卷8 第二十六章 解直角三角形 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（冀教版）

数 学 九年级上册 冀教版 1 2 3 卷8 第二十六章基础诊断卷（A卷） 考查内容：解直角三角形 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出的选项 中只有一个选项符合题意） 1.［2025山东聊城期中］若 为锐角，且，则 等于( ) B A. B. C. D. 【解析】 为锐角，且，， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.［2025上海虹口区期中］在中， ，， ，那么 的值是( ) B A. B. C. D. 【解析】 在中， ，，， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.［2025安徽阜阳期末］已知等边 的边长为2，则其面积为( ) B A.2 B. C. D. 【解析】 等边的边长为2， 其中一条边上的高为 ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.易错题［2025安徽合肥期末］下列式子错误的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 ，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； , ， ，故C选项不正确，符合题意； ,， ，故D选项正确，不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.［2025河北承德校级月考］如图，点，，的坐标依次为，， ， 则下列结论正确的是( ) D （第5题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 【解析】 点，，的坐标依次为，， ， ，，， , ， .如图，过点作于点.设 ， 则.在中， ，在 中， ，则 ，解得，即 ， . ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 ，故A选项错误. ， ， ，故B选项错误. ， ， ，故C选项错误 ，故D选项正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （第6题图） 6.［2024安徽模拟］如图，在滑雪场有一坡度为 的滑雪道，滑 雪道的长为，则 的长为( ) B A. B. C. D. 【解析】 在滑雪场有一坡度为的滑雪道，,， 设 ，则.在中， ，由勾股定理得 ，解得（负值已舍去）， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 上分总结 坡度与坡角 坡角指斜坡面与水平面之间的夹角.坡度指斜坡的垂直高度与水平宽度的比，即坡 角的正切值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第7题图） 7.［2025河北石家庄期中］如图， 的顶点都在边长为1的正方 形网格的格点上，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】如图，取格点，连接.根据题意得 ， ，. ， 为直角三角形， ， .故选B. 上分点拨 利用网格构造直角 连接网格中的格点是构造直角的常见方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 （第8题图） 8.［2025河北沧州月考］某校数学“综合与实践”小组的 同学想要测量校园内文化长廊（如图（1））的最高点 离地面的高度,图（2）是其示意图，五边形 关 于直线对称，与，分别相交于点， ,测 得，， ， C A. B. C. D. ，则文化长廊的最高点离地面的高度约为 结果保留一位小数，参 考数据：，， ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】如图所示，过点作于点.由题意，得 垂直平 分，，， ， ， 四边形 为矩形， ， ， . ， ，. ， .在中， ， ， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 （第9题图） 9.［2025河北秦皇岛月考，中］如图，实线部分是一个正 方体展开图，点，，，，均在 的边上，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】如图，由题意得， ， .设，则 ， 在 中， ， .故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 10.传统文化［2025河北保定莲池区调研，中］ “圭表”是中国古代用来确定节气的仪器.某“圭表” 示意图如图所示，， 米，测得 某地夏至正午时“表”的影长 米，冬至时 的正午太阳高度角 ，则夏至到冬至， 影长差 的长为( ) D A.米 B.米 C.米 D. 米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 【解析】， .在中， ， 米， （米）米，米， 影 长差的长为 米，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 （第11题图） 11.［2025河北衡水期末，中］如图，在三角形纸片 中， ，，.沿过点 的直线将纸片折叠， 使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点 重合. 若折痕与的交点为，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点 处， ， 折叠纸片，使点与点重合， ， ， ， ， ，.设，则 ， ，解得，， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 上分点拨 折叠的性质 折叠前后的两个图形的对应边相等，对应角相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （第12题图） 12.新考法［2025河北廊坊期末，偏难］如图，已知 ， ，边和分别与交于点 和点，连接.若的面积为7，且，则 的 长为( ) D A. B.3 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 【解析】，,, , ,,，.设 ， ，,, ，即 ，解得， , ，, . ，,， ， ,即，.的面积为7， ,即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 ，解得（负值已舍去）， . 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题（本大题共4小题，共12分） 13.［2025安徽合肥第四十五中学质检］计算： _______. 【解析】，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 14.［2025河北保定质检］已知点位于第一象限内，，且与 轴正半轴 夹角的正弦值为，那么点 的坐标是_________. （第14题图） 【解析】如图,过点作轴.与 轴正半轴夹角的正弦值 为，.， ， ， ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 15.新定义［2025江苏宿迁期末，中］定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等 腰三角形顶角的值，即顶角，若在等腰中， ， 且，则 _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 （第15题图） 【解析】如图，过点作于， 设 ，则，， . 根据勾股定理得， ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16.［2025浙江金华婺城区质检，难］如图（1）是小鸟牙签盒实物图，图（2）是 在取牙签过程中牙签盒的部分侧面示意图，，为连接杆 上两个定点，通过按 压点，使连接杆绕点旋转，从而带动连接杆上升，带动连接杆绕点 旋转，致使连接杆将牙签托盘向外推出，在取牙签过程中,竖直固定杆 位 置不变，且与始终平行，牙签托盘 始终保持水平.现测得 ，，， ， （所测数据在取牙签过程中固定不变），已知牙签盒在初始状态时，，， 三 点共线，在刚好取到牙签时，，，三点共线，且点在线段 上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （1）从初始状态到刚好取到牙签时，牙签托盘 在水平方向被向外推出了____ ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 图（1） 【解析】如图（1），当牙签盒在初始状态时，，， 三点共 线，令与的交点为，连接，过作 于 ，, ， ，.设 ，则 ， . ,，， . ，， 牙签托盘 在 水平方向被向外推出了.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （2）的长为_ __ . 图（2） 【解析】在刚好取到牙签时，如图（2），连接 ，延长 ，交于，， 四边形 是平行四边形， ， ， .过 作 于， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 .设，则， . ,，，. ， , ， ， ，， ， ，， ， ， .设 ，则， ， ,， ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 17.［2025河北廊坊月考］（7分）计算： . 【解】 …………（4分） .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 18.［2025河北保定月考］（8分） 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （1）锐角的正弦值和余弦值都随着锐角度数的变化而变化，请在图（1）和图（2） 中探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 【解】在题图（1）中，令，显然有 ， ， ， .又， . 规律：随着锐角度数的增大，其正弦值逐渐增大.…………（2分） 在题图（2）中， ， ， ， . ， , 即 . 规律：随着锐角度数的增大，其余弦值逐渐减小.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （2）根据你探索到的规律，试比较 ， ， ， ， 这些角的正弦 值和余弦值的大小； 【解】由（1）得， ； .…………（6分） （3）利用互余的两个角的正弦值和余弦值的关系，比较下列正弦值和余弦值的大 小： ， ， ， . 【解】 ， ，且 ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 19.［2025河北衡水月考］（8分）如图，在四边形 中， ，，平分交于点，连接 ， ， . （1）求证： 是等边三角形； 【证明】, ， , . ， ， ， ， . 平分， , 是等边三角形.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 （2）若，求四边形 的周长. 【解】 是等边三角形， ， . 又 ， ， ， . 又,，, . 又， 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是菱形.…………（6分） ， ， ， ，， 四边形的周长为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 20.项目式学习［2024湖南中考］（8分）某数学研究性学习小组在老师的指导下， 利用课余时间进行测量活动. 活动 主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量 工具 皮尺、测角仪、计算器等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 活动 过程 模型抽 象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形 ， 其示意图如下： ____________________________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 活动 过程 测绘过 程与数 据信息 ①在水池外取一点，使得点，， 在同一条直线上； ②过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得 的长为4米； ③在点处用测角仪测得 ， ， ； ④用计算器计算得， ， ，， ， 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 （1）求线段和 的长度; 【解】，的长为4米， ， ， 米.…………（2分） ，米， 米.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 （2）［中］求底座的底面 的面积. 【解】过点作于点 ，如图所示. ， 米，…………（6分） 米，（米）， 底座的底面 的面积为 （平方米）.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 21.［2025河北石家庄桥西区月考］（10分）在锐角中，，， 所对 的边分别为，，，求证： . 证明：如图（1），过点作于点.在中， ，在 中，，， . 图（1） 图（2） 图（3） 根据上面的材料解决下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 （1）如图（2），在锐角中，，，所对的边分别为，， ，若 ，， ，求 的度数； 图（1） 【解】如图（1），过点作于点.在 中， ，在 中， ，， ，即 ，，， …………（4分） .………… （5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 （2）［中］如图（3），一片三角形区域需美化，已知 ， ， 米，求这片区域的面积.结果保留根号，参考数据： ， 【解】如图（2），过点作于点 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 ， ， .在 中， （米）.…………（7分） 易得， ， 米，…………（9分） （平方米）.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 52 22.探究性问题［2025陕西西安期末］（11分） 【基础巩固】 （1）［中］如图，已知正方形和正方形，其中，， 三点共线， 连接并延长，交于，连接，.若，，求 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 53 【解】过作于 ，如图. ，， 四边形是正方形， ， ， ，， 是等腰直角 三角形，.又 ， ，， .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 54 【拓展提升】 （2）［偏难］在（1）的条件下，求 的值. 【解】 四边形是正方形， ， ，同理 ， ， ， ， ， ，…………（9分） ， .…………（11分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 55 $$