卷3 第二十二章 二次函数 对点上分（类题推送）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（人教版）

数 学 九年级上册 人教版 1 2 3 第二十二章 对点上分（类题推送） 基础上分 练透考点 4 上分点1 二次函数的定义及解析式 上分点2 二次函数的图象与性质 上分点3 二次函数的图象与字母系数的关系 上分点4 最值问题 上分点5 二次函数与一元二次方程、不等式 的综合 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 编者按：先做基础诊断（A卷）检测薄弱，再到对点上分处进行错题对应练习，补 足短板，最后做提优验收（B卷）综合提升 上分点1 二次函数的定义及解析式 1.［2025内蒙古呼和浩特月考］下列函数中，二次函数有( ) （1）；（2）；（3） ；（4） ；（5）；（6） . B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】（1）是二次函数，故符合题意；（2） 不是二 次函数，故不符合题意；（3） 是二次函数，故符合题意；（4） 不是二次函数，故不符合题意；（5） 不是二次函数，故不符合题意；（6）中不确定 是否为0，不一定是 二次函数，故不符合题意.综上所述，二次函数有2个.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 7 2.［2024湖北宜昌西陵区期末］抛物线的函数解析式为，若将 轴向下平移1个单位长度，将 轴向左平移2个单位长度，则该抛物线在新的平面直 角坐标系中的函数解析式为_________________. 【解析】根据题意知，坐标轴的移动可看作将抛物线 向上平移1 个单位长度，再向右平移2个单位长度，所以抛物线在新的平面直角坐标系中的解 析式为.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8 3.［2025湖南长沙月考］已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标是 ， 求该函数解析式. 【解】 二次函数图象的顶点坐标是， 设二次函数的解析式为 .将代入得，解得， 二次函数 的解析式为 . 【解析】上分心得 二次函数解析式的求法 已知二次函数图象顶点坐标为 ，可将二次函数解析式设为顶点式： ，，是常数， ，然后将图象上另一点坐标代入顶点 式，解方程，求出 即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 9 4.［2025贵州贵阳花溪区校级月考］已知一个二次函数的图象经过 ， ， 三点.求该二次函数的解析式. 【解】设该二次函数的解析式为，,解得， 该二次函数的解析式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 10 5.［2025上海虹口区期末］已知二次函数的图象经过 ， ， 三点. （1）求该函数的解析式； 【解】 二次函数的图象经过，， 三 点， 解得 该函数的解析式为 . （2）用配方法将该函数的解析式化为 的形式. 【解】 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 11 上分点2 二次函数的图象与性质 6.［2024河南驻马店期末］下列关于二次函数 的图象和性质的 叙述中，正确的是( ) D A.点 在函数图象上 B.函数图象开口方向向上 C.函数图象对称轴是直线 D.当时，随 的增大而减小 【解析】A选项，当时，，则点 不在函数图象上， 故该选项不正确，不符合题意；B选项，， 抛物线开口方向向下， 故该选项不正确，不符合题意；C选项，抛物线 的对称轴是直 线，故该选项不正确，不符合题意；D选项， 抛物线对 称轴为直线，开口向下， 当时，随 的增大而减小，故该选项正确， 符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12 7.［2025重庆九龙坡区校级月考］在同一直角坐标系中，函数 与 的图象可能是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13 【解析】 函数的图象与轴的交点坐标为和， ，函数 的图象与轴的交点坐标为，， 抛物线和直线有一个交点在 轴上，故选项A、C、D不合题意.若函数 的图象经过第一、三、四象限， 则，， 两个图象的一个交点在 轴的正半轴上，二次函数 的图象开口向上. 抛物线的对称轴， 对称轴在 轴 的右侧，故选项B符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14 8.［2025黑龙江大庆月考］在二次函数：； ； 中，图象开口大小从大到小依次为________.（填序号） ②③① 【解析】， 图象开口大小从大到小依次为②③①.故答案为 ②③①. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15 9.［2025浙江杭州萧山区月考］已知抛物线中自变量 和 函数值 的部分对应值如表所示： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 4 14 28 … （1）请直接写出该抛物线的顶点坐标； 【解】该抛物线的顶点坐标为 . （2）请求出该抛物线的解析式； 【解】由题表得 解得 该抛物线的解析式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16 （3）当时，求 的取值范围. 【解】, 当时，随的增大而增大；当时，随 的增大而减小. 当时，；当时，.又 当时，取得最小值 ， 的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 17 10.［2025福建厦门月考，中］已知二次函数 （ 是实数）. （1）当时，若点在该函数图象上，求 的值. 【解】当时， 点 在 该函数图象上，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18 （2）小明说该二次函数图象的顶点在直线 上，你认为他的说法对吗? 为什么? 【解】对，理由如下：， 二次函数图象的顶点坐标 为.当时，， 顶点 在 直线 上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （3）已知点，都在该二次函数图象上，是否存在 ， 使得 存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 【解】存在. 点，都在该二次函数图象上， 该二次 函数图象的对称轴为直线 .由（2）可得该二次函数 图象的顶点坐标为，，， ， ., 当时，取得最大值，最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20 11.［2025北京西城区校级月考，中］在平面直角坐标系中，点 ， ，，在抛物线 上. （1）若，求 的值； 【解】， 抛物线对称轴为轴，，关于轴对称， . （2）若，求 的取值范围. 【解】把代入，得， .把 代入，得 .由题意可知抛物线开口向 下且经过点，，，，， .综 上所述，，，即 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21 上分点3 二次函数的图象与字母系数的关系 （第12题图） 12.［2024辽宁抚顺新抚区期末］如图，抛物线 的对称轴是直线 .下列结论： ；；； ； . 其中正确结论的个数是( ) C A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 22 【解析】由图象得抛物线开口向上，与轴交于负半轴，， 对称轴 是直线，，即，，故①正确. 抛物线与 轴有2个不同的交点，， ，故②正确.由图象得当 时，，即，故③错误.由图象得当时， ，即 ，故④正确.， ， ，， ， ，故⑤正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 （第13题图） 13.［2024山东日照期末］如图是抛物线 的部分图象，其顶点坐标为 ，且 与轴的一个交点在点和 之间，则下列结论： ；；；④当 时， ；一元二次方程 有 D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 两个不相等的实数根. 其中正确结论的个数是( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 【解析】 抛物线的对称轴为直线，， ，故①错误.② 当时，，，故②正确. 抛物线的 顶点坐标为， 抛物线与直线 只有一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， ，故③正确.④把抛物线向下平移 个单 位，即可得到抛物线， 当时， ，即 ，故④正确 一元二次方程 ， .由图象可知，， ， ， 一元二次方程 有两个不相等的 实数根，故⑤正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 25 上分点4 最值问题 14.二次函数，当____时， 有最____值，为_____；当 时， 的最大值为___. 小 7 【解析】， 抛物线开口向上，函数有最小值.当 时，有最小值，为.当时，图象在对称轴右侧， 当 时，.故答案为，小， ，7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 26 15.［2025江苏苏州姑苏区月考］二次函数的最小值是8，则 ___. 9 【解析】 二次函数的最小值是8，， ， 整理，得，解得或， .故答案为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 27 16.［2025福建厦门思明区校级月考］点在二次函数 的图象 上，若的最大值是，则 _______. 或4 【解析】 点在二次函数的图象上， ， 的最大 值是，的最大值是， ，整理得 ，解得或4.故答案为 或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 28 17.［2025广西南宁兴宁区校级期中，中］在平面直角坐标系中，抛物线 的图象如图所示，对任意的，称 为到时的值的“极差”（即时的最大值与最小值的差），为到时 的值的“极宽”（即与的差值），则当时， 的取值范围是___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 29 【解析】根据题意可得， 抛物线的对称 轴为直线，顶点坐标为.，即与 的差值为6， ，即， ，则 ， 当时，随增大而增大，当时，随 的 增大而减小， 当时，有最大值，最大值为，当时， 有最小值， 最小值为，， 当 时，随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值为 ，当 时，有最大值，最大值为.综上所述,.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 30 18.［2025山东淄博张店区期中］在平面直角坐标系 中，抛物线 与轴交于点 . （1）求点 的坐标及该抛物线的对称轴； 【解】 点是抛物线与轴的交点， 将 代入 得， 点 的坐标为 ， 抛物线的对称轴为直线 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 31 （2）当时，的最大值是2，求当时， 的最小值. 【解】由（1）知抛物线 的顶点坐标为 ,当时，的最大值是2， ， ， 抛物线的解析式为.当 时， , 当时， 取得最小值，为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19.［2025安徽淮南八公山区月考，中］已知二次函数（， 为常 数）. （1）当， 时，求函数的最小值； 【解】当，时，二次函数的解析式为 ， ， 当时，函数有最小值，最小值为 . （2）当时，函数的最小值为，求 的值； 【解】当时，二次函数的解析式为， 当时，函数的最小值为，，解得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 33 （3）当且时，函数有最小值 ，求二次函数的解析式. 【解】,， 二次函数的解析式为 ， 函数图象开口向上，对称轴为直线 ，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随 增大而增大.当 ，即时，当时，函数有最小值， ，解得 （舍去）.当,即时，当 时，函数有最小值， ，（舍去）.当,即 时， 当时，函数有最小值，，解得或 （舍去）.综 上所述，， 二次函数的解析式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 34 上分点5 二次函数与一元二次方程、不等式的综合 20.［2024上海徐汇区模拟］如果二次函数图象的顶点在 轴 上，那么 的值是___. 1 【解析】 抛物线的顶点在轴上，令 ，即 ，，即 ，解得 .故答案为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 35 21.［2024黑龙江绥化期末］二次函数 的部分图象如图所示，则 关于的一元二次方程 的解为________________. ， 【解析】由图象可知，该函数图象的对称轴是直线，与 轴的一个交点是 .由抛物线的对称性可知，该函数图象与轴的另一个交点是， 当 ，即时，，.故关于 的一元二次方程 的解为，，故答案为， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 36 22.［2025山西朔州月考］已知 的图象如图 所示，根据图象回答下列问题. （1）求方程 的解； 【解】将方程变形为 .由图象可知方 程的解为，， 方程 的解为， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 37 （2）如果方程无实数根，求 的取值范围. 【解】若方程无实数根，则由图象可得， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 38 23.如图，已知过原点的抛物线与轴交于另一点 . （1）求的值和抛物线顶点 的坐标. 【解】 抛物线过点，，解得 ， ， 抛物线顶点的坐标是 . （2）根据图象，直接写出不等式 的解集. 【解】或.令,易知直线过点， .由图象可得不等 式的解集为或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 39 $$