18.卷10 九上 期末综合检测卷-【初中上分卷】2025-2026学年九年级全一册数学配套课件（浙教版）浙江专用

数 学 九年级全一册 浙教版 1 2 3 卷10 九上期末综合检测卷 考查内容：九年级上册第1章至第4章 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2025浙江绍兴月考]抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷8次都是正面朝上，则抛 掷第9次( ) C A.正面朝上的可能性大 B.反面朝上的可能性大 C.正面朝上与反面朝上的可能性一样大 D.无法确定 【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷8次都是正面朝上，则抛掷第9次正面 朝上与反面朝上的可能性一样大，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 （第2题图） 2.[2025浙江台州期末]如图，点，分别在的边， 上， 且满足，若，，，则 的长 是( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】，，， ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7 （第3题图） 3.[2025浙江台州路桥区期末]如图，正五边形内接于 ， 连结，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 【解析】在正五边形 中， ， ， ， ．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8 （第4题图） 4.[2025浙江嘉兴期末]如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形 ， 若点的坐标为，则点的对应点 的坐标为( ) A A. B. C. D. 【解析】 以坐标原点为位似中心，在轴右侧作 放大2倍 后的位似图形，点的坐标为， 点的对应点 的坐标为，即 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9 （第5题图） 5.传统文化[2025浙江台州期末]“圆材埋壁”是《九章算术》中的一 个问题，“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯 道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出截面图如图所示，已 知锯口深为1寸，锯道尺（1尺 寸），则该圆材的直径为 ( ) A A.26寸 B.25寸 C.13寸 D.50.5寸 【解析】设圆心为，过作于，延长交于，连结 ， 如图所示，（寸）.设的半径为 寸，由题意 知寸，寸， 在中， ，解得 ， 的直径为26寸，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10 6.新考法[2025浙江金华金东区期末]将抛物线绕原点 顺时针旋转 ，则旋转后抛物线的函数表达式为( ) C A. B. C. D. 【解析】旋转后抛物线的函数表达式为 ，化简为 ．故选C. 上分技巧 抛物线的对称性 将抛物线绕点旋转 后，新抛物线与原抛物线上的每一个点关于原点对称， 将点的横坐标、纵坐标取相反数代入原抛物线表达式可得到新抛物线的表达式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 7.[2024浙江杭州萧山区一模，中]在尺规作图专题复习课上，老师出了一个作图题： 如图，在等腰中， ，，是 的中线，用尺 规作图作出线段的黄金分割点.小方和小程前面的作法都是以为圆心， 为半 径画弧，交于点 ，后面的作法不同． 小方的作法为以为圆心，为半径画弧，交于点，则为线段 的黄金分 割点（如图（1））； 小程的作法为连结并延长交于点，则为线段 的黄金分割点 （如图（2））．下列说法正确的是( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12 图（1） 图（2） A.小方、小程的作法都正确 B.小方、小程的作法都错误 C.小方的作法错误，小程的作法正确 D.小方的作法正确，小程的作法错误 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13 【解析】令是 的中线， ，由作图可知，．在 中， ， ， ，， 点 为线段 的黄金分割点，故小方的作法正确．连结，过点作的垂线，垂足为 ， 如图，，，.又 ， ， ， ，，则， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 ,． ， ，， ， ， ，，, ， ，， 点为线段 的 黄金分割点,故小程的作法正确．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8.[2025浙江宁波慈溪期末，中]二次函数（ 为常数）的图 象过，，， 四个点，下列说法一定正确的是 ( ) D A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16 【解析】，， 抛物线开口向上，对称轴为直 线 ， .若，则， ，故选项A 错误．若，则， ，故选项B错误．若 ，则， ，故选项C错误．若 ,则， ，故选项D正确．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17 （第9题图） 9.[2025浙江金华永康期末，中]如图，平行线， 分别经过 直径的两个端点，为上一点，过点作交 于点，若，之间的距离为16，，，则 的 长为( ) C A. B.21 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18 （第9题图） 【解析】过点作于点，的延长线交于 点，如图. ，，， ， ，， ， , 在 中， 为 的直径， ， ， ，，，即 ， 解得, 在中， ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 （第10题图） 10.[2025浙江宁波质检，难]如图，在锐角三角形 中， ，，，分别是， 边上的高线， 与交于点，则 的最大值为( ) C A.1 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 （第10题图） 【解析】，分别是， 边上的高线， ， ， ， ， ， ， ， .如图，作的外接圆，连结， ， .又， .在 中， 由勾股定理得，.过作于 , 延长交于点.由垂径定理,得， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21 ，， , , ， 当的值最大时，的值最大.当过圆心 时，的值最大，最大值为的值，即， 的最大值为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.[2025浙江台州椒江区校级期末]如图显示了用计算机模拟投掷一枚图钉的试验 的结果．随着投掷次数的增加，“钉尖向上”的频率总在一常数附近摆动，显示出 一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是______． 0.618 【解析】因为随着投掷次数的增加，“钉尖向上”的频率总稳定在0.618附近，所以 “钉尖向上”的频率约为，可以估计概率是 ，故答案为0.618． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 12.[2025浙江杭州滨江区期末]如图，四边形是的内接四边形， 是 的直径，若，则 的度数是______． （第12题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 【解析】如图，连结是的直径，， ， 为等边三角形， 四边形是 的内接四边形， ， ，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 （第13题图） 13.[2025浙江杭州拱墅区期末]如图，将矩形绕点 逆时 针旋转 得到矩形，若点，， 恰好在同一直线 上，且，则 的长为_______． 【解析】设 将矩形绕点逆时针旋转 得到 矩形，， ， ， ，，， 三点共线. ，，，即，解得 或 （舍去），经检验，是方程的解，也符合题意， 的长为 .故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 （第14题图） 14.[2025浙江嘉兴平湖期末，中]如图，已知二次函数 的图象与轴的正半轴交于点，（在 的左 侧），与轴交于点，若 ，则二次函数的表 达式是_ ______________． 【解析】设，则，，， ， 抛物线与轴交于,两点， 设二次函数表达式为 ，把代入得，解得 （舍去），， 二次函数表达式为 ，即 ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 27 15.[2025浙江金华东阳期末，中]如图，在中，直径长为4，弦 于 点，且，点为弧上一点，连结，过点作于点 ，若 ，则 的长为_________． （第15题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 28 （第15题图） 【解析】连结，，，，如图. 直径 长为4， ，， 垂直 平分，， 是等边三角形， ，是 的直径， ， 在 中， .，， 在中，. 在中， , , , 易得， ．故 答案为． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 16.[2025浙江杭州拱墅区校级期末，难]如图，在中， ，把 沿斜边折叠，得到，过点作交的延长线于点 ，过 点作，分别交，于点，，若，，则 __． （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 （第16题图） 【解析】如图所示，连结并延长交于点 ， .由折叠的性质可得 ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， .又 ， .又 ， 四边形为矩形, ， .由折叠的性质可得 ，， 为 的平分线，， ， ， 设，，则 ， ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 31 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.[2025浙江绍兴诸暨校级月考]（本小题满分8分）已知线段,, ，根据以下条 件回答问题． （1）若，，是,的比例中项，求 的长； 【解】是， 的比例中项， ，…………（1分） .…………（2分） ，…………（3分） 的长是 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 32 （2）若，，求,, 的长． 【解】设 ， ，， ，…………（5分） ，解得 ，…………（6分） ,, ．…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 18.[2025浙江金华东阳期末]（本小题满分8分）有4个完全一样的球，分别在球面 写上，2， ，4，放进一个不透明的口袋中． （1）从口袋中任意摸出一个球，求球面上的数是正数的概率． 【解】，2， ，4这四个数中，正数有2，4，…………（2分） 球面上的数是正数的概率为 ．…（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 34 （2）先从口袋中任意摸出一个球，记下数字，不放回，再摸出一个球，记下数 字．用列表或画树状图的方法求两次摸出的数字之和是正数的概率． 【解】画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的数字之和是正数的结果有 ， （，4），，，，（4，），， ，共8 种，…………（6分） 两次摸出的数字之和是正数的概率为 ．…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 35 19.[2025浙江宁波期末]（本小题满分8分）如图，在 的正方形网格中，每个 小正方形的顶点叫做格点， 的三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在 给定网格中画图（保留作图痕迹）． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 36 （1）在图（1）中画，使得与的相似比为 ； 【解】如图（1）所示， 即为所求.（答案不唯一） …………（4分） 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 37 （2）在图（2）中画出的重心 ． 【解】如图（2）所示，点 即为所求． …………（8分） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 38 20.跨学科问题[2025浙江杭州拱墅区期末]（本小题满分8分）如图，一小球从点 处以4米/秒的速度水平抛出，下落过程中水平方向速度不变，忽略空气阻力，点 在下落路线上，点，间的竖直距离（米）与飞出时间 （秒）的平方成正比， 且秒时， 米． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 39 （1）求关于 的函数表达式． 【解】 点,间的竖直距离（米）与飞出时间 （秒）的平方成正比， 设 ．…………（1分） 当秒时， 米， ，…………（2分） ，…………（3分） ．…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 40 （2）已知点的离地高度为3.2米，求小球的落地位置点与点的水平距离 ． 【解】，, ． ，…………（5分） 秒,…………（6分） （米）．…………（7分） 答：小球的落地位置点与点的水平距离 为3.2米．…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 41 21.[2025浙江湖州四中期中]（本小题满分8分）如图，在 中， ，点在圆上，交圆于点， 与圆交于点，交于点，， 为圆 的直径，于 ． （1）求证： ； 【证明】， ，…………（1分） .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 42 （2）若平分，求 的度数； 【解】连结，，作于 ，如图. ， . ， ， .…………（3分） ， ， ， . ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 43 ， ， ， .…………（4分） 平分， . ， .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （3）若 ，求图中阴影部分的面积． 【解】， . ，， .…………（6分） , ， ， . ， ， 易得， ，…………（7分） ， ， ．…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 45 22.[2025浙江台州温岭一模]（本小题满分10分）已知关于 的二次函数 ． （1）若二次函数的图象经过点 ，求抛物线的对称轴． 【解】的图象经过点， , ， …………（2分） 抛物线的对称轴是直线 ．…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 46 （2）若点，均在抛物线上，则___ （填“ ”“ ”或“ ”） 【解析】抛物线的对称轴是直线 抛物线 的开 口向上， 抛物线上的点离对称轴越近，函数值就越小． ，．故答案为 ．…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 47 （3）［中］记，当时，始终成立，求 的取 值范围． 【解】令 当时，始终成立， 当时， 恒成立． 又 抛物线的对称轴为直线， 分以下情况讨论： ①当时，．， 当时，随 的增大而减 小, 当时，,, 此时无解．………… （7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 48 ②当时， ． ， , , 此时- ．…………（8分） ③当-时，．， 当时，随 的增大而增 大, 当时，,， 此时无解．………… （9分） 综上，的取值范围为- ．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 49 23.综合与实践[2024浙江金华东阳期末]（本小题满分10分）在综合实践课上，小 明想做一些矩形木板零件，他找到了一些木板余料. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 50 （1）如图（1），已知三角形木板，边，高 ，小明 要利用它做一个正方形零件，使正方形零件的一边在 上，其余两个顶点 分别在，上．求正方形零件 的边长. 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 51 【解】设正方形零件的边长为，与交于点 . 四边形是正方形， . 是的高，也是 的高. ， ， ， ，…………（1分） 解得， 正方形零件的边长是 .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 52 （2）［中］如图（2），已知三角形木板，边，高 ，小 明要利用它做一个矩形零件，使矩形零件的一边在 上，其余两个顶点分 别在，上．求矩形零件面积的最大值.（用含， 的代数式表示） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 53 【解】设,与交于点 ， 四边 形是矩形，， . ，， , ，…………（3分） ， .………… （4分） ，…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 54 当时，有最大值，为， 矩形零件 面积的最大值是 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （3）［中］如图（3），已知四边形木板，测得 ， ，， ，小明要利用它做一个矩形零件 ，使矩形零件的一边在上，其余两个顶点分别在， 上．求矩形零 件 面积的最大值. 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 56 【解】延长与交于点，过点作于点，交于点 ， 交于点 ，如图. ， 是等边三角形. ， ， .…………（7分） 四边形是矩形， ， 易得是等边三角形.设 ，则 ， 易得 ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 57 . …………（8分） ，…………（9分） 当时，有最大值，为， 矩形零件 面积的最 大值为 ．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24.探究性问题[2025浙江台州路桥区期末]（本小题满分12分）已知 内接于 ，，，点是上的动点（点不与点 ， ，重合），连结，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 59 【特例感知】 （1）如图（1），当点在上时，求的度数.（用含 的式子表示） 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 60 【解】， ， . …………（1分） 四边形 是圆内接四边形， ，…………（2分） . …………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 61 【变式求异】 （2）如图（2），当点在上时，过点作于点 ． 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 62 ①［中］请探究线段，和 之间的数量关系，并证明. 【解】．证明：如图（1），在上截取，连结 . 图（1） ，， ， ，…………（4分） ．又， ， ．…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 63 ②［中］若，，，则 ___. 6 【解析】， ． 在上截取,连结 . 由①得，， ， ， ． ， ，与同底等高， ，故 答案为6.…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 64 【拓展应用】 （3）［难］若， ，，过点作于点，求 的长． 图（2） 【解】如图（2），当点在上时，在上截取，连结 ， 过点作于点 ． ， ， 为等边三角形， . ， . ，， ，…………（8分） 在中，， ．由 （2）知，，. ………… （9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 65 图（3） 如图（3），当点在上时，延长至点，使得 ，连结 ，过点作交延长线于点 ． 四边形 是圆内接四边形， , . ，， ， ， . ， ． ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 66 ， . ，， ．…………（10分） 在中，,， ， ， ．…………（11分） 综上，的长为或 ．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 $$