卷9 第二十四章 圆 对点上分（类题推送）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（人教版）

数 学 九年级上册 人教版 1 2 3 第二十四章 对点上分（类题推送） 基础上分 练透考点 4 上分点1 圆的相关性质 上分点2 垂径定理及其推论 上分点3 切线的性质与判定 上分点4 内心与外心 上分点5 正多边形与圆 上分点6 弧长与扇形面积 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 编者按：先做基础诊断（A卷）检测薄弱，再到对点上分处进行错题对应练习，补 足短板，最后做提优验收（B卷）综合提升 上分点1 圆的相关性质 （弧、弦、圆心角、圆周角、点和圆的位置关系） 1.［2024江苏常州天宁区期末］如图，在中， ，若 ，则 的度数是( ) D A. B. C. D. 【解析】， ， ， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7 2.［2024吉林白山期末］如图，与交于，，， ， ， ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 【解析】 ， ， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8 3.［2024广东揭阳揭东区一模］如图，在中， ，则下列结论： ；；； ，其中正确的是______ ____（填序号）. ①②③④ 【解析】在中，，，故①正确； ， ，即，故④正确；由④得 ，故②正确；由 ④得 ，故③正确.故答案为①②③④. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9 4.［2025浙江宁波海曙区月考］如图，是半圆的直径，弦， 相交于点 ， ，是的中点，则 __. 【解析】是半圆的直径， ， ，是 的中点， ， ， ， ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10 5.［2024安徽芜湖期末］如图（1），已知为的直径，为 上一点， 于，为弧的中点，连接，分别交，于点和点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11 （1）求证： . 【证明】连接，如图（1）.∵AB为的直径， ， ， ， 为弧的中点，， ， ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 12 （2）［中］如图（2），其他条件不变，若，连接，求证： . 【解】连接， ，如图（2）.∵∠CFG=∠CGF， ，.又 ， ，，， . ，， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 13 上分点2 垂径定理及其推论 6.［2025江苏常州月考］如图，是的直径， 是非直径的 弦，与相交于点，则下列条件中不能得到 的是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】A选项，，是的直径，是非直径的弦， ， 故A不符合题意；B选项，根据无法判断 ，故B符合题意；C选 项，，是的直径，是非直径的弦， ，故C不符合题 意；D选项，，是的直径，是非直径的弦， ，故D 不符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14 7.［2024山东临沂期中］已知的半径为5，是的弦，点在弦 上，若 ，，则 ( ) C A. B. C. D. （第7题图） 【解析】如图，过点作于点，连接 ，则 ，， ， ，.在 中，根据勾股定 理得.在 中，根据勾股定 理得 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 15 8.［2025山西太原月考］如图（1）所示的装饰盘由圆盘和支架组成，它可以看成 是如图（2）所示的几何图形.已知，，垂足为点 ， ，垂足为点，，的半径，则圆盘到桌面 最 近的距离是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16 （第8题图） 【解析】如图，连接，，过点作于点，交 于点 ，交于点，，， 四边形是平行四边形. ， 四边形 是矩 形，，.， ， ， ， ， ， 圆盘到桌面最近的距离是 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17 9.［2024安徽合肥模拟］如图，的直径，弦 于点，连接，若，则 的长是___. 3 （第9题图） 【解析】连接，，，如图. ， ，，垂直平分 ， .又， 为等边三角形， ， .又， 为等边 三角形.， .故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18 10.［2024广东珠海香洲区期中］如图，已知中弦，点 是上一动点，连接，，过点作于点， 于点，连接 . （1）若点运动到的中点，此时点到弦的距离为2，求 的半径. （第10题图） 【解】如图，连接，，交于点.设的半径为 点是的中点，， .由题意得 ，则.在中， ，即 ，解得，即 的半径为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19 （2）在点运动过程中，线段的长是否发生变化？若不变，求出线段 的长； 若改变，请说明理由. 【解】线段的长不变.，， ，同理可得 ，是的中位线， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20 上分点3 切线的性质与判定 11.［2025山东烟台月考］如图，是的弦，作 交 的切线于点，交于点.已知 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21 【解析】 连接，如图.是的切线， ， ，, ， ， ，故选C. 上分心得 与切线有关的结论 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件：① 直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12.［2024山东菏泽一模］已知是的直径，是的切线，是切点， 与交于点 . （1）如图（1），若 ，连接，求 的度数. 【解】是的切线， ， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 （2）［中］如图（2），若为的中点，求证：直线是 的切线. 【证明】如图，连接，，是直径， 为 的中点，，， ， ， ，.又 点在 上，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 24 13.［2024江苏宿迁宿豫区期末］如图， 中， ，点在边上，以为直径作交 的延 长线于点， . （1）求证：是 的切线. （第13题图） 【证明】如图，连接 ， ， ， .又，， ，即 ，.又是的半径，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 25 （2）［中］若，，求 的半径. 【解】在中， ，，， .设 的半径为，则，.在中， ， ，，解得， 的半径为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 26 上分点4 内心与外心 14.［2024湖北武汉青山区期中］中， ，，则 的外 接圆的半径长为___. 3 （第14题图） 【解析】如图，设的外接圆为，连接 ， ，， 是等边三角形，， 的外接圆的半径长为3. 故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 27 15.［2024广东中山期末］如图，在中， ，点是 的内心， 则_____ . 117 【解析】 ， 点是 的 内心， ， .故答案为117. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 28 16.［2025陕西西安月考］如图，等腰三角形内接于 ， ，点是的内心，连接并延长交于点 ， 点在的延长线上，满足 .求证： （1）所在的直线经过点 . 【证明】如图，连接，，， ， ，， ， ，平分 点是 的内心， 平分，与在同一条直线上， 所在的直线 经过点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 29 （2）［中］点是 的中点. 【解】如图，连接，则， ， ， ， 点是的内心， .又 ， ， ， .由（1）知平分 ， ， ， ， ， ， ，， 点是 的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 30 上分点5 正多边形与圆 17.［2024云南昆明五华区模拟］如图，已知正六边形 内接 于，若四边形的面积为，则 的半径等于( ) B A.1 B.2 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 31 【解析】 如图，连接，交于点 正六边形内接于 ， ，， 均为等边三角形， ， 四边形是菱形，，， 易得， ， ，,解得（负值舍去）， 的半径为2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 32 18.［2024四川泸州期末］已知 的半径为1，则它的内接正三角形的边心距为__. （第18题图） 【解析】如图所示，为的内接正三角形，连接 ， ，作于 ，则 ， ， ，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 33 19.［2024湖南株洲期末］如图，是正五边形 的外接圆， 点为上的一点，则 的度数为____. （第19题图） 【解析】如图，连接， 多边形 是正五边形， ， ，故答案 为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 34 上分点6 弧长与扇形面积 20.［2024河南濮阳期末］如图，在 中， ， ， ，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点， ，则图中 阴影部分的周长是______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 35 【解析】如图，连接 . 在中， ， ，， 是 等边三角形， ，， 弧的长度为 ， 图 中阴影部分的周长是 .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 36 21.［2024湖北宜昌质检，中］如图，，是以 为直径的半圆上的两点，连接 ，，，，若， ， ，则图中阴影部分的 面积为____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 37 【解析】如图，连接，，交于点，过点 作 于点，则 . 为直径， ， ， ，， .又 为半圆， ， ， 为等边三角形， ， ，， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 38 .在和中， ， ，， ， . 故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 $$