卷9 第二十四章 圆 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（人教版）

数 学 九年级上册 人教版 1 2 3 卷9 第二十四章基础诊断卷（A卷） 考查内容：圆 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 . 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分,共30分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.［2025湖北宜昌月考］已知的半径为5，点在内，则 的长可能是 ( ) D A.7 B.6 C.5 D.4 【解析】的半径为5，点在内， .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 （第2题图） 2.［2024湖南中考］如图，，为的两条弦，连接， ， 若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 【解析】根据题意，得和分别是 所对的圆周角和圆心 角， ，. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 （第3题图） 3.［2025福建龙岩月考］如图，四边形内接于 ，它的一 个外角 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】 ， ， .故选B. 上分心得 圆内接四边形的相关结论 圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 （第4题图） 4.［2025四川广安月考］如图，四边形是 的外切四边 形，且，，则四边形 的周长为( ) A A.44 B.42 C.46 D.47 【解析】 四边形是 的外切四边形， ， 四边形 的周长为 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 （第5题图） 5.［2025广东江门月考］如图，是的直径，点在 的 延长线上，切于点，若 ，，则 等 于( ) C A.6 B.4 C. D.3 【解析】如图，连接切于点， ， ，， ， 上分点拨 已知切线时，在圆中作辅助线 已知切线时，连接圆心和切点构造直角是最常见的辅助线. ，， ， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第6题图） 6.［2025贵州贵阳第二实验中学月考］如图，已知点是 的外 心，连接，，，若 ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 【解析】 点为的外心， ， ， ， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第7题图） 7.［2025江苏南京月考］如图，在平面直角坐标系中，与 轴相切于原点，平行于轴的直线交于，两点，若点 的坐标是，则点 的坐标为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 【解析】 . 作于，连接，如图，设的半径为与轴相切于原点 ， ， 点的坐标为， 轴， ，点坐标为.在中，， ， ，根据勾股定理得， ，解得 ，，，点坐标为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 （第8题图） 8.［2025北京东城区月考，中］如图，点，，，，， 是圆 的六等分点，若与的周长分别为， ，则下列说法 正确的是( ) B A. B. C. D.， 的大小无法比较 （第8题图） 【解析】如图，连接 点，，，，，是圆 的六等分 点， .又， , 都是正三角形， ， ，即的周长与 的 周长相等， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第9题图） 9.［2025天津南开中学月考，中］如图，是 的一条弦，过点 作于点，过点作于点，过点作 的切线 交的延长线于点.若 ，的半径为，则 的长为( ) D A.9 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 （第9题图） 【解析】如图，过作于， ， ， ， ， ， , ，.是 的切线， ， .又 易知 , 为等边三角 形，， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 （第10题图） 10.规律探究［2024山西阳泉三模，偏难］如图，四边形 是 正方形，曲线 叫做“正方形的渐开线”，其中 ，，，， 的圆心依次按，，， 循环， 当时， 的长为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】因为四边形是正方形，，所以 所在圆的半径为1，所以 ，同理可得 ， ， ，依 次类推，可得（ 为正整数），所以 .故选A. 上分心得 图形变化类的规律题 首先应找出图形是按照什么规律变化的，再根据题意列式并计算，找出相关线段 的变化规律，然后直接利用规律求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.［2025江西南昌青山湖区期中］过圆内一点 的最长弦、最短弦的长度分别是 、，则___ . 3 【解析】如图所示，为圆的直径，于点，连接 .根据 题意得，.， .根 据勾股定理，得 .故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 12.［2025广东深圳罗湖区模拟］如图，是的直径， ， ，则 ____. 【解析】， ， ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 13.［2024山西中考］如图（1）是小区围墙上的花 窗，其形状是扇形的一部分，图（2）是其几何示 意图（阴影部分为花窗）.通过测量得到扇形 的圆心角为 ，，点，分别为 ， 的中点，则花窗的面积为_____ . 【解析】 在扇形中，，点，分别为， 的中点， . 扇形的圆心角为 ， 花窗的面积扇形 的面积 的面积.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 14.［2024江苏常州中考］如图，是的直径，是的弦，连接 ， ，.若 ，则____ . 70 （第14题图） 【解析】与对着同一条弧，是 的 直径， ， .故答案为70. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （第15题图） 15.［2025河南郑州月考，中］下面是欧拉发现的一个定理：如图， 在中，和分别为其外接圆和内切圆的半径，和 分别为 外心和内心，则.若的外接圆的半径为 ， 内切圆的半径为，则 的外心与内心之间的距离为____ . 【解析】由题意可知，， 的外心与 内心之间的距离为，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 16.［2025湖北黄石第二中学月考，偏难］如图，直线，相交于点 ， ，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧 处.若 以的速度沿直线向右移动，则______后，与直线 相切. 3或7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 【解析】当在直线左侧与直线相切时，如图（1），过点作 于点，则， ， ， ，移动了 ，所用时间为 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 当在直线右侧与直线相切时，如图（2），过点作于点 ， 则， ， ， ，移动了，所用时间为 .故答 案为3或7. 上分点拨 圆中的分类讨论问题 在动圆问题中，经常需要分类讨论，如本题中，当在直线左侧与直线 相切时，由 ，求得，从而得到，即可求得时间；当 在直 线右侧与直线相切时，同理求得 ，即可求得时间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.［2025广东湛江期中］（8分）如图，为的直径，弦， 的延长线相 交于点，且，求证： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 【证明】如图，连接为 的直径， ，即 .…………（2分） ，为 的垂直平分线，…………（6分） ， ， .…………（8分） 【关键点拨】根据题意作出辅助线，构造出直径所对的圆周角是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 18.［2025广东珠海斗门区月考］（10分）如图，在中，半径 ， 分别交弦于点，，且 . （1）求证： . 【证明】如图，过作于，连接， ， ，， ，…………（3分） ， .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）求证： . 【解】，，， ， ， …………（7分） ， ， .…………（10分） 【关键点拨】熟记圆心角与弧之间的关系是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 19.［2025北京海淀区月考］（10分）如图，是正五边形 的外接圆，的半径为，点在上（点不与点， 重 合）. （1） 的度数为___________. 或 【解析】如图，连接，是正五边形 的外接圆， ， ， ，故答案为 或 .………… （5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）连接，，得到扇形，将扇形 围成一个圆锥，求该圆锥的底面 圆的半径. 【解】 ， , 的长度为 ， 该圆锥的底面圆的半径为 .…………（10分） 【关键点拨】熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 20.项目式学习［2024江苏南京鼓楼区模拟］（12分）根据素材解决问题. 设计货船通过圆弧形拱桥的方案 素 材1 图（1）是某圆弧形拱桥的示意图，测得水面宽 ，拱顶离水面的距离 ________________________________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 素 材2 如图（2），一艘货船露出水面部分的纵截面为矩形 ，测得， .因水深足够，货 船可以根据需要运载货物.据调查，船身下降的高度 与货船增加的质量满足函数关系式 ________________________________________ （注：本题中货船与 拱桥刚好挨住时可以 通过） （注：生活中要注意 安全，临界状态时绝 对不可以通过） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 问题解决 任务1 确定拱桥半径 求圆弧形拱桥的半径 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 【解】设圆心为点，则点在延长线上，连接 ，如图（1）. 设拱桥的半径为，则 . ， .…………（2分） 在中， ， ，解得 ， 圆弧形拱桥的半径为 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 任务2 拟定设计方案 根据图（2）状态，货船能否通过圆弧形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？ 若不能，至少要增加多少吨货物才能通过 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 【解】根据题图（2）状态，货船不能通过圆弧形拱 桥.…………（6分） 假设货船刚好能通过，即当是的弦时，设与 的交 点为，连接 ，如图（2）. 四边形为矩形， . ，， ，…………（8分） . ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 根据题图（2）状态，货船不能通过圆弧形拱桥， 船身要下降的高度 .…………（10分） ， ， 至少要增加 的货物才能通过.…………（12分） 【关键点拨】熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21.［2025湖北荆门东宝区月考］（12分）如图，是 的直 径，是弦，点是弧的中点，与交于点，是 的切线，交的延长线于点，连接 . （1）写出图中一对相等的角：_______________. 【解】与对着同一条弧， .故答案 为 .（答案不唯一）…………（3分） 【思路分析】利用圆周角定理的推论可判断 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （2）［中］求证： . 【证明】如图，连接，是的切线， ， ， 即 .…………（5分） 点是弧的中点，是的直径， ， ， ， .…………（7分） ，， .…………（9分） 【思路分析】连接，，先根据切线的性质得到 ，根据圆心角与 弧的关系得到 ，从而推出 ，然后利用 得到，即可证明 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 （3）若，，求 的半径. 【解】设的半径为，如图，则.在中， ， ，，，解得，即 的半径为3. （12分） 设的半径为，在中利用勾股定理得到 ，然后解方 程即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 22.探究性问题［2025安徽合肥第四十六中学月考］（14分）如图（1）， 的内 接四边形的对角线与交于点， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 【初步求证】 （1）求证：平分 . 【证明】，，， 平分 .…………（3分） 【思路分析】根据同弧所对的圆周角相等，得到 ，进而推出 即可； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 【深入探究】 （2）［偏难］如图（2），过点作交的延长线于点，若 平分 ，，求证：是 的切线. 【解】平分，， . 又， 是正三角形，…………（5分） .…………（6分） 由（1）知， , ， ， .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 ，是直径.如图，连接，则 ， ， ，…………（12分） ，.又 点在上，为 的切线.…………（14分） 【思路分析】先证明是正三角形，进而推出 ，得到 ，是的直径，连接，易得，从而得到 ， 即可得证. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 $$