卷3 第二十二章 二次函数 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（人教版）

数 学 九年级上册 人教版 1 2 3 卷3 第二十二章基础诊断卷（A卷） 考查内容：二次函数 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分,共30分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.［2025河南商丘梁园区月考］下列各式中，是 的二次函数的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.［2025山西大同云州区月考］二次函数 的图象经过点 ，则代数式 的值为( ) B A. B.0 C.2 D.5 【解析】 二次函数的图象经过点 ， ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.［2025湖南长沙雨花区月考］如图，抛物线对称轴为直线 ， 与轴的一个交点为 ，则另一个交点的坐标是( ) A A. B. C. D. 【解析】由抛物线的对称性可得与轴另一个交点的坐标为 ，故选A. 上分技巧 二次函数的图象的对称性 只要二次函数的图象的对称轴确定，此二次函数的图象上任意一点关于对称轴对 称的点的坐标就能确定，不需要知道此二次函数的解析式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.［2025河北石家庄新华区月考］以下是四位同学以接力的方式将二次函数 化为顶点式的过程，每位同学只负责其中的一步，其中出错的 步骤有( ) B 解： . A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 【解析】 ， ,故①③错误.故选B. 上分心得 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：（，，， 为常数）；（2）顶点式： （,,为常数）；（3）交点式： （,,为二次函数图象与 轴交点的横坐标）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 5.［2025北京人大附中月考］如图，点 ， 在二次函数 的图象上， 则方程 的一个解的近似值可能是( ) D A.2.18 B.2.68 C. D.2.45 【解析】由图象得 的一个解介于2.18和2.68之间，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 6.［2025陕西咸阳月考］将抛物线 向上平移2个单 位，所得抛物线顶点一定在( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】将抛物线 向上平移2个单位可得抛物线 ， 所得抛物线顶点坐标 为，.，，， 所得抛物线顶点一定 在第一象限，故选A. 上分心得 图象的平移 图象本质上是几何图形，几何图形平移前后形状、大小不变. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.［2025广东惠州月考］已知二次函数 的图象如 图所示，给出以下结论：； ； ，其中正确结论的个数是( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 【解析】由图象可知，当时，，故①正确；抛物线与 轴有 两个交点，则，故②正确；抛物线开口向下，则，对称轴在 轴 的左侧，则，所以 ，故③错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 8.［2025重庆北碚区月考，中］某茶杯的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面 呈抛物线形状（杯体厚度忽略不计），点、点位于杯口处，且 ， 点是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度（点到 的距离）为 ，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为（点到 的距离）， 则 的长度为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 【解析】以点为原点，水平、竖直方向线为轴、 轴建立平面直角坐标系，设 抛物线的解析式为.将代入，得，解得 ， .将代入，得，解得，， ， ，， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 9.［2025山西太原五中期中，中］已知函数在 上的最大值 是1，最小值是，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】 函数的图象的对称轴为直线， 当时， 有最小值，此时. 函数在 上的最小值 是，. 当时，，解得， , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 10.新考法［2025江苏南京期中，偏难］如图，已知抛物线 的解析 式为，将点向右平移5个单位长度得到点 ，若 线段与只有一个公共点，那么 的取值范围是( ) D A. B.或 C. D.或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】因为点坐标为，且点由点 向右平移5个单位长度得到，所以点 的坐标为.当时，将代入抛物线的解析式，得 ， 所以线段与只有一个公共点时，，故此时的取值范围是 .当 时，令，则，解得或4，即抛物线与 轴的交点坐标为 和，则此时只有线段经过抛物线的顶点时，线段与 只有一个公 共点.因为抛物线的顶点坐标为，所以此时.综上所述， 的取值范围 是或 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.开放性问题［2025河南南阳月考］请写出一个图象开口向下，且经过点 的 二次函数的解析式:___________________________. （答案不唯一） 【解析】 二次函数的图象开口向下，且经过点， 该二次函数的解析式可 以是，故答案为 （答案不唯一）. 上分警示 开放性问题 做开放性问题时，得出的答案可以代入题干检查一遍，看是否符合题目的每个要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 12.［2025河北邯郸期中］如图所示，四个函数图象对应的解析式 分别是，，，，则 ， ，，的大小关系是______________.（用“ ”连接） 【解析】根据开口大小可知，.又因为 ， ，,，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 13.［2025广东广州南沙区月考］如图，已知抛物线经过和 两点， 如果点与在此抛物线上，那么___.（填“ ”“ ”或“ ”） 【解析】 抛物线经过和两点， 抛物线的对称轴为直线 . 抛物线的开口向下，点与在此抛物线上， .故 答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 14.［2024吉林长春中考］若抛物线（是常数）与 轴没有交点，则 的取值范围是______. 【解析】 抛物线与轴没有交点， 没有实数根， ，.故答案为 . 上分技巧 判断抛物线与 轴交点个数的方法 无交点 有一个交点 有两个交点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15.［2025重庆江津区期中，中］一种礼炮的升空高度与飞行时间 的关系 式是 .若这种礼炮在升空后到最高点时引爆，则从点火升空到 引爆需要的时间为___ . 8 【解析】， 这个二次函数图 象开口向下, 当 时，达到最高点.故答案为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 16.新定义［2025湖南长沙北雅中学月考，偏难］新定义：我们把抛物线 （其中）与抛物线 称为“关联抛物线”.例 如：抛物线的“关联抛物线”为抛物线 .已知抛物线 的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为 ， 且抛物线与轴相交于，两点，点关于轴的对称点为，若四边形 是正方形，那么抛物线 的解析式为________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 【解析】 抛物线的“关联抛物线”为， 的解析式为， 对称轴为直线， 顶点的坐标为 点关于轴的对称点为， 点坐标为， 的中点坐标为 四边形是正方形，抛物线与轴相交于， 两点，，与互相平分.设点在点的右边， 点 的横坐 标为， 点的坐标为，，解得， 抛物线的解析式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.［2025福建福州仓山区月考］（8分）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点和点 . （1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； 【解】 抛物线经过点和点 ， …………（2分） 解得 …………（3分） 这条抛物线所对应的二次函数的解析式为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （2）求出这条抛物线的对称轴和顶点坐标. 【解】， …………（6分） 这条抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为, .…………（8分） 【关键点拨】掌握将二次函数解析式化为顶点式的方法是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 18.［2025云南昆明西山区月考］（10分）如图，抛物线 与轴交于点，与轴交于点， . （1）求点、点、点 的坐标； 【解】当时，， .…………（2分） 当时，，解得或， ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 （2）若抛物线顶点为，求 的面积. 【解】 ， ，…………（8分） 的面积为 .…………（10分） 【关键点拨】掌握求抛物线与坐标轴的交点的方法是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 19.［2025天津红桥区月考］（10分）某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设 计，如图，在一个边长为 的正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正 方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 （1）若无盖纸盒的底面积为 ，则剪掉的小正方形的边长为多少？ 【解】设剪掉的小正方形的边长为 ， 则无盖纸盒的底面的边长为 ，…………（1分） ，…………（3分） 解得， .…………（4分） ，， ， 舍去,…………（5分） 剪掉的小正方形的边长为 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小 正方形的边长；如果没有，说明理由. 【解】有.…………（7分） 设剪掉的小正方形的边长为，无盖纸盒的侧面积为 ， ，…………（8分） 当时， 有最大值，最大值为450. 答：无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为 ，此时剪掉的小正方形的边长 为 .（10分） 【关键点拨】掌握二次函数最值的求法是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 20.［2025河南许昌月考］（12分）如图，抛物线与直线 相交于点和点 . （1）求抛物线的解析式； 【解】将点代入得，解得， 抛物线 的解析式为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式 的解集； 【解】将点的坐标代入得，解得， 直线的解析式 为 .…………（5分） 联立 解得或 点的坐标为 .…………（7分） 从图象看，不等式的解集为或 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （3）［中］若关于的方程在 的范围内只有一个实数根 或有两个相等的实数根，求出 的取值范围. 【解】由题意可知抛物线与直线在 的范围内只有一 个交点，抛物线的顶点坐标为，的取值范围是 或 .…………（12分） 【关键点拨】利用数形结合的思想求解是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21.［2025浙江温州鹿城区期中］（12分）某旅游点的 一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单 价不低于成本价，又不高于70元/件，销售量 （件）与 销售单价 （元/件）的关系可以近似看作一次函数 （如图）. （1）请直接写出关于的函数解析式：_________________（不必写出 的取值范围）. 【解析】设关于的函数解析式为，则 解得 故关于的函数解析式为 .故答案为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （2）［中］设该商铺销售这批商品获得的总利润为 元，当销售单价为多少时， 获得的总利润最大？最大总利润是多少？ 【解】由题意可得 . …………（6分） 函数 的图象开口向下，对称轴是直线 ，…………（8分） 当时，随的增大而增大， 当时， .故当销售 单价为70元/件时，获得的总利润最大，最大总利润是6 000元.…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （3）［中］若该商铺要保证销售这批商品的利润不低于4 000元，则 的取值范围 是____________. 【解析】当时，，解得 ， ，时，.又 ， .故答案为 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 【关键点拨】掌握二次函数的性质是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 22.探究性问题［2024黑龙江齐齐哈尔中考］（14分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点 ， 过，两点的抛物线与轴的另一个交点为点 ， 点是抛物线上位于第四象限内的动点，过点分别作轴和 轴的平行线，分别交 直线于点， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （1）求抛物线的解析式； 【解】直线与轴交于点，与轴交于点，则点， 的坐标分别为 ， ，（1分） 则抛物线的解析式为 ， ，解得，则抛物线的解析式为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 （2）点是轴上的任意一点，若是以 为腰的等腰三角形，请直接写出 点 的坐标； 【解】或或 .…………（6分） 设点，由点,,的坐标得，， ， 或，解得或或4（舍去）或 ， 即点的坐标为或或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 （3）［中］当时，求点 的坐标； 【解】设点,，当时，， 点 , .（8分） ,,,共线，，，即 ，解得 ，则点的坐标为 .…………（11分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （4）［偏难］在（3）的条件下，若点是轴上的一个动点，过点 作抛物线对 称轴的垂线，垂足为，连接，，则 的最小值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 【解析】 抛物线的解析式为 ， 抛物线的对称轴为直线.如图,将线段向右平移 个单 位得到,则四边形 是平行四边形， ,,则, . 作关于直线的对称点 , 连接,,则 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 （当且仅当,, 共线 时等号成立）， 的最小值为.故答案为 .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【方法技巧】根据点的坐标表示出线段的长度，根据线段之间的关系列出方程， 进而解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 $$