卷3 第二十二章 二次函数 上分专题（三） 二次函数与几何图形的综合-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（人教版）

数 学 九年级上册 人教版 1 2 3 上分专题（三） 二次函数与几何图形的综合 重难上分 攻克难点 4 类型1 二次函数与特殊三角形的综合 类型2 二次函数与特殊四边形的综合 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 二次函数与特殊三角形的综合 1.［2025安徽芜湖月考］如图，已知抛物线 经过，，三点，与轴交于点 . （1）求这个抛物线的解析式. 【解】将，，代入 ， 得 解得 . 1 2 3 4 5 6 （2）在抛物线对称轴上是否存在点，使得 的周长最小？若存在，请求出 点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】在抛物线对称轴上存在点，使得 的周长最小.如图， 连接交对称轴于，此时的周长最小.令，则 ， ， 抛物线的对称轴 为直线.设直线的解析式为，将， 的坐 标代入得 解得，当 时， ， . 1 2 3 4 5 7 （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，请直接写出点 的坐标. 【解】点坐标为或或或 . 设，.，， ， ， .当 时，，解得，， ，或，；当时， ，解得 ，，；当时， ，解得 ，，.综上所述,点坐标为，或，或，或， . 1 2 3 4 5 8 2.［2024陕西渭南月考］如图，抛物线 与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点 ， 已知抛物线的对称轴为直线 . （1）求抛物线的解析式. 【解】在中，令得或， ， 抛物线的对称轴为直线，，解得 ， ， 抛物线的解析式为 . 1 2 3 4 5 9 （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得 为等腰三角形？若存在，求 出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】在抛物线的对称轴上存在点，使得为等腰三角形.设 .在 中，令,得，.由（1）知 ， ，，.①当 时， ，解得，;②当 时， ，解得或， 或 ；③当时，，解得或 ， 或.综上所述，点的坐标为或或 或或 . 1 2 3 4 5 10 【解析】上分技巧 存在性问题的分类讨论 这类问题一般有多种情况，需要分类讨论，像本题中这种讨论是否存在一点，使其 与其他两点为顶点的三角形是等腰三角形的问题，一般以哪两条边为腰进行讨论. 1 2 3 4 5 11 类型2 二次函数与特殊四边形的综合 3.［2025浙江宁波期中］如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴与轴交于点，在直线上取一点 ，使 点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为7，设 是抛物线的对称轴上的一点， 点在抛物线上，若以点，，，为顶点的四边形为正方形，求 的值. 1 2 3 4 5 12 【解】 抛物线的对称轴与轴交于点， 点 在直线 上，，解得， 直线 的解析式为 ， 设点.又 点 在第四象限，且到两坐标轴的距离之和 为7，，解得，,， 到抛物线对称轴 的距离为，到轴的距离为2.当是正方形对角线时，易知 ， 则 点在抛物线上， 把代入 ，得 ，解得.当是正方形的边时，易知 ，则 点在抛物线上， 把代入 ，得 ，解得的值为或 . 1 2 3 4 5 13 4.［2024山东烟台芝罘区期末］如图，抛物线 经过 坐标轴上，，三点，直线过点和点 . （1）求抛物线的解析式. 【解】, 当时，，;当 时， ，.将点，的坐标代入 ，得 解得 抛物线的解析式为 . 1 2 3 4 5 14 （2）是直线上方抛物线上一动点，连接，，求 面积的最大值及 此时点 的坐标. 【解】过点作轴交于点.设，则 ， ，, 当时，的面积有最大值4，此时 . 1 2 3 4 5 15 （3）［难］是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以 ， ，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点 坐标； 若不存在，请说明理由. 【解】存在点，使得以，，， 为顶点的四边形是平行四边形. ， 抛物线的对称轴为直线 .设 ，.当为平行四边形的对角线时， ，解得 ，；②当为平行四边形的对角线时，， ； ③当为平行四边形的对角线时，，解得， .综上所 述，点坐标为或或 . 1 2 3 4 5 16 5.［2023山东日照三模节选］如图，在平面直角坐标系中，抛物 线与轴交于和，与轴交于点 . （1）求该抛物线的解析式. 【解】 抛物线与轴交于和 ， 解得 该抛物线的解析式为 . 1 2 3 4 5 17 （2）［难］在轴上有一动点，平面内是否存在一点，使以点，，， 为 顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形. 以点，，， 为顶点的四边形是菱形， ①如图（1），当为对角线时，点和点 关于原 点对称.由（1）易得点， 点 . 1 2 3 4 5 18 ②如图（2），当，点在点右侧时， 点 ， ， 点 . ③如图（3），当，点在点左侧时， 点 ， ， 点， . ④当为对角线时，如图（4）所示.设 ， 则， ，解得 ,， 点 . 综上，点的坐标为，，， . 1 2 3 4 5 19 $$