卷4 第二十二章 二次函数 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（人教版）

数 学 九年级上册 人教版 1 2 3 卷4 第二十二章提优验收卷（B卷） 考查内容：二次函数 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分,共30分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.［2025广东惠州惠城区期中］抛物线与 轴的交点的坐标是 ( ) C A. B. C., D., 【解析】当时，抛物线与轴相交，把 代入 ，得 ， 抛物线与轴的交点坐标为， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.［2025山东德州月考］对于任意实数 ，下列函数一定是二次函数的是( ) D A. B. C. D. 【解析】当时， 不是二次函数，故A不符合题意；当 时，，则 不是二次函数，故B不符合题意；当 时，,则 不是二次函数，故C不符合题意；对 于任意实数，，则 一定是二次函数，故D符合题意. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.［2024黑龙江哈尔滨中考］二次函数 的最小值是( ) D A. B.1 C.2 D.3 【解析】， 当时， 取最小值3.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.［2024内蒙古包头中考］将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物 线的顶点式为( ) A A. B. C. D. 【解析】将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为 ，即 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.［2025山东临沂月考］如图，某种家用燃气灶烧开同一壶 水所需的燃气量（单位： ）与旋钮的旋转角度 近似满足函数关系 , 已知图中记录了此燃气灶烧开同一壶水时旋钮的旋转角度 与 燃气量 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此 燃气灶烧开一壶水最节省燃气时旋钮的旋转角度约为( ) B A. B. C. D. 【解析】由图象可知，该函数图象的对称轴的取值范围为 ,即 ,因此可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气时旋钮的旋转角度 约为 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 6.［2025安徽淮南月考］李明同学在探究函数 的性质时，作出了如图所示的图象.当方程 有两 个实数根时，常数 满足的条件是( ) A A.或 B. C. D. 【解析】由题意得， 抛物线的顶点坐标为 ， 结合图象可知当方程有两个实数根时， 或 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 7.新考法［2025重庆江北区月考，中］已知二次函数 的图象如图所 示，点，，，在轴上，若满足以下条件：①函数图象与 轴负半轴相交； ②当，随的增大而减小，则坐标系的原点 可能是( ) B A.点 B.点 C.点 D.点 【解析】 函数图象与轴负半轴相交， 点，，可能是原点. 当 时， 随的增大而减小， 点可能是原点，， 不可能是原点.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 8.新情境［2025福建泉州五中月考，中］二维码是由大小相同的黑、白两色的小 正方形组成的一个大正方形，现有 格式的二维码如图（1），其中有3个角 上是的黑白相间的A型正方形，中间右下有一个 的黑白相间的B型正方 形，除这4个正方形外，其他均为C型正方形（有白色和黑色两种），若C型正方 形中白色块数与黑色块数正好满足如图（2）所示的函数图象，则该 格 式的二维码共有多少块黑色的C型正方形( ) C A.153 B.218 C.100 D.216 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】设函数解析式为.将，， 代入解析 式，得 解得 ， ，解得，（舍去）， 该 格式的二维码共有100块黑色的C型正方形.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 9.［2025江苏南通月考，偏难］在平面直角坐标系中，若点 的横坐标和纵坐 标相等，则称点为完美点.已知二次函数 的图象上有且只 有一个完美点，且当时，函数 的最小 值为，最大值为1，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】令，即 .由题意可知 ， .由一元二次方程的根与系数的关系得 ，解得， ，故函数 ，则该函数图象开口向下，顶 点为，与轴交点为，由对称性可知该函数图象也经过点 ，如 图所示.时，随的增大而增大；时，随 的增大而减小，且当 时，函数的最小值为，最大值为1， ， 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 上分心得 二次函数的增减性 ①图象开口向上时，在对称轴左边，随的增大而减小；在对称轴右边，随 的 增大而增大.②图象开口向下时，在对称轴左边，随 的增大而增大；在对称轴右 边，随 的增大而减小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10.［2024内蒙古赤峰中考，难］如图，正方形的顶点， 在抛物线上，点在轴上.若， 两点的横坐标分别 为， ，下列结论正确的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】如图，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和 ， 则 .将， 两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ， ，， 四边形 是正方 形，， ， ， . 在和 中， ， ， ，.又 ， ，即， ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.［2025福建师大附中月考］点,是抛物线上的一点，则 __. 【解析】把，代入得，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 12.［2025青海西宁月考］如图是二次函数 的图象，则不等式 的解集是_____________. 或 【解析】 抛物线与轴的交点为，对称轴为直线， 当或 时，， 不等式的解集是或，故答案为 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 13.［2025辽宁沈阳第七中学月考］某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、 三月的营业额共万元，如果月平均增长率为，则这三个月的总营业额 与月平均 增长率 之间的函数关系式为_______________________.（化为一般式） 【解析】二月份的营业额为 万元，三月份的营业额在二月份营业额 的基础上增加，即万元，则这三个月的总营业额 与月 平均增长率 之间的函数关系式为 .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14.［2024湖南长沙模拟］如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过平移得 到抛物线 ，则两段抛物线及其对称轴所围成的阴影部分的面积为___. 8 （第14题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （第14题图） 【解析】如图，设平移得到的抛物线的对称轴交 轴于点，交抛物线于点，过作 轴于 ， 平移后抛物线的顶点坐标 为，对称轴为直线，则.当 时， ， 由抛物线的对称性及平移的性质可 知，阴影部分的面积等于矩形的面积，即 .故答案 为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 15.［2025天津津南区月考，中］已知二次函数 的图象如 图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：； ； ，其中； .其中正确的结论有______ ___.（填序号） ①②④ （第15题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 【解析】由图象可知，，，， ，故①正确.当 时，，即;当时，，即 ， ，则，即 ，故②正确. 当时，的值最大,此时，而当时， ， 其中，，故 ，即 ，故③错误.由对称性知，时的函数值与 时的函数值 相等，则 ，故④正确.故答案为①②④. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （第16题图） 16.规律探究［2024山东青岛模拟，难］已知二次函数 的图 象如图，点为坐标原点，点，，， 在 轴的正半轴上， 点，，， 在二次函数 位于第一象限的图象上， ，，， 都是直角顶点在抛物线上 的等腰直角三角形，则 的斜边长为____. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （第16题图） 【解析】如图所示，过点，，分别作 轴的垂线，垂足分 别为，，，，, 都是直角 顶点在抛物线上的等腰直角三角形， ， 所在直线的 解析式为.由 得， ， ，， 易得直线 的解析式为 .由 得， , ，， 易得直线 的解析式为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 .由 得， , 由，， 可以看出这些直角顶 点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次增加2， 的斜边长为 ，故答案为20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.［2025湖南长沙雨花区月考］（8分）已知抛物线 （ 为常数）. （1）求抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）； 【解】， 抛物线顶点坐标 为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 （2）若，两点在此抛物线上，比较与 的大小. 【解】， 抛物线开口向上，对称轴为直线 .…………（6分） ，，， .………… （8分） 【关键点拨】掌握二次函数的性质是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18.［2025广东江门蓬江区期中］（10分）已知二次函数 与一次函数的图象交于， 两 点，如图所示，其中 . （1）求和 的值. 【解】 一次函数的图象过点 ， ，解得 .…………（2分） 抛物线过点 ， ，解得 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）求点 坐标. 【解】联立 解得或 .…………（7分） （3）求 的面积. 【解】设直线交轴于.在中，令，得 ， ， ，…………（8分） 【关键点拨】掌握用待定系数法求函数解析式并且正确求出点 的坐标是解题的关键. .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 19.新情境［2025山东济南历城区月考］（10分）某公司开发 一款与教育配套的软件，年初上市后，经历了从亏损到盈利 的过程，变化过程可用如图所示的抛物线描述，它刻画了该 软件上市以来累积利润（万元）与销售时间 （月）之间的 函数关系（即前个月的利润总和与 之间的函数关系），根 据图象提供的信息，解答下列问题： （1）此软件上市第几个月后开始盈利? 【解】由图象可得，该软件上市第 4个月后开始盈利.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）求累积利润（万元）与销售时间 （月）之间的函数解析式. 【解】设 函数图象过点 ， ， …………（5分） ， 累积利润（万元）与销售时间 （月）之间的函数解析式是 .…………（7分） （3）前几个月公司的累积利润为2.5万元? 【解】由题意，当时，，解得， （舍去）， 即前5个月公司的累积利润为2.5万元.…………（10分） 【关键点拨】根据题意构建二次函数模型是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 20.［2025安徽合肥寿春中学月考］（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点与原点重合，顶点在轴的正半轴上，点在 轴的正半轴上，抛 物线经过点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （1）求 的值与抛物线对称轴. 【解】 抛物线经过点， ， 解得 ，…………（3分） 二次函数的解析式为 . ， 抛物线对称轴为直线 .…………（6分） 【思路分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，从而得出抛物线的对称轴； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （2）［中］将抛物线向右平移个单位，使得新抛物线与， 分别交 于，两点，点，的纵坐标相等，求的值和点 的坐标. 【解】将抛物线向右平移个单位得到抛物线 . 新抛物线与，分别交于， 两点， 点的横坐标为0，点 的横坐标为6. …………（8分） 点，的纵坐标相等， 平移后抛物线的对称轴为直线， ， ， …………（10分） ，令，得 ， 点的坐标为 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 【思路分析】由题意得到， 的横坐标，从而得出平移后抛物线的对称轴，即可 求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 21.［2025湖北武汉洪山区月考］（12分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与 “间发式”两种模式，在“直发式”模式下，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面 的运动轨迹近似为一条抛物线，如图（1）；在“间发式”模式下，乒乓球从发球器 出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，乒乓球第一次接触台面到第 二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，如图（2），分别建立平面直角坐标 系 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 通过测量得到乒乓球距离台面高度（单位：）与球和发球器出口的水平距离 （单位： ）的相关数据，如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 表1 直发式 0 2 4 6 8 10 16 20 … 3.84 3.96 4 3.84 3.64 2.56 1.44 … 表2 间发式 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 … 3.36 2.52 0.84 0 1.40 2.40 3 3.20 3 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 根据以上信息，回答问题： （1）表格中_____， _____； 【解析】由抛物线的对称性及题表1中的数据可知 .设题图（2）中线段所 在直线的解析式为 ， 把，代入，得 解得 ，当时，， . 故答案为， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 【思路分析】根据题表1数据及抛物线的对称性直接得出 的值；求出题图（2） 中线段所在直线的函数解析式，然后把代入，得出的值即为 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 （2）［中］求“直发式”模式下，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨 迹的解析式； 【解】由题表1中的数据及抛物线的对称性可知,“直发式”模式下，抛物线的顶点为 ， 设此抛物线的解析式为，把 代入，得 ，解得 ，…………（5分） “直发式”模式下，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹的解析式 为 .…………（6分） 【思路分析】设出顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 （3）［偏难］若“直发式”模式下，乒乓球第一次接触台面时与发球器出口的水平 距离为 ，“间发式”模式下，乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离 为，请通过计算比较， 的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 【解】“直发式”模式下，当时，，解得 （舍去）， ， .…………（7分） 设“间发式”模式下，乒乓球从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹的解 析式为 ， 把代入，得，解得， 这条抛物线的解析式为 ，…………（9分） 当时，，解得， ， ，…………（11分） .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 【思路分析】令（2）中解析式中，解方程求出的值即可得到 ；设出“间 发式”模式下的抛物线解析式，用待定系数法求出函数解析式，再令 ，解方 程求出的值，即可得到 ,然后进行比较即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 22.探究性问题［2024吉林中考］（14分）小明利用一次函数和二次函数知识，设 计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入的值为时，输出 的值 为1；输入的值为2时，输出的值为3；输入的值为3时，输出 的值为6． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 （1）直接写出，， 的值． 【解】,,的值分别为1,1, .…………（4分） ， 将，代入得，解得 . ，， 将，和， 分别代入 得 解得故,， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 （2）［难］小明在平面直角坐标系中画出了关于 的函数图象，如图（2）． Ⅰ.当随的增大而增大时，求 的取值范围． 【解】，，， 一次函数解析式为 ，二次函数解析 式为 . 由题图（2）可知，当时， ， 抛物线的对称轴为直线 ，且开口向上， 当时，随 的增大而增大； 当时，， ， 当时，随 的增大而增大. 综上，当随的增大而增大时，的取值范围为或 .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 52 Ⅱ.若关于的方程（为实数），在时无解，求 的取 值范围． 【解】在 时无解， 在 时无解， 即抛物线与直线在 时无交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 53 由Ⅰ可知抛物线的顶点坐标为 ，如图（1）. 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 54 当时，抛物线与直线在 时恰好有一个交点， 当时，抛物线与直线在 时无交点. 当时， ， 当时，抛物线与直线在 时无交点. 综上，当或时，抛物线与直线在 时无交点， 即当或时，关于的方程（为实数）在 时无解.……（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 55 Ⅲ.若在函数图象上有点，（与不重合）.的横坐标为， 的横坐标为 ．小明对，之间（含， 两点）的图象进行研究，当图象对应函数的 最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出 的取值范围． 【解】或 .（14分） ，， ， 点，的横坐标关于直线 对称. 图象对应函数的最大值与最小值均不随 的变化而变化， ,之间的图象（含,两点）为直线和直线 之间的函数图象. 对于,当时，；当时， .对于 ,当时，；当时，（舍去）或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 56 ①当 时，如图（2）. 图（2） 由题意得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 57 ②当 时，如图（3）. 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 58 由题意得 . 综上，的取值范围为或 ． 【关键点拨】画出图象，根据方程与二次函数的关系进行分析是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 59 $$