26.卷16 九下 期末综合检测卷-【初中上分卷】2025-2026学年九年级全一册数学配套课件（浙教版）浙江专用

数 学 九年级全一册 浙教版 1 2 3 卷16 九下期末综合检测卷 考查内容：九年级下册第1章至第3章 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2025浙江杭州校级月考]在中，，那么 的度数是( ) C A. B. C. D. 【解析】是直角三角形，，是锐角. ， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 2.传统文化[2025浙江台州期中]如图（1）,鲁班锁是中国传统的益智玩具，如图 （2）是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的主视图是( ) B 图（1） 图（2） A. B. C. D. 【解析】它的主视图是 ．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7 3.[2025浙江金华月考]的半径为3，点到直线的距离为4，则表示直线 与 位置关系的图形是( ) D A. B. C. D. 【解析】的半径为3，点到直线的距离为4，，即， 直线 与 的位置关系是相离．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8 （第4题图） 4.[2024浙江湖州一模]如图，小明想利用“ ， ，”这些条件作．他先作出了 和 ，在用圆规作时，发现点可以在和 两个位置，那么 的长是( ) D A. B. C. D. （第4题图） 【解析】过点作于点，如图. ， ，， . ， 由勾股定理易得 ， .故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9 （第5题图） 5.[2024浙江一模]如图，是的切线，点是切点，连结 交于点，延长交于点，连结，若 ， ，则 的长为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10 （第5题图） 【解析】连结，，如图，则是 的直 径， ，与相切于点 ， ， ， ， 是等边三角形， ， .故选C. 上分技巧 圆的切线 出现切线时，一般会连结切点与圆心，再利用切线的性质得圆的切线垂直于经过 切点的半径进行解题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 6.[2025浙江金华期末]如图是一辆自行车以及它的部分结构示意图，若 ， ,，则点到 的距离为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12 【解析】过点作于点，如图. ， ， .在中， , ， 点到的距离为 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13 7.[2025浙江期末，中]如图是一种交通锥，可将其近似看成一个底面半径 为，高为 的圆锥，现要在该圆锥侧面贴一层反光膜（无缝隙且 无重叠），则反光膜面积为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意可得圆锥的母线长为， 反光膜面积为 ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 8.[2025浙江衢州期末，中]如图，在中， ， 于，为的内切圆，设的半径为， 的长 为，则 的值为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 【解析】如图，过点分别作边,,的垂线于点，， ， 连结,,,则 , ，的长为 ， ，,， ，故选A. 上分点拨 计算三角形的内切圆半径 计算三角形的内切圆半径的通用方法是等面积法,即 三角形周长×内切圆半径. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16 （第9题图） 9.数学文化[2025浙江杭州期末，中]第二十四届国际数学家大会 会徽的设计基础是中国古代的“赵爽弦图”．如图是由四个全等的 直角三角形 和中间一个 小正方形拼成的大正方形， ，连结 ．设 ， ，若正方形 与正方形 的面积之比为， ，则 的值为( ) C A.5 B.4 C.3 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17 【解析】设，，则，，， . ，， ， ， ， , ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18 （第10题图） 10.［难］如图，直线与轴、轴分别相交于， 两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心， 的长为半径的作两条切线，切点分别为， ，则四边形 面积的最小值为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 【解析】如图，连结 直线与轴、 轴分别相交 于，两点，当时，，当时， ， ，， ， ，， , 的半径为，. 当时，的值最小， 此时 的值最小， 四边形 的面积最小，此时 . 过点向以为圆心， 的长为 半径的作两条切线，切点分别为，，， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 ， , .故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.[2025浙江杭州西湖区校级月考] 是锐角，且，则 _ __． 【解析】如图.， 可设，则 ，由勾股定理得， ， ，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22 12.转化思想[2024浙江杭州校级月考]如图，正方体的6个面分别写着，， ， ，，，则与 相对的面是___． B 【解析】由题图可得，与相邻的面有,,,，所以与相对的面是 ．故答案为 ． 上分点拨 正方体相对两个面的文字 将难以直接确定正方体相对两个面文字的问题，转化为确定相邻面的文字问题， 再利用排除法获得正确答案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 13.[2025浙江杭州月考]如图，在中，与相切于点，连结交 于 点，过点作交于点，连结．若 ，则 的度数 为____． （第13题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 【解析】连结，如图.与相切于点， ， ，， ， 故答案为 ． （第13题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 14.新情境[2025浙江宁波期末，中]一款带毛刷的圆形扫地机器人的俯视图如图所 示，的直径为，毛刷的一端为固定点，另一端为点， ， 毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点,，且,， 三点在同一直线上，则图 中阴影部分的周长为__________________． （第14题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 （第14题图） 【解析】如图，连结，，，，， 三点在同一 直线上，经过点.由题意得为半圆 的直径， ， 的直径为 , ，.在 中， ， ,同理 ， ，， 阴影部分的周长为 .故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 27 15.[2025浙江温州期末，中]图（1）是一个水平放置的长方体密封容器，内部装有 水，其正方形底面的边，棱上标有刻度，水面与交于点 ，读得 .如图（2），将容器放在斜坡上，此时水面分别与, 交于点 ，，读得．若容器厚度不计，则 __． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 28 【解析】过点作于点 ，如图.由于水的体积没变， , , .在中，， ， ．, , ,,.故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 16.[2024浙江宁波校级模拟，难]如图，在矩形中，是直径，是 的中点，是直线上任意一点，，，,与 分别相切于点 ,，当最大时， 的长为_ ____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 【解析】如图（1），连结, 四边形 是矩形， ，是的切线， ,易得 ， ， 要使最大，则最大. ， 在 中，，， 要使 最大， 则的值最小，即当时，最大.如图（2），延长交直线 于 四边形是矩形， ， ， 点是的中点， ， ，是的直径， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 31 .在中，，， , ，，， ， .在中， ，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.[2025浙江宁波期中]（本小题满分8分） （1）计算： ； 【解】原式 .…………（3分） .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 34 （2）在中， ，，，求 的余弦值和正切值． 【解】如图，在中， ，， ， 13，.…………（6分） ， ， 的余弦值为，的正切值为 ．.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 35 18.[2025浙江金华期末]（本小题满分8分）如图所示，点 在第 一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点， ，连结 ，过点作于点 ． （1）求证：四边形 为矩形. 【证明】与轴相切于点 ， 轴..…………（1分） 又， ， ，.…………（3分） 四边形 是矩形..…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 36 （2）已知的半径为4，，求弦 的长． 【解】连结 四边形 是矩形， ..…………（5分） ， ..…………（7分） ， ．.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 37 19.[2024浙江中考]（本小题满分8分）如图，在 中， ，是边上的中线，， ， ． （1）求 的长； 【解】，， ， ..…………（1分） ， ，.…………（2分） ..…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 38 （2）求 的值． 【解】是 边上的中线， ,.…………（4分） ..…………（5分） ， ，.…………（6分） ．.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 39 20.[2025浙江宁波期末]（本小题满分8分）如图，在中，， 与 相切于点，与交于点，与的延长线交于点，连结，且 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 40 （1）判断与 的位置关系，并说明理由． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 41 【解】与 相切..…………（1分） 理由：连结 ，如图. 与相切于点， . 在和中， ，.…………（2分） ， . 是的半径，是的切线，即与 相 切..…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）点为上一点，,,交于点.若 的半径为2，求图中阴影部分 的面积（结果保留 ）． 【解】， . 与相切于点, . ， . ， ， . ，.由（1）可知， . ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 43 . ， . 在中，， ， ， ， . 在中，，. ， , 为等边三角形， , ． .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21.[2024浙江杭州校级模拟]（本小题满分8分）如图（1）是某种安装于水槽上的 水龙头，其示意图如图（2）所示，矩形为水槽侧面， ， 在水槽边上方安装水管，，水龙头为折线 ，其中 ．测得 ， ． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 45 （1）求点到水槽底的距离 ． 【解】如图，过点作于点 ，如图. ， ， 四边形 是矩形， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 46 ， ， ， . ， ，.…………（2分） ..…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）若水柱与共线，当手伸到水槽内洗手时（即手与水柱的交点在 下面），水不会溅出．若手与水柱交点离水槽边的距离为 ，洗手时 水会不会溅出？试通过计算说明．（参考数据：, , , ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 48 【解】水不会溅出，理由如下：由（1）可得， ， . ， ， . …………（4分） 作于点，交于点，于，如图.由题意得 ， ， ..…………（5分） 在中， ，.…………（6分） ，.…………（7分） 水不会溅出．.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 49 22.[2025浙江宁波月考]（本小题满分10分）某几何体 的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为2． （1）简要描述一下该几何体的形状； 【解】由三视图可知，该几何体是一个长、宽、高分 别为8，6，4的长方体，且在上底面中间挖去了一个直 径为4，高为6的半圆柱..…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 50 （2）［中］请求出该几何体的体积和表面积． 【解】 ，.…………（8分） ．.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 51 23.[2025浙江绍兴质检]（本小题满分10分）某指挥中心 接到海上呼救：一艘货 轮船体漏水，进水速度非常快，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量，货 轮到海岸最近的点的距离， ，指挥中心立即制定三 种救援方案（如图（1））: ①派一艘冲锋舟直接从开往；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点 ，然后再 派冲锋舟开往；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心的点 ，然 后再派冲锋舟开往 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 52 已知冲锋舟在海上航行的速度为，汽车在海岸线上行驶的速度为． 参考数据：，，, 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 53 （1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案最省时.（汽车装卸冲锋舟的时间忽 略不计） 【解】在中，， ， ， ， 方案①用时为 ; 方案②用时为 ；.…………（2分） 方案③用时为 . , 方案③最省时..…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 54 （2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是先 用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点处，点满足 （冲锋舟与汽车速度 的比值），然后再派冲锋舟前往 （如图（2））．请你验证此方案比原来三种方 案更省时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 55 【解】， , . , , , , , 该方案所需时间为 , 此方案比原来三种方案更省时..…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 56 24.[2025浙江绍兴调研]（本小题满分12分）【问题背景】 已知点是半径为的上的定点，连结，将线段绕点 按逆时针方向旋转 得到，连结，过点作的切线，在直线上取点 ，使得 为锐角. 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 57 【初步感知】 （1）如图（1），当 时，____ . 30 【解】由题意得 ， ， 是等边三角形， . 直线是 的切线， ， ， 故答案为30..…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 58 【问题探究】 （2）以线段为对角线作矩形，使得边过点，连结，对角线 ， 相交于点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 59 ①如图（2），当时，求证：无论 在给定的范围内如何变化， 总成立; 【证明】， . ， . 过点作的切线, ， . 四边形 是矩形， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 60 ， . ，, . 又 ， ，.…………（4分） . 四边形是矩形， . ， ..…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ②如图（3），当，时，请补全图形，并求 及 的值. 【解】补全图形如图（1）..…………（8分） 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 62 如图（2）,过点作于点，过点作于点 . 图（2） 在中，, ， 由勾股定理得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 63 ， . 又 ， 点在线段 上， 在中， ..…………（10分） ， ， . ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 在中，， 设,， 由勾股定理得 ，， 在 中， .由（2）①可得 . 四边形是矩形，， ， 在 中， ..…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 $$