卷9 第二十六章 解直角三角形 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（冀教版）

数 学 九年级上册 冀教版 1 2 3 卷9 第二十六章提优验收卷（B卷） 考查内容：解直角三角形 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出的选项 中只有一个选项符合题意） 1.［2025安徽黄山期中］已知锐角 ，且，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】，且 是锐角， ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.［2025江西庐山质检］在平面直角坐标系中，已知点和点 ，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】取点,连接,如图. ， , 易得 是直角三角形， , ， ， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 （第3题图） 3.［2025安徽宿州质检］如图，在中， ， ，，则 的长为( ) C A.9 B.10 C.11 D.12 （第3题图） 【解析】过作于，如图，则. ， ， ， ， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.新定义［2025河北保定调研］定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这 样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰 是“倍长三角形”，则底角的余弦值为 ( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 （第4题图） 【解析】 等腰是“倍长三角形”， 设 .当 时， ，不能构成三角形，故此种情况不存 在；当时，,能构成三角形.如图，过 作 于，则，， .故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 上分技巧 画图理解“倍长三角形” 根据题意画出图形，结合三角形的三边关系分类讨论，即可解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第5题图） 5.［2025河北唐山路北区期中］如图，在中， , ,的垂直平分线分别交,于，两点，连接 .若 ，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】是的垂直平分线， ， ，, , .,， .在 中， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第6题图） 6.［2025山东威海期中］如图，鱼竿的长为 ，露在水面上的 鱼线的长为，将鱼竿绕点逆时针转动 到 的位 置，此时露在水面上的鱼线 的长度是( ) C A. B. C. D. 【解析】连接，易知点，，在同一直线上.在中， ， ，，， .由旋转可 得， ， .在 中， ， ， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 7.［2025浙江台州期中］如图，一个正方体箱子沿着斜面向上运动， ， 箱高米，当米时，点到地面 的距离是( ) A （第7题图） A.米 B.米 C.米 D. 米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 【解析】过点作于点，作，过点 作 ，与交于点 ，如图. ，， ， 正方体箱子沿着斜面向上运动，， ， ， ， ， 点 到地面 的距离为 米.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 （第8题图） 8.［2025河北石家庄裕华区月考，中］如图，已知一台观测车 对空中目标进行观测，观测车从点沿直线行驶到 点的过程 中，观测目标 的仰角将( ) D A.增大 B.减小 C.先减小，后增大 D.先增大，后减小 【解析】观测车从点沿直线行驶到目标 的正下方的过程中，仰角逐渐增大，行 驶到目标的正下方时，仰角最大，为 ；从目标的正下方沿直线行驶到 点 的过程中，仰角逐渐减小.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 （第9题图） 9.［2025河北保定月考，中］如图，在 中， ，于点，若，则 的值 为( ) D A. B. C. D. 【解析】 ，， ， ，.在中， ， ， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 （第10题图） 10.［2025河北唐山路北区月考，中］如图，在 中， ，过点作交延长线于点，过点 作 交延长线于.若，，则 的长为 ( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】，.又， ， ， ， ，，.在 中， ， 设,则.在中， , ，，则.在中， ， ， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 （第11题图） 11.［2025河北衡水月考，偏难］某校组织一次定向越野拉 练活动.如图，点 为出发点，途中设置两个检查点分别为 点和点，行进路线为.已知点在点 的 南偏东 方向处，点在点的北偏东 方向， .则检查点和 之间的距离为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 【解析】过点作于点，如图. 点在点 的南 偏东 方向，点在点的北偏东 方向， ， ， ， .在 中， ， .在 中， ， ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 （第12题图） 12.［2025江苏无锡期中，难］如图，在 中， ， ，点是 延长线上任意一点， 过点作于点，于点，连接，则 的 最小值为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】过点作于点，设交于点 ，过 点作于点，如图. ， ，， , , ， 为等边三角形，, ， ，.设，则 ，则 ，,在 中， , ,, 四边形 为矩 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 形，，,, ， ， .在 中， . ， 的最小值为 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题（本大题共4小题，共12分） （第13题图） 13.［2025安徽淮南质检］如图所示，在 中， ，，于点.若，则 的长是______. 【解析】 在中， ， ， 于， ， ， ， ， ， ，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 14.［2025上海虹口区期中］已知，，分别是中，， 的对边， 且，，满足，若，则 的值为 _ _____. 【解析】，，即 ， 是直角三角形，且，，即 .设 ，则,， ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 15.［2025河北邢台期中，中］如图，在中， ,, ， 点在上，将沿折叠，点落在点处，与相交于点 ，若 ，则 ___. 4 （第15题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 【解析】 ,,， ， 将沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ，即 , ，， . , ， ， ， .故答案为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 上分点拨 折叠后对应角相等 通过折叠和平行，得到，进一步得到 ，从而利用锐角三 角函数解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 16.规律探究［2025河北唐山路南区调研，难］如图，在直线上， 的 横坐标为1，轴于， 直线，交轴于，过作 轴的垂线与直 线交于点，过作直线，交轴于， ，以此类推， 的坐标为 ________________. （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 【解析】的横坐标为1，对于,当时， ， ，,,， ， ，.由题意得 ， ，，与的横坐标都为4， 对于 ,当时，，，同理， ， ，与的横坐标都为16，， ， ，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 上分点拨 点的坐标规律的探究 利用特殊角的三角函数值求得 ，结合直角三角形和一次函数表达式， 求得，，，找到规律求得 ， 据此求解即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 17.［2025河北沧州月考］（6分）计算： （1） . 【解】原式 …………（2分） .…………（3分） （2） . 【解】原式 …………（5分） .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 18.［2025安徽合肥期中］（8分）在中， ，，， 的对 边分别是，， ，根据下列条件解直角三角形. （1） ， ； 【解】 , , . , , , .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）， . 【解】，, , ，, .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 19.［2025山东泰安质检］（8分）若 为锐角. （1）求证：； . 【证明】作如图所示的，其中 ， ， ， ， . ①， ， . …………（2分） ②，， ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （2）求 的值. 【解】由（1）可得 ， ， ， ， 原式 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 20.跨学科问题［2025上海期中］（8分）材料阅读： 光从空气射入水中时，传播方向发生了改变，这种现象是 光的折射，如图（1），我们把入射角 的正弦值和折射 角 的正弦值之比称为折射率，即 ，已知光线 从空气进入水中时的折射率为 ________________________ 图（1） 问题解答：如图（2），矩形为盛满水的水槽，一束光线从点 射向水面上 的点，折射后照到水槽底部的点，测得 ，，若 ， ，三点在同一条直线上， 为法线，请依据相关材料回答以下问题 （参考数据：，， ）： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 图（2） （1）求 的正弦值； 【解】由题意得 .…………（1分） ， .………… （3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （2）［中］求的长.（结果精确到 ） 【解】在中， ，， .…………（4分） ，， 在 中， ，…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 设，则 ， ，，解得 ， ,…………（7分） . 答：的长约为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21.探究性问题［2025河北张家口月考］（11分） 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 【问题引入】 如图（1），为等边三角形，为边上一点，为 边上 一点，且 ，求证： . 【证明】是等边三角形， ， . ， ， .…………（2分） 又 ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 【能力提升】 ［中］如图（2），在中，为边上一点，连接 ， ，，且，求 的值. 【解】如图，过点作于，延长至，使，连接 . ，,， ， ， ， ， ，…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 .…………（8分） 在中， ， 设，则，, , . ，， ， ，或 . ， , .…………（11分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22.［2025河北石家庄长安区月考］（11分）已知在正方形中，点为边 的中点，连接交对角线于点 . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 （1）连接，如图（1），求证： . 【证明】 四边形 为正方形， ， . 在和中， ，…………（2分） .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 （2）如图（2），过点作于点，平分交于点 . ①［中］求 的值. 【解】设正方形的边长为 . 点为边的中点，，. , ， ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 在中，，.在 中， ， .…………（6分） ， ， ，…………（7分） ， ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 ②［难］求证： . 【证明】设正方形的边长为， ， .如图，过点分别作，的垂线，垂足分别为， . ，，， 四边形是矩形. 是 的平分线，， 四边形 是正方形， . 由①得， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 ， , ， .在 中， ， ， ， .…………（11分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $$