卷5 第二十五章 图形的相似 上分专题（二） 相似三角形的常考模型-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（冀教版）

数 学 九年级上册 冀教版 1 2 3 上分专题（二） 相似三角形的常考模型 重难上分 攻克难点 4 类型1 A字型 类型2 8字型 类型3 子母型 类型4 一线三等角型 类型5“手拉手”旋转模型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 A字型 母题学方法 上分攻略 此类题目的图形中的两个三角形有一个公共角，只要再找一对相等的角或夹这个 公共角的两边成比例，就可证明这两个三角形相似. 1.［2025浙江绍兴校级月考］如图，在中，点， 分别在边 ，上，下列条件中不能判定和 相似的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，由，可判定 ，故A选项不符 合题意；B选项，由，可判定 ，故B选项不符 合题意；C选项，由，不能判定和 相似，故C选项符 合题意；D选项，由，能判定 ，故D选项不符合题 意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 上分总结 A字型 A字型分两种：①正A字型，②斜A字型.注意两种A字型的边角对应关系不同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 子题练变式 2.［2025山东淄博期中］如图，在中，点，，分别在边，， 上， 连接，，已知四边形是平行四边形，.若 的面积为1，则平 行四边形 的面积为( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 【解析】 四边形是平行四边形，， ， ，，， ， ，，， ， ，.， ， ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 类型2 8字型 母题学方法 上分攻略 此类题目的图形中的两个三角形有一个公共顶点，且有一组对顶角相等，只要再 证另一组对应角相等或夹互为对顶角的两边成比例，就可证明这两个三角形相似. 3.［2024云南文山州期末］如图，在四边形 中，对角线 ，相交于点，平分，且 .求证： . 【证明】， . ，， . 平分， . 又， . 上分总结 8字型 8字型有两种：①正8字型，②斜8字型（蝴蝶型）.注意两种8字型的边角对应关系不同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 子题练变式 4.［2024江苏无锡模拟］如图，四边形中，，点在边 上，与的延长线交于点， . （1）求证：四边形 为平行四边形； 【证明】，点在的延长线上， ， ， ， ， . ， ， ， 四边形 为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 （2）［中］连接，分别延长，交于点，如果 ，求证： . 【解】如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 四边形是平行四边形， . ， . ，， . ，， . ，， ， ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 类型3 子母型 母题学方法 上分攻略 如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即 ,则,, ,该结论 称为射影定理. 5.［2025安徽黄山徽州区期中］如图，已知在 中， ，是斜边上的高，如果， ， 那么 的长为( ) A A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】在中， ，是斜边 上的高， ,， ， ，，， ，故 选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 子题练变式 6.［2025浙江台州仙居调研］如图，在 中， ，，，过点作于点 ， 以为顶点作一个直角，其两边分别与边， 交于点 ，，点不与点重合，则 __． 【解析】， ， ，， ， .， .又 ，，.故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 类型4 一线三等角型 母题学方法 上分攻略 此类题目的图形中一条直线上有三个相等的角，找出两个三角形中的两组角对应 相等就可以证明两个三角形相似. 7.［2025江苏扬州期中］如图，，，点是线段 上的一点，且 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 （1）求证： ； 【证明】，，， ， ， ，， . （2）［中］已知，，，求线段 的长. 【解】，，， . 上分总结 一线三等角型 通常通过等量关系找到对应角，进而得到相似三角形.注意不要找错相对应的角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 子题练变式 8.［2025河北唐山期中］如图（1），为等边三角形，，点为 边上的动点（点不与点，重合），点在边上，且 . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 （1）求证： ； 【证明】为等边三角形， . ， ， . ， . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 （2）［中］如图（2），当运动到的中点时，求线段 的长. 【解】同（1）可得， . 为等边三角形， . 点为的中点， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型5“手拉手”旋转模型 母题学方法 上分攻略 此类题目中的两个三角形共顶点，两组边对应成比例且夹角相等. 9.［2024安徽合肥包河区期中］如图， ，添加下列条件不能使 的是 ( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 【解析】 选 项 分析 结论 A ，， ， 不符合 题意 B ，.又， ， 不符合 题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 选 项 分析 结论 C ，.又， ， ，， .又 ， 不符合 题意 D ，若，显然不能判定 符合题 意 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 子题练变式 10.如图（1），在钝角三角形中， ，，点为边 的中 点，点为边的中点.将绕点按逆时针方向旋转 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 （1）［中］如图（2），连接，.求证： . 【证明】如题图（1）， 点为边的中点，点为边 的中点， ， . 如题图（2），根据旋转的性质，可知依然成立，且 , ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 （2）［难］如图（3），与相交于点，直线，交于点 .在旋转过程中， 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个角的度数. 【解】 的大小不发生变化. 由（1）易得， . ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 $$