5.卷2 九上 第1章 二次函数 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级全一册数学配套课件（浙教版）浙江专用

数 学 九年级全一册 浙教版 1 2 3 卷2 九上第1章提优验收卷（B卷） 考查内容：二次函数 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2025浙江杭州上城区期中]若关于的二次函数 的图 象过原点，则 的值为( ) B A. B.1 C. D.0 【解析】把代入得，解得 或 ，而，所以,所以 的值为1．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2025浙江温州鹿城区月考]关于二次函数 的图象与性质，下 列结论错误的是( ) D A.图象开口向下 B.当时，有最大值 C.当时，随的增大而减小 D.图象的顶点坐标为 【解析】，， 图象开口向下，顶点坐标为 ，当时，有最大值，当时，随 的增大而减小，故A、B、 C选项正确，不符合题意，D选项错误，符合题意，故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 3.[2025浙江温州瓯海区期中]在平面直角坐标系中，若二次函数 的图象与轴只有1个交点，则 的值为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 【解析】 二次函数的图象与 轴只有1个交点， ， ．故选D． 上分总结 二次函数与方程、不等式之间的关系 二次函数与方程、不等式之间有如下关系:①一元二次方程 的根就是抛物线与 轴交点的横 坐标;②一元二次方程 的根就是抛物线 与直线的交点的横坐标;③当 时，不等式 （或）的解就是二次函数 的函 数值大于0（或小于0）时所对应的 的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.[2025浙江宁波鄞州区月考]下列三个问题中都有两个变量：①把一个长 、 宽的矩形的长减少，宽不变，矩形的面积（单位：）随 的变化而 变化；②一个矩形绿地的长为，宽为，若长和宽各增加 ，则扩充后 的绿地的面积（单位：）随的变化而变化；③某长方体的体积为 ， 长方体的高（单位：）随底面积（单位：）的变化而变化，则关于 的 函数关系正确的是( ) B A.①是二次函数，②是二次函数，③是二次函数 B.①是一次函数，②是二次函数，③是反比例函数 C.①是二次函数，②是二次函数，③是一次函数 D.①是反比例函数，②是二次函数，③是一次函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 【解析】根据题意可知三个函数关系式分别为 ， ，， 是一次函数，②是二次函数，③是反 比例函数．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 5.[2025浙江杭州期中]已知二次函数 的部分自变量和函数 的对应值如下表： … 0 2 … … 0 - 0 12 … 则下列各点在该函数图象上的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 【解析】将，；，；， 代入二次函数 ，得 .当 时，， 点 不在该函数图象上；当 时，， 点 在该函数图象上；当 时，， 点不在该函数图象上；当 时， ， 点 不在该函数图象上.故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 6.新考法[2025浙江衢州期中]小红同学在解决问题“已知，求 的最小值” 时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若 ， 则 ( ) 小红的思路： 设， ， 则 . ， ， 的最小值为 ． C A.有最小值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】设， ，则 ，， 有 最小值 ．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第7题图） 7.[2025浙江杭州月考，中]如图，抛物线 与轴只有一个公共点 ， 与轴交于点 ，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平 移4个单位长度得到抛物线 ，则图中两个阴影部分的面积 和为( ) D A.4 B.2 C.6 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点 ，连 结，，如图．，， ， 抛物线是轴对称图形， 图中两个阴影部分 的面积和即为四边形的面积.，， 四边形 为平行四边形， ．故选D． 上分技巧 巧用二次函数的对称性求面积 求与二次函数图象相关的不规则图形面积时可以利用抛物线的对称性来解决.本题 连结， ，根据二次函数图象的对称性，把阴影部分的面积转化为平行四边 形 的面积即可求解． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 8.[2025浙江嘉兴质检，中]某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期 间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的 ．经试销 发现，销售量（件）与销售单价 （元/件）符合一次函数关系： ．有下列结论：①销售单价可以是90元/件；②该服装店销售这种服 装可获得的最大利润为891元；③有两个不同的销售单价满足该服装店销售这种服 装获得的利润为500元．其中正确结论的个数是( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】 每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的 ， ， ，故①错误.设服装店销售这种服装可获得 的利润为 元，则 ， 当时，随的增大而增大.， 当时， 的值最大，最大 值为，故②正确.当时， ， 解得，（不合题意，舍去）， 只有一个销售单价满足题意，故③ 错误，不符合题意．故正确的个数为1，故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 （第9题图） 9.[2025浙江杭州萧山区月考，中]如图，在平面直角坐标系 中，抛物线与轴只有一个交点 ，与平 行于轴的直线交于，两点，若，则点到直线 的 距离为( ) D A. B.2 C. D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 【解析】 抛物线与轴只有一个交点，.设点到直线的距离为 ， 则，．当时，．又， 是方程 的两个根，,， ， ，即， , ，， 点到直线 的距离为4，故选D． 上分点拨 二次函数图象与 轴交点横坐标的常见结论 若，是二次函数图象与 轴两个交点的横坐标，则 ， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 10.[2025浙江宁波镇海区质检，难]如图，正方形的顶点 ， 在抛物线上，点在轴上.若， 两点的横坐标分 别为， ，则下列结论正确的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 【解析】如图，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和 ， 则 .将， 两点的横坐标代入函数表达式得， 点坐标为，点坐标为， ， ，， 四边形 是正方 形，， ， ， . 在和 中， ， ， ，.又 ， ，即， ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.[2025浙江杭州期中]如果抛物线开口向下，那么 的 取值范围是_______． 【解析】 抛物线开口向下， ，解得 ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 12.开放性问题[2025浙江瑞安期中]请写出一个对称轴为直线 ，且经过点 的抛物线表达式：______________________________． （答案不唯一） 【解析】根据题意，设抛物线表达式为，将代入得 ， 解得， 抛物线表达式可以为，故答案为 （答案不唯一）． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 13.[2025浙江湖州长兴月考]抛物线过四个点 ， ，，，若,,,四个数中有且只有一个大于零，则 的取值范围为_ _________． 【解析】抛物线的对称轴为直线， 点 和点 关于对称轴对称， ,，，， 中有且只有一个大于零， .若，则抛物线开口向下，则， 必小于0，不合题意， ,,，解得．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 14.[2025浙江绍兴月考，中]广宁桥是绍兴古城内“水陆之冲” 的交通节点，自北宋重建至今已有近千年的历史.如图，正常 水位时，水面宽20米，广宁桥（桥拱呈抛物线形）拱顶距离水 平面4米，建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为 6.76 【解析】设该抛物线的表达式为，把代入可得 ，解 得，故此抛物线的表达式为.当 时， ，此时水深（米）， 当桥下水深超过 6.76米时，会影响过往船只顺利航行．故答案为6.76． 保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当桥下水深超过_____米 时，会影响过往船只顺利航行． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 15.[2025浙江衢州期中]在“探索二次函数的系数，， 与图象的关系”活动中，老师给出了四个点：，，， ．同 学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表 达式，则 的最大值等于___． 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 【解析】 点，，的纵坐标相同， 抛物线不会同时 经过，，三点.当时， ,分三种情况 讨论，如图所示,抛物线可能经过点，，或者点， ， 或者点，，.观察图象可知，当时，经过 ， ，三点的抛物线的的值最大.把，， 代入得 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 抛物线的表达式为 ，当 时，，故 的最大值等于2.故答案为2． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16.[2025浙江宁波镇海区月考，偏难]将函数的图象位于 轴下方的 部分沿轴翻折至其上方后，所得的即是新函数 的图象． （1）抛物线与轴的两个交点分别为和，则 ___； 1 【解析】令，解得或 抛物线与轴的交点分别为 和，, .故答案为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 （2）若新函数图象与直线有两个交点，则 的取值范围是__________ _________． 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 【解析】由（1）知，函数图象与轴交点坐标为， ，如图.当直线 经过点时，将代入，得 ，解得 ；当直线经过点时，将代入，得 ，解得 ， 当时满足题意．当直线与抛物线 只有1个交 点时，令，整理得 ， ，解得， 当时满足题意.综上所述， 的取值范 围为或，故答案为或 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 17.[2025浙江杭州拱墅区期中]（本小题满分6分）如图，已知抛物 线经过点 ． （1）求 的值； 【解】把代入得 ，解 得 .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）当时，求 的取值范围． 【解】由（1）得 ， 抛物线开口向下，对称轴为直线 ,有最大 值4.…………（4分） 当时，;当时，， 当时， 的取值范围是 ．…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 18.[2025浙江宁波调研]（本小题满分6分）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ． （1）当 时，求抛物线的顶点坐标； 【解】将代入得 ，…………（1分） 顶点坐标为 .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （2）已知和是抛物线上的两点．若对于， ， 都有，求 的取值范围． 【解】, 抛物线的对称轴为直线 ,抛 物线过原点.,,关于直线 的对称点为 .分两种情况：当时，如图（1），此时 ， ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 当时，如图（2），此时，解得 . 综上，的取值范围是或 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 19.[2025浙江嘉兴期末]（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于点，且过点， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （1）将抛物线向左平移个单位，当新抛物线经过点时，求 的值； 【解】把，代入 ， 得解得 抛物线的函数表达式为 ， …………（2分） 对称轴为直线.令点关于对称轴的对称点为，则 ， . 抛物线向左平移个单位后经过点， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （2）若是抛物线上位于第一象限的一点，且，求点 的坐标． 【解】令,则,.设直线的表达式为，把 ， 代入 得 解得 直线的表达式为 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 过点作轴交于点 ，如图, 则点的纵坐标为2，把代入，得 ， 解得 ， ， ， . 过点作轴交于点，设点，则 ， ， ，, .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 令-，解得或2， 当时，；当 时，，或 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20.新情境[2025浙江温州鹿城区月考]（本小题满分10分） 2024年巴黎奥运会跳水女子单人10米决赛中，我国运动员 获得金牌.如图，建立平面直角坐标系 ．如果某运动员 从点 起跳后的运动路线可以看做抛物线的一部分， 从起跳到入水的过程中该运动员的竖直高度（单位： ） 与水平距离（单位：）近似满足函数关系式 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 （1）在平时训练完成一次跳水时，该运动员的水平距离与竖直高度 的 几组数据如表，则 的值为____，满足的函数关系式为________________________； 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 【解析】由表格可知，抛物线过点，，， ， ， 解得 .故答案为 ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 （2）比赛当天的某一次跳水中，该运动员的竖直高度与水平距离 近似 满足函数关系式: ，在（1）的情况下，记该运动员训练的入 水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，则___ ； （填“ ”“”或“ ”） 【解析】对于,当时， ， 解得或（不合题意，舍去）， . 对于，当时，，解得 或（不合题意，舍去）， ， ，故答案为 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 （3）在（2）的情况下，该运动员起跳后到达最高点开始计时，若点 到水面的 距离为，则该运动员到水面的距离与时间之间近似满足 ， 如果该运动员在到达最高点后需要 的时间才能完成极具难度的动作，请通过 计算说明，当天的比赛中，该运动员能否成功完成此动作？ 【解】 ， ，， .…………（8分） 当时， .…………（9分） 答：当天的比赛中，该运动员能成功完成此动作．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 21.[2025浙江杭州萧山区期中]（本小题满分10分）如图，对称轴 为直线的抛物线与轴相交于， 两点，其 中点的坐标为 ． （1）求该二次函数表达式. 【解】 抛物线的对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为 ． 将点和点 的坐标代入抛物线的表达式得 解得 …………（1分） 抛物线的表达式为 .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 （2）已知点为抛物线与 轴的交点． 【解】 将代入得 ， 点的坐标为， ．…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 ①［中］若点在抛物线上，且，请求出点 的坐标. 【解】 点的坐标为，．设点的坐标为，则点 到的距离为 ． ，，即 ， 解得 ．…………（5分） 当时， ， 点的坐标为 ；…………（6分） 当时， ， 点的坐标为 ． 点的坐标为或 ．…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 ②［中］设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段 长度 的最大值及点 的坐标． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 52 【解】如图所示.设所在直线的表达式为，将点 的坐 标代入得，解得， 所在直线的表达式为 ．…………（8分） 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 当时，有最大值，最大值为 ，（9分） 此时 ， ．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22.新定义[2025浙江诸暨校级月考]（本小题满分12分）定义：若一个函数图象上 存在纵坐标是横坐标的 倍的点，则称该点为这个函数图象的“逆倍点”． （1）若点是二次函数图象上的“逆倍点”，则 _______． 0或 【解析】将点的坐标代入二次函数表达式得，解得或 ， 故答案为0或 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 54 （2）若点是二次函数 图象上唯一的“逆倍点”，求这个二次 函数的表达式. 【解】 点是二次函数 图象上唯一的“逆倍点”，即抛物线 与直线的唯一交点为（，2）， 方程 有两个相同的根，为 ，…………（5分） 即方程可写为 ， ，，， 二次函数的表达式为 .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 55 （3）［中］若二次函数，是常数，的图象过点 ， 且图象上存在两个不同的“逆倍点”， ，且满足 ，，如果，请求出 的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 56 【解】 二次函数，是常数，的图象过点 ， ， .…………（8分） 图象上存在两个不同的“逆倍点”，， ， ，， ， ， ，是方程的两个实数根， ， .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 57 ，， ， ， .…………（10分） ，或， 或 ，…………（11分） ，， ， ， ．…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $$