卷5 第一次月考综合检测卷-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（人教版）

数 学 九年级上册 人教版 1 2 3 卷5 第一次月考综合检测卷 考查内容：第二十一章至第二十二章 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分,共30分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.［2025山东潍坊月考］解下列一元二次方程可以直接开平方的是( ) A A. B. C. D. 【解析】方程可以直接开平方得到 .故选A. 上分点拨 用直接开平方法解方程 形如 的方程可以用直接开平方法求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.［2025浙江宁波镇海区月考］抛物线 的顶点坐标为( ) A A. B. C. D. 【解析】抛物线，其顶点坐标为 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.［2025黑龙江绥化月考］将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长 度得到新抛物线 ，则原抛物线解析式为( ) C A. B. C. D. 【解析】 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线 解析式为， 抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位 长度得到原抛物线， 原抛物线的解析式为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.［2025浙江杭州西湖区期中］若一元二次方程 的两根分别是 与 ，则这两根分别是( ) C A.1，4 B.1， C.2， D.3，0 【解析】由题意知，方程 的两根互为相反数， ，解得，， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.新考法［2025福建福州鼓楼区月考］如图，某公园内有一座造型为抛物线形状 的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥.经测量，玉带桥的拱顶离水面的高 度为，若玉带桥所在抛物线对应的二次函数为 ，则对于 该抛物线所在的平面直角坐标系描述正确的是( ) B A.以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 轴 B.以水面为轴，以抛物线的对称轴为 轴 C.以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为 轴 D.以抛物线与水面的右交点为原点,以水面为 轴 【解析】 玉带桥的拱顶离水面的高度为 ，玉带桥所在抛物线对应的二次函 数为， 抛物线的顶点坐标为， 该抛物线所在的平 面直角坐标系是以抛物线的对称轴为轴，以水面为 轴建立的，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第6题图） 6.［2025云南大学附属中学月考］已知二次函数 的图象如图所示，则点 所在的象限是( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 抛物线的开口向上，与 轴交于负半 轴，对称轴在轴右侧，，，， 点 所在 的象限是第三象限，故选C. 上分点拨 利用图象判断二次函数解析式中各项系数的方法 对于二次函数，利用开口方向判断； 利用对称轴 的位置，结合的符号，根据“左同右异”判断；根据与 轴交点的位置判断. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第7题图） 7.跨学科问题［2025山西吕梁月考，中］如图，小球悬浮于液体中 ，若，小球质量为，取 ，则 的值为( ) D A.1 B.4 C.或4 D. 或1 【解析】，，，解得， ， 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 8.［2025河北石家庄月考，中］已知一元二次方程 有一个 根为，且，则方程 一定有一个根为( ) B A. B. C. D. 【解析】 一元二次方程有一个根为 ， ，则 ， ， ， ，， ，方程 可化为， ， 方程的两个根为 ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 9.［2025河南郑州第一中学月考，中］如图，在中，已知 ， ，，以点为圆心，长为半径画圆弧，交于点；以点 为 圆心，长为半径画圆弧，交于点，连接，则下列线段的长一定是关于 的一元二次方程 的一个根的是( ) D （第9题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 【解析】 解方程 关于的一元二次方程， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 计算线 段长度 并进行 对比 在直角三角形中，，，则 ， ， ， 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 10.分类讨论［2025福建厦门思明区月考，难］定义符号， 的含义为当 时，，；当时，，.如：， ， ，.则， 的最大值是( ) A A. B. C.1 D.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 与正比例函数的图象，如图所示，设它们交于点， .令 ，即，解得或 ， ，，，.观察图象可知①当 时， ，，的函数值随 的增大 而增大，其最大值为；②当时， ， ，的函数值随 的增大而减小，其最大值小于 ；③当时，， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 的函数值随的增大而减小，最大值为 .综上所 述，，的最大值是 .故选A. 上分心得 “数形结合”思想 建立函数模型，运用“数形结合”思想，能够直观地利用函数图象比较大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.开放性问题［2025辽宁沈阳月考］写出一个二次项系数为1，且有一个根为2的 一元二次方程：______________________________. （答案不唯一） 【解析】 一元二次方程的二次项系数为1， 可设一元二次方程为 方程有一个根为2，， ， .故答案为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 12.［2025北京海淀区月考］若二次函数的图象上有两点 ， ，则___（填“ ”“”或“ ”）. 【解析】当时，;当时， ， ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 13.［2025陕西渭南月考］现用长为 的材料做成一个如图所示的窗户，组成该 窗户的三个矩形的宽均为，窗户的总面积为，则与 之间的函数关系式 是________________（不用写出自变量的取值范围）. （第13题图） 【解析】根据题意得 .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14.［2025河南实验中学月考］小丽在解一个三次方程 时，发现有 如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为 .根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解： _ ______________. 1，, 【解析】由题意得 ， ，， ， ，，，, 或，或或.故答案为1，, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （第15题图） 15.［2025吉林长春九台区月考，中］如图， 是抛物线 在第四象限的图象上一点，过点分别向轴和 轴作垂线，垂足分别为,，则四边形 周长的最大值为____. 16 【解析】设.易知四边形 为矩形，则四边形 当时，四边形 周长有最大值，最大值为16.故答案为16. 周长为 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 16.［2025四川德阳月考，难］如图，将抛物线在轴下方部分沿 轴翻折，其余部分保持不变，得到图象，当直线与图象 恰有两个公 共点时， 的取值范围是___________________. 或 （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 【解析】当时，，解得，， ， .当直线过点时，直线与图象 恰有三个公共点，此时 ，解得.当直线过点时，直线与图象 恰有一 个公共点，此时，解得.将抛物线在 轴下方部分 沿轴翻折可得抛物线，令 ， 整理得，令，即，解得 .综上， 当直线与图象恰有两个公共点时，的取值范围为或 ， 故答案为或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.［2025山东德州德城区月考］（8分）解方程： （1） ； 【解】，，则 ,………… （2分） ，解得， .…………（4分） （2） . 【解】， ，则 ，…………（6分） 或，解得， …………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 【易错警示】题目中没有指定用哪种方法解方程，所以用其他方法正确求出结果 也得分.若无步骤，只有结果不得分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 18.［2025江苏宿迁月考］（10分）方程是关于 的一元二次 方程，该方程的两个不相等的实数根分别为， . （1）求 的取值范围； 【解】根据题意得，解得 .…………（4分） （2）若，求 的值. 【解】根据题意得， .…………（6分） ，， .…………（10分） 【关键点拨】熟练掌握根与系数的关系是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 19.新考法［2025湖北武汉硚口区月考］（10分）如图，抛物线 的顶点坐标为，且过点 . （1）求二次函数的解析式； 【解】 抛物线的顶点坐标为，且过点， 设 ， 将代入得，解得， 二次函数的解析式为 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 （2）已知为一直角三角形纸片， ，， ，直角边 落在轴上，点在轴上方，将纸片沿轴平移，当点 落在抛物线上时，求点 的坐标. 【解】， ，直角边在轴上， 点 的纵坐标为 1.…………（6分） 当时，，解得，， 平移后，的坐标为 或，的坐标为，或， .…………（10分） 【关键点拨】设出顶点式，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 20.新情境［2025江西南昌月考］（12分）一家特色手工艺品店销售两款特色纪念 品：“竹编小熊猫”型和“刺绣蜀锦扇”型 ，已知该店的C型和D型纪念品的进 价、售价和每日销量如表所示. 纪念品 进价（元/个） 售价（元/个） 销量（个/日） C型 40 60 40 D型 30 40 50 根据市场反馈，该店决定调整售价策略以吸引更多的顾客并提高利润.对于C型纪 念品，决定降价促销，而对于D型纪念品，则选择提价销售.观察发现，C型纪念品 每降低2元，就能多卖出1个；而D型纪念品每提价2元，就会少卖出1个.为了保持 每天的销售总量不变，设C型纪念品每天多卖出个型纪念品售价不得低于进价 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （1）请用含 的代数式表示：降价后C型纪念品单个利润为__________元；提价后 D型纪念品单个利润为__________元. 【解析】降价后C型纪念品单个利润为元，即 元；提价后 D型纪念品单个利润为元，即 元.故 答案为， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）［中］若当日利润为1 336元，求 的值. 【解】根据题意得 ，整理得 ，…………（6分） 解得， （不符合题意，舍去）， 的值为6.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （3）［中］能否使每天销售利润达到1 400元？若能，请求出C型纪念品应降价多 少元；若不能，请说明理由. 【解】不能使每天销售利润达到1 400元.…………（9分） 理由如下：假设能使每天销售利润达到1 400元，由题意得 ，整理得 .…………（10分） ， 方程无实数根， 不能使每天销售利 润达到1 400元.…………（12分） 【关键点拨】找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 21.［2025浙江杭州月考］（12分）数学兴趣小组 运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，对击 球线路进行探索.如图，在平面直角坐标系中，点 ，在轴上，球网与 轴的水平距离 ，，击球点在 轴上，且 .若选择点扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离 近似满足一 次函数关系；若选择点吊球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似满足二次函数关系 ，且羽毛球在飞行过程中达到的最 大高度是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （1）求， 的值. 【解】， . 依题意，把代入，得 ， , …………（2分） . 若选择点吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离 近似满足二次函数关 系，且羽毛球在飞行过程中达到的最大高度是， , ，把代入，得 ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （2）兴趣小组探索发现，选择扣球与吊球两种方式都能使球越过球网， ①［中］若，则 的取值范围是____________.（注:本题中假设球 与球网同样高时,球可以越过球网） 【解析】 球网与轴的水平距离，， . 把代入，得；把 代入 ，得 ， 的取值范围是.故答案为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 ②［偏难］要使球的落地点到 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式. 【解】 球网与轴的水平距离，， . 对于，令，则，解得 ，则 . …………（10分） 对于，令，则，解得 ， （舍去） ，，则 ， ， 吊球击球方式使球的落地点到C点的距离更近.………… （12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 【易错警示】注意写范围时要准确,要检查临界值能否取到. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 22.探究性问题［2024四川甘孜州中考］（14分）【定义与性质】 如图，记二次函数和 的图象分别为抛 物线和 . 定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是 的伴随抛物线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在 上. 【理解与运用】 （1）若二次函数和 的图象都是抛物线 的伴随抛物线，则___， ____. 2 【解析】 抛物线和 的顶点坐标分别为 ，，且这两条抛物线都是抛物线 的伴随抛物线， ，，，，故答案为2， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 ①［中］若函数的图象为抛物线，且始终是 的伴随抛物线， 求， 的值； 【解】 ， 抛物线的顶点坐标为 . 又始终是 的伴随抛物线， ,则 ,…………（7分） ， .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 ②［难］若抛物线与轴有两个不同的交点， ，请直接写 出 的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 【解】或 .…………（14分） 与轴有两个不同的交点，，由①得函数 的图象 为抛物线，且始终是的伴随抛物线，的顶点 在 的图象上滑动. 令，解得或，则抛物线与轴交于， 两个点.当的顶点在下方时， . 若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在 上， 当的顶点在下方时， . 综上，或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 【关键点拨】掌握二次函数的性质是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 $$