卷9 第二十四章 圆 上分专题（五） 圆与辅助线-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（人教版）

数 学 九年级上册 人教版 1 2 3 编者按：先做基础诊断（A卷）检测薄弱，再到对点上分处进行错题对应练习，补 足短板，最后做提优验收（B卷）综合提升 4 上分专题（五） 圆与辅助线 5 类型1 添半径，得等腰 类型2 构造直径所对的圆周角 类型3 遇 圆周角，构造直径 类型4 圆上多点，构造圆内接四边形 类型5 有弦的中点时，构造三角形中位线 类型6 有切线，连圆心与切点，得垂直 类型7 连半径，证垂直，得切线 类型8 作垂直，证半径，得切线 类型9 遇内心，作边的垂线，构造直角三角形 类型10 构造隐圆 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 类型1 添半径，得等腰 （第1题图） 1.如图，是的直径，是延长线上一点，点在 上，且，的延长线交于点，连接 .若 ，则 的度数是____. （第1题图） 【解析】连接，如图.， ， ， ， ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7 （第2题图） 2.如图，，是的直径，弦，弧的度数为 ， 则 的度数为____. （第2题图） 【解析】连接，如图. 弧的度数为 ， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8 类型2 构造直径所对的圆周角 （第3题图） 3.［2024广西桂林秀峰区二模］如图，是的直径，点， ， 在上，若 ，则 的度数是( ) A A. B. C. D. （第3题图） 【解析】连接，如图.是 的直径， ， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9 4.如图，是半圆的直径， ，点在上，则 的度数是( ) B （第4题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10 【解析】连接，如图.是半圆的直径， ， 四边形是圆内接四边形， ， .故选B. （第4题图） 上分心得 在圆中构造直角三角形 直径所对的圆周角是直角，据此可作辅助线构造直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11 5.［2024福建泉州模拟］如图，已知的直径为8，，， 三点在 上，且 ，则 长为_____. （第5题图） 【解析】如图，作直径，连接， .由圆周角定 理的推论得， ， ， ，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 12 类型3 遇 圆周角，构造直径 6.［2024河北唐山二模改编］如图，经过原点和点， 是的一条弦， ，则点 的坐标为( ) C A. B. C. D. （第6题图） 【解析】连接，如图所示.由 可得为 的直 径. , ， ， ，， （负值已舍去）， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 13 7.［2024湖南邵阳期末］如图，有位同学把直角三角板的直角顶 点 放在破损的圆形玻璃的圆弧上，两直角边与圆弧分别交于点 ，，量得， ，他就知道圆形玻璃的半径 是___ . 5 （第7题图） 【解析】如图，连接 ， 是圆的直径. ，，， 圆形玻璃的半径为 ，故答案为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14 类型4 圆上多点，构造圆内接四边形 8.［2025黑龙江牡丹江月考］如图，点，，，，都在 上，是直径，， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. （第8题图） 【解析】如图，连接， ， 是的直径， ， 四边形为 的内接四边形， ， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 15 9.［2024山东菏泽期末］如图，点，，，，都是 上的点， ， ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. （第9题图） 【解析】连接，，如图. 点，，，都是上的点， 四边形内接于， ， ， 点，，， 都是 上的点， 四边形内接于， ， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16 10.如图，在中，，经过 顶点 ，，与，分别交于点，.求证： . （第10题图） 【证明】如图，连接， 四边形 内接于， 易得， ， ，， ，即 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17 类型5 有弦的中点时，构造三角形中位线 11.如图，是的直径，，是上的两个动点（点，不与， 重合）， 在运动过程中弦的长度始终保持不变，是弦的中点，过点作 于点 .若，，则的最大值为___，此时 的长度为___. 5 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18 【解析】如图，延长交于，连接 . ，，， 当为直径时， 的值 最大，为，此时 ， ， .故答案为5，4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19 12.如图，在半径为5的扇形中， ，点是弧 上的一个动点 （不与点，重合），，，垂足分别为， . （1）当时，求线段 的长. 【解】， ， ， ，，即线段 的长为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20 （2）［中］在 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长 度；如果不存在，请说明理由. （第12题图） 【解】存在，保持不变.连接，如图. ， ，. ， ，和分别是线段和 的中点， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21 类型6 有切线，连圆心与切点，得垂直 13.［2025河南安阳期中］如图，在中， ， 为 边上一点，以为直径的半圆与相切于点.若 ， ，则半圆 的半径为___. 6 （第13题图） 【解析】连接，如图所示.与半圆相切于点 ， .设半圆的半径为，则， .在 中，，解得， 半圆 的半 径为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14.［2025北京丰台区月考］如图，四边形是 的内接四边 形，是直径，是的中点，过点作的切线交 的延长 线于点 . （1）求证： ； 【证明】如图，连接切于，是 的中 点，， ， ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 （2）连接，若，，求 的长. 【解】如图，设与交于点是的直径， ， ，，， ， ，，，.设 ， ，，解得 ， ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 24 类型7 连半径，证垂直，得切线 15.［2025福建福州仓山区月考］如图，在中， ， 以为直径的与交于点，过作，交 的延 长线于，垂足为.求证：直线是 的切线. 【证明】连接，如图.， ， ，， ， 为半径， 直线是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 25 16.如图，以的边为直径的半圆分别交， 于点 ，，已知，过点作于点.求证： 是半圆 的切线. 【证明】连接为半圆 的直径， ，， ， ，，是 的中位线， ，是半圆的半径，是半圆 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 26 类型8 作垂直，证半径，得切线 17.如图，在中， ，的平分线交于 ， 以为圆心，长为半径作，求证：是 的切线. （第17题图） 【证明】过点作于，如图所示. ， 平分，，， 点 在 上，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 27 类型9 遇内心，作边的垂线，构造直角三角形 18.［2024山西太原期末改编］如图，点为 的内心， ，点，分别为，上的点， ，且 ，则 的度数是( ) A A. B. C. D.无法判断 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 28 （第18题图） 【解析】连接，过点作于，于 ，如 图. 点为的内心，是 的平分线.又 ，，.在和 中， ， .在四边形中， ， .又 ， ，即 ， ，. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 29 19.［2024江苏泰州姜堰区期中］如图，在中， ， ， ，点，分别是的内心和外心，则 ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 30 【解析】连接，，，过点作于点 ，作 于点，作于点，如图. ， ，，为 的外 心，为 的内心， ， ， ，， 四边形 为正方形，，， ， ，， ， ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 31 类型10 构造隐圆 （第20题图） 20.［2024安徽合肥期末节选］如图，在矩形中， ， ，是矩形内部一动点，且满足 ，则线段 的最小值是___. 2 【解析】 四边形是矩形， ， ， ， ， 点在以 为直径 的圆上.如图，以为直径作，连接，交于，此时 的值最小.， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 32 21.［2025浙江杭州萧山区月考，难］如图，四边形 中， ， ，则 ____. （第21题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 33 【解析】， 点，，在以 点为圆心， 为半径的圆上.如图，作 .由圆周角定理可得 ， .设 ，则 ， ， ， ，即 ，解得 ，即 .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 34 $$