卷10 第二十四章 圆 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（人教版）

数 学 九年级上册 人教版 1 2 3 卷10 第二十四章提优验收卷（B卷） 考查内容：圆 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分,共30分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.［2025河北石家庄长安区月考］小明在半径为5的圆中测量弦 的长度，下列测 量结果中一定是错误的是( ) D A.4 B.5 C.10 D.11 【解析】 半径为5的圆，直径为10， 在半径为5的圆中测量弦的长度， 的取值范围是， 弦 的长度可以是4，5，10，不可能为11.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 （第2题图） 2.［2024吉林中考］如图，四边形内接于．过点 作 ，交于点．若 ，则 的度数是 ( ) C A. B. C. D.150 【解析】， 四边形 内 接于， ．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.［2025湖南长沙月考］下列说法中，正确的是( ) B A.同心圆的周长相等 B.面积相等的圆是等圆 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.平分弧的弦一定经过圆心 【解析】 选项 分析 判断 A 同心圆半径不相等，所以周长不相等 不符合题意 B 面积相等的两个圆，半径相等，所以是等圆 符合题意 C 只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等 不符合题意 D 经过弧中点的弦有无数条，不一定都经过圆心 不符合题意 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 （第4题图） 4.［2025湖北武汉月考］如图，边长为4的正方形的顶点 在 上，顶点，在内，的延长线交于点 ，则图中阴 影部分的面积为( ) A A. B. C. D. 【解析】连接，如图. 四边形 是正方形， ， ，， 图中阴 影部分的面积为 ， 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 （第5题图） 5.［2025重庆巴蜀中学月考］如图，是的直径，， ， 是的弦.若 ，，则弦 的长度为( ) D A. B. C.3 D. 【解析】如图，连接是的直径，，是 的弦， ， ， .故选D. 上分技巧 利用直径作辅助线 构造直径所对的圆周角是常作的辅助线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第6题图） 6.跨学科问题［2025天津南开中学月考］平底烧瓶是实验室中使用 的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热.如图， 平底烧瓶的截面图可以近似看作由去掉弧与弧 ，并连接 后与矩形组合而成的图形，其中，若 的半径 为25，，， ，则该平底烧瓶的高度为 ( ) D A.20 B.40 C.60 D.80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 【解析】连接，，过点作，交于点，交于点 ， 如图.，，， ， 的半径为25， 在和 中， ，由勾股定理得 ， 上分心得 利用垂径定理解题 一般先构造出“垂径定理三角形”，再根据勾股定理求解. ， 该平底烧瓶的高度为 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.新情境［2025陕西渭南月考，中］圆形螺母（如图（1））是生活中常见的机械 零件，某工人师傅把直尺、直角三角尺和圆形螺母按如图（2）所示的方式放置于 桌面上，直尺的上边缘、直角三角尺的斜边分别与螺母的外圆相切于点, ，直角 三角尺的较短直角边与直尺的上边缘重合， ，经测量， ，则该圆形螺母外圆的直径是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】设圆形螺母的圆心为，连接,，如图. ， ,与都相切，，平分 ， ， .在 中， ,， ， 即该圆形螺母外圆的半径为， 该圆形螺母外圆的直径是 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第8题图） 8.［2025四川成都月考，中］如图，正五边形中， ， 连接，点在线段上（不与，重合），，， 将五 边形分成面积为，，，， 的五部分，则下列式子的值不 能确定的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】的值等于的面积. 五边形 为正五边形， ， ， 的面积是能确定的，故A不符合题意. 由正五边形的性质易得，则与之间的距离一定. ， 的值可以确定.又 梯形面积一定， 的值可以确定，故B不符合 题意.由上可知的值可以确定，故D不符合题意.由题图得，当点 靠近 点时的值变小，当点靠近点时的值变大， 的值不能确 定，故C符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 （第9题图） 9.新考法［2025浙江杭州月考，中］如图，为的直径， 为 直径上方的上的一动点,且不与，重合，于 ， 的平分线交于，连接，则当运动时，点 的位置 ( ) B A.随点 的运动而变化 B.不变 C.在使 的劣弧上 D.无法确定 【解析】连接，如图.是的平分线， .又 ，，， .又 ，， 点是线段 的垂直平分线和 的交点， 当运动时，点 的位置不变.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 （第10题图） 10.［2025山东青岛二中月考，难］如图，已知直线交 于 ，两点，是的直径，点为上一点，且 平分 ，过作，垂足为，且， 的直 径为20，则 的长等于( ) B A.8 B.12 C.16 D.18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】连接，过作，垂足为，如图. ， 平分， ， ， ， ， 四边形 为矩形， ，， 设 ，则 的直径为20，， .在 中，由勾股定理得,即 ，解 得，，舍去， ， ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.［2025湖南邵东期中］如图，在中，， ，则 ____. （第11题图） 【解析】， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 （第12题图） 12.［2024江苏徐州中考］如图，是的直径，点 在 的延长线上，与相切于点，若 ，则 ____ . 35 【解析】如图，连接，则 ， ， ，故答案为35. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 （第13题图） 13.［2024江苏镇江中考］如图，四边形 为平行四边形，以 点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接 ， ， ，则的长____（结果保留 ）. 【解析】 四边形是平行四边形， .由题 意得，是等边三角形， ， .故答案为 . 上分警示 弧长的计算 一条弧所对的圆心角是 ，半径为，那么这条弧的长度是，而不是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14.分类讨论［2025浙江衢州月考］在中，为直径，，点，点 均在上，，将点沿直线翻折，翻折后点的对应点为点 ，连 接.若，则 的长为_____________. 或 【解析】设与交于点，连接为直径， ， ，，或12，或6， 或 7，， ， 或 .故答案为或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 15.［2025江苏南京建邺区月考，中］若过平面直角坐标系中的三个点 ， ，能确定一个圆，则 ___. 4 【解析】， 设直线的解析式为.把 代入，得 ，， 当时，， 当 时， 过平面直角坐标系中的三个点，， 能确定一个圆，故答案为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 16.［2025湖北黄冈月考，难］如图，是的直径，，点 在 上， ，是的中点，是直径 上的一动点，则 的最小值为___. 4 【解析】如图，作点关于的对称点，连接，，， ， 与的交点即为使的值最小时的点 ，此时 ，是 的中点， .由对称性，得 ， .又 ，是等边三角形， ， 故答案为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.［2025江苏苏州姑苏区期中］（8分）如图，中，弦与 相交于点，，连接， .求证： （1） ； 【证明】，，，， ………… （4分） .…………（5分） 【思路分析】由推出，进而推出，即可得到 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （2） . 【解】，， ， ，…………（7分） .…………（8分） 【思路分析】证明 即可得出结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 18.［2025陕西西安雁塔区一模］（10分）如图，是的直径，弦 于 点，点在上， . （1）求证： ； 【证明】，且 ， ，…………（2分） .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 （2）若， ，求 的直径. 【解】如图，连接 ， .…………（5分） ，， .…………（7分） ， 为等边三角形，…………（9分） ， 的直径为6.…………（10分） 【刷有所得】垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 19.［2025江苏无锡月考］（10分）如图，在平面直角坐标系中， 有，， 三点. （1）在图中画出经过，，三点的圆弧所在圆的圆心 的位 置； 【解】如图，点 即为所求.…………（3分） 【思路分析】利用网格画出线段和线段的垂直平分线，交点即为点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 （2）圆心 的坐标为______； 【解析】由图可知，点的坐标为.故答案为 .…………（6分） 【思路分析】根据图中点的位置即可得出点 的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （3）点坐标为，连接，判断直线与（1）中 的位置关系，并说 明理由. 【解】直线与相切.理由：如图，连接， .由勾股定理得 ，， ，………… （8分） ， ,即为的半径， 直线 与 相切.…………（10分） 【思路分析】连接，，利用勾股定理得出 的各边长，进而得出 ，即可得直线与 相切. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 20.［2025河北石家庄四十一中月考］（12分）如图， 是半 圆的直径，是半圆上不同于，的一点，是 的内 心，的延长线交半圆于点，连接，， . （1）求证： ； 【证明】是 的内心， , ，…………（2分） , .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）［中］若，，求 的长. 【解】如图，过作于点， 点为 的中点， 为直径， ， 是等腰直角三角形， .…………（8分） ，即 ， ， 是等腰直角三角形， ， ，…………（11分） .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 【关键点拨】本题主要考查了圆周角定理的推论、垂径定理、等腰直角三角形的 判定与性质、三角形的内心的性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识是解 题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 21.［2025山东济南月考］（12分）如图，在中， ， ，以为直径作，点为的中点，连接交于 点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （1）求证：点为 的中点； 【证明】如图，连接为斜边 的中点, .又 ， 为等边三角形，（2分） .又， 是等边三角 形， ,为中点， 为 的中点.（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （2）［中］过点作，垂足为，延长交于点，求证：是 的切线； 【证明】由（1）得，为半径， 是 的切线.（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （3）［难］在（2）的条件下，若，求 的长. 【解】如图，作交于为的中点，为 的中位线， ， .（9分） ,即，是的切线.,都是 的切线, ，,, .又 ， ， . （12分） 【刷有所得】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 22.探究性问题［2025黑龙江哈尔滨南岗区月考］（14分）如图，在中， 为 直径，弦于点，连接, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 【初步探究】 （1）［中］如图（1），求证： ； 【证明】是直径，弦， ， .又， ，（2分） .（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 【深入探究】 （2）［中］如图（2），连接，过点作于点 ，求证： ； 【证明】如图（1），连接是直径，， ， ，，即 . （6分） 由（1）可得，，， ， ， .（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 【拓展延伸】 （3）［难］如图（3），在（2）的条件下，点在上，，连接 ， ，，求 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 【解】如图（2），连接，，， .由（2）可知， ，.，. ， ， ， .…………（11分） 是直径， .在 中， ， ， .在中， ， .在 中， .由（2）可得， ，的长为 .（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 【关键点拨】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握垂径定理、圆周角定理的推 论、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 $$