的距 离与焦点到凸透镜的中心线 的距离之比为 ，则物体被缩小到原来的( ) D A. B. C. D. 【解析】,,, 四边形为矩形， , ,,,,, 物体被缩小到 原来的 ．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9 （第5题图） 5.[2024浙江宁波模拟]如图，为的直径，点，在 上， 且， ，则 的长为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10 【解析】如图，连结为 的直径， .在中， ， . , .在中， ， ．故选C． 上分技巧 圆中常见辅助线 构造直径所对的圆周角，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似三角形的性质解题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 （第6题图） 6.[2025浙江台州期末]我们把顶角为 的等腰三角形称为“黄金三 角形”，它的底与腰的长度比满足黄金分割比．如图，在 中， ，，平分交于点，若 ，则 的长为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12 【解析】， ，平分 ， ， ， ， ， ，，即，整理得 ， ， ，故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13 （第7题图） 7.[2024浙江金华二模]如图，是斜靠在墙上的长梯， 与地 面夹角为 ，当长梯顶点下滑到点时，长梯底端点 滑 到点处，此时与地面的夹角为 ，若 ， ，则 ( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 【解析】如图.由题意得，在 中， ， 设，则 ， .， ， ， . 由题意得，在中， ， ，解得，， ， ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 （第8题图） 8.[2025浙江温州校级月考，中]如图，经过矩形 的顶点,，且与边相切于点，与边交于点 ，若 ，则边和 长度的比值为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16 【解析】如图，过点作于，延长交于 ，连结 ,，,由垂径定理得 四边形 是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， ,,是 的切线， ， 四边形是矩形，.设，则 ， ,, , 在 中，，同理可求 , ， ．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17 9.[2024浙江杭州校级模拟，中]已知二次函数 图象过 ， 两点．有下列判断： ①若，则 ； ②若，则 ； ③若，，且，则 ； ④若，，且 ，则抛物线的顶点一定在第三象限. 其中判断正确的有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18 【解析】①若，则当时，，故①正确.②若 ， 则二次函数图象的对称轴是直线. 二次函数图象开口方向未知， 无法确 定，的大小，故②错误.③若，，则 ， ，,即 ， ,即，，故③正确 ， ，，,即，，， 抛物线对称轴在 轴左侧，且抛物线开口向上. ， 抛物线的顶点一定在第三象 限，故④正确.故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 （第10题图） 10.[2024浙江温州一模，难]如图，点为正方形 的中心，以的中点为圆心， 的长为半径画弧交 的延长线于点．以为边向上作正方形 ，过 点作交于点，取的中点 ，连结 ．已知，则 的长为( ) A A. B. C. D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 【解析】连结，， 点为正方形的中心， 点在线段上. 四边形是正方形，， ，即 ，， ， ，，点为 的中点， ，， . ， ， ， ，. 点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21 是的中点，且 ，. 点 为的中点，且， ， .由勾股定理得 ，即 ， ，故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.[2025浙江金华期中]已知，则 ___． 2 【解析】， 设,, ．故答案为2． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 12.[2025浙江宁波校级月考]将二次函数的图象沿 轴翻折，再向 右平移1个单位长度后得到的函数图象的表达式为_________________． 【解析】二次函数的图象的顶点坐标为，点 关 于轴对称的点的坐标为，把点 向右平移1个单位长度后得到的点的 坐标为 变换过程中抛物线的开口方向和形状不改变， 变换后的二次函 数图象的表达式为.故答案为 ． 上分总结 二次函数图象的变换 二次函数图象的变换本质上可视为顶点坐标与二次项系数 的变换. 根据变换后的 顶点坐标与二次项系数 就能写出变换后的二次函数图象的表达式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 13.[2025浙江宁波月考]将25个棱长为1的正方体积木摆成一堆，则形成的几何体表 面积最小是____． 54 【解析】当正方体积木互相重合的面最多时表面积最小.先利用27块正方体积木拼 成一个棱长为3的正方体，再去掉2块正方体积木，只有在两个角上各去掉1块正方 体积木，或在同一个角去掉2块相邻的正方体积木时，几何体的表面积不会增加， 此时正方体积木数量为25，且表面积最小， 该几何体表面积最小为 ，故答案为54． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 14.[2025浙江金华校级月考]如图，将抛物线位于 轴上方的部分 沿轴翻折，其余部分不变，得到一个新函数图象．若一次函数 的图象 与新函数图象有4个公共点，则 的取值范围是_______________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 【解析】如图.在中，令 ，则 ，解得或， 抛物线 与轴的两个交点坐标分别为， .设 是抛物线位于 轴上方的部 分沿轴翻折后的新图象上一点，则点 是抛物线 上一点，，即， 翻折 后在范围内的函数表达式为.当一次函数 的图 象恰好经过点时，，解得；当一次函数 的图象与 抛物线 只有一个交点时，联立得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 27 则 ，当 时，， 结合函数图象可知，当 时，一次函数 的图象与新函数图象有4个公共点，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15.[2024浙江杭州二模，中]如图，在正方形中，为对角线，以点 为圆 心，的长为半径画弧，再以为直径画半圆．若 ，则阴影部分的面积 为______.（结果保留 ） （第15题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 【解析】如图，连结 四边形是正方形， , .由题易得 ， 是等腰直 角三角形.，, 阴影部分的面积为 上分点拨 计算不规则图形的面积 将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差，再进行计算. .故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 16.[2024浙江校级模拟，难]如图，在中， ，两个边长为1的正 方形，的顶点,,,,均在的边上， ， 令，当 时，__；当时， ____． （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 31 【解析】如图，过点作于点 ， , 四边形 为正方形， ， ， ， , , . ， , ,, , ，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 32 过点作于点，， 易知. , ，,， , ,,, ,即 ,,. ， ， , , ,. , ,即 ， ,., , ,.故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.[2025浙江杭州校级开学]（本小题满分8分）如图，用一个圆心角为 的扇 形无重叠且无缝隙围成一个无底的圆锥. （1）若圆锥的母线长为 ，求圆锥的侧面积． 【解】 圆锥的母线长为， 扇形的半径为， 扇形面积为 ， 圆锥的侧面积为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 34 （2）若圆锥底面半径为 ，求扇形的半径． 【解】设扇形的半径为. 圆锥底面半径为， 圆锥底面周长为 ， …………（5分） 扇形弧长为， ，…………（6分） 解得 ，…………（7分） 扇形的半径为 ．…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 35 18.[2025浙江衢州期末]（本小题满分8分）在一个不透明的盒子里装有红、白两种 颜色的球共10个，这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀，从盒子里随机摸出一 个球记下颜色后，再把球放回盒子，不断重复上述过程．下表是多次摸球试验中 的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1 000 3 000 摸到白球的次数 65 124 178 302 481 599 1 803 摸到白球的频率 0.650 0.620 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 36 （1）由表格可知，当 很大时，摸到白球的频率将会接近___________________； （精确到 ） （2）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是______________ ________；（精确到 ） 0.6…………（2分） 0.6…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 37 （3）如图是一个可以自由转动的转盘，小明将转盘分为红色、白色2 个扇形区域，转动转盘，当转盘停止后，指针落在白色区域的概率与 （2）中摸到白球的概率相同．请你在转盘上用文字“红色”“白色”注 明两个区域的颜色，并求出白色区域的扇形的圆心角的度数． 【解】由（2）得，摸到白球的概率为， 转盘中白色区域的扇形的圆心角度 数为 .…………（6分） 如图所示： …………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 38 19.[2024浙江杭州二模]（本小题满分8分）如图，点是的边 上一点， 与边相切于点，与边，分别相交于点，,，且 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 39 （1）求证： ； 【证明】连结， ，如图. ， ， . , , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 40 , .…………（2分） 与边相切于点 ， ，…………（3分） ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）当，时，求 的长． 【解】在中， ，, ， 即, 令, , ,, , , .…………（5分） 设的半径为，则 . 在中， ，…………（6分） ，（7分） ．…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 42 20.[2025浙江杭州月考]（本小题满分8分）如图，在等腰三角形 中，，平分，点在 的延长线上， ，交于点 ． （1）求证： ； 【证明】， . ， ， ， .…………（1分） ， ，…………（2分） ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 43 （2）若，求 的长． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 44 【解】过点作于，如图.，平分 ， ， . ，，，， ， ，…………（4分） .…………（5分） ，， .…………（6分） ， ，…………（7分） ．…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21.[2025浙江绍兴质检]（本小题满分8分）图（1）是一款千斤顶，旋转螺杆能起 到升降千斤顶顶部的作用．图（2）是该千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆 ,,,的长度均为，螺杆 与水平地面平行． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 46 （1）当 时，求千斤顶顶部到水平地面的距离． 【解】连结，交于点 ，如图. ， 四边形 为菱形，…………（1分） ，.又 , 为等边三角形，…………（2分） .与水平地面平行，垂直于水平地面， 当 时，千斤顶顶部到水平地面的距离为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 47 （2）当由 变为 时，千斤顶顶部到水平地面的距离将增加多少？ （结果精确到．参考数据：,， ， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 48 【解】由（1）得，四边形为菱形，，为菱形的对角线， 垂直于水 平地面， 为直角三角形， .…………（4分） 在中， ， ，…………（5分） .…………（6分） ，…………（7分） 当由 变为 时，千斤顶顶部到水平地面的距离将增加 ．…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 49 22.[2025浙江杭州月考]（本小题满分10分）如图，与相切于点， 是 的直径，，交于点，连结 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 50 （1）求证： ． 【证明】, . 与相切于点， ， .…………（1分） , ， ， . ，…………（2分） ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 51 （2）请用一个等式表示出与 之间的数量关系，并证明． 【解】与之间的数量关系是 .证明如下：由（1）可知 ， ，即 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 52 （3）［中］若的半径为5，，求线段 的长． 【解】连结 ，如图所示. 是 的直径， . 的半径为5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 53 . 在中，, ， .…………（7分） ， . 又， , ， 即 ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 设，则.由（1）得,.在 中，由 勾股定理得，即 ，…………（9分） 解得, ．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23.[2024浙江杭州三模]（本小题满分10分）如图，在菱形中，点在边 上，连结交对角线于点，过点作交于点 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 56 （1）若， ，求 的度数． 【解】 四边形 为菱形， ， ， .…………（1分） ， .…………（2分） ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 57 （2）［中］若，，求 的长． 【解】，， ， ， .…………（5分） 四边形为菱形，， ， ，， ， , .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 58 （3）［中］求证： ． 【证明】 ， , .…………（8分） , , ，…………（9分） , ．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 59 24.[2025浙江台州期中]（本小题满分12分）如图（1），一块矩形电子屏 中，为上一感应点，，动点 为一光点，当光点在光带上运动时， 会与感应点发生反应，照亮以为边的正方形区域 ．因发生故障，只有光 带和正常工作，，光点以每秒1个单位的速度从 点出发，沿 匀速运动，到达点时停止．设光点的运动时间为 秒，照亮的正方形 区域的面积为,图（2）为点在运动过程中与的函数图象，其中点 表示 点运动到 点时的情形． 图（1） 图（2） 备用图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 60 （1）当时，照亮的区域面积___，并求 的值. 9 【解】，点的速度为每秒1个单位， 四边形 为矩形， ，， .故答案为9.当 时，，， ．…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 61 （2）当点经过点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时是 的 二次函数．求出点在线段上运动时，关于 的函数表达式.（不用写自变量的 取值范围） 【解】当点经过点又运动4秒时，， 此 时照亮区域的面积最小，.如图，连结.在 和中，, , ， , 此时,关于 的二次函数的图象的顶点坐标为 ，即.设关于的函数表达式为.将点 代入，得 ，解得, .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 62 （3）若存在三个时刻，，对应的正方形区域 的面积均相等． ① ___； 8 【解析】根据题图（2）可知，在范围内的函数图象与在 范围 内的图象关于直线对称， .故答案为8.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 63 ②当时，正方形区域 的面积为_ ___． 【解析】由题易知，当时，关于的函数表达式为, 函数 的图象向右平移8个单位与函数的图象重合. 当 和时，的值相等，.又，，解得 ， 此时正方形区域的面积为.故答案为 ．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 64 $$