卷2 第二十四章 一元二次方程 上分专题（一） 根的判别式或根与系数的关系的应用-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（冀教版）

数 学 九年级上册 冀教版 1 2 3 上分专题（一） 根的判别式或根与系数的关 系的应用 重难上分 攻克难点 4 类型1 求方程中字母参数的值 类型2 解决存在性问题 类型3 解决几何图形问题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 求方程中字母参数的值 母题学方法 上分攻略 这类问题中的一元二次方程都有解，且题干中一般不会直接出现和 ， 需要经过变形处理，变形过程中通常会用到完全平方公式、平方差公式、通分、 取倒数等知识. 1.已知关于的一元二次方程 . （1）若该方程有两个实数根，求 的最小整数值. 【解】根据题意得，解得， 的最小整数值 为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 （2）若该方程的两个实数根为，，且，求 的值. 【解】根据题意得， ， ， ， ，整理得，解得 ， .由（1）得，方程有两个实数根时，， 的值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 子题练变式 2. 已知关于的一元二次方程 有实数根.设方程的两 个实数根分别为，，若，求 的值. 【解】 方程的两个实数根分别为，， ， ，,即. ， ，，解得，即 的值是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 3. 已知，是关于的方程 的两个实 数根，，是关于的方程的两个实数根，且 ， ，求 的值. 【解】根据题意得，， ， ，， ，整理得 ，解得或.当时，方程 没有实 数根，故舍去， 的值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 4. 已知关于的一元二次方程 有两个 实数根，.若方程的两实数根，满足，求 的值. 【解】，整理得 ,则 ，，,即 .又 ，， ， 可化简为，解得 （不合题意，舍去） 或，的值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 类型2 解决存在性问题 母题学方法 上分攻略 1.先根据方程中根的情况得到参数的取值范围，再利用根与系数的关系得到参数的值. 2.满足条件的参数值若在取值范围内，则存在；若不在取值范围内，则不存在. （要注意参数的值或取值范围不能使二次项系数为0） 5.已知，是关于的一元二次方程 的两个不相等的实数根. （1）求 的取值范围. 【解】由题意知，且，且 . （2）是否存在这样的实数，使成立？若存在，求 的值； 若不存在，请说明理由. 【解】存在.，，， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 的值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 子题练变式 6. 关于的方程 有两个不相等的实 数根.设方程的两个实数根分别为，，是否存在这样的实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 【解】存在.由题意得， ， ，即.将 两边同时平方可得 ，即 ，则 ，整理得，解得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 7. 已知关于的方程 有实数根. （1）当 时，求解上述方程. 【解】当时，方程化为， ， 或，解得， . （2）求 的取值范围. 【解】当时，方程化为，方程有实数根；当 时，根据题意得 ，解得且.综上所述，的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 （3）是否存在实数，使方程两实数根的倒数和为1？若存在，请求出 的值；若 不存在，请说明理由. 【解】不存在.理由如下：设方程的两实数根分别为， .根据根与系数的关系得 ，.，即，， ，解得 .且， 不存在实数 ，使方程两实数根的倒数和为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 类型3 解决几何图形问题 母题学方法 上分攻略 1.方程的两个根和图形的边长相关，一般要根据图形的性质列方程求解，得到参数 的值或取值范围. 2.遇到等腰三角形或直角三角形要注意是否需要分类讨论. 8.已知，是关于的一元二次方程 的两个实数根. （1）若，求 的值. 【解】根据题意得，解得 .由根与系数的关系得 ， ，即 ， ，整理得 ，解得，， 的值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 （2）已知等腰的一边长为7，若，恰好是 另外两边的长，求这 个三角形的周长. 【解】分两种情况讨论：①当腰长为7时， 是一元二次方程 的一个根.令 ，代入方程得 ，整理得，解得 ， .当时，，解得，而 ，故 舍去；当时，，解得，此时 ，能构 成三角形， 三角形周长为.②当底边长为7时， .由（1）得 ，方程化为，解得，而 ，故舍去.综上， 这个三角形的周长为17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 子题练变式 9. ［2025江苏无锡月考，难］已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根.若该方程的两个实数根分别是矩 形的长和宽，该矩形的对角线长为4，求实数 的值. 【解】设该方程的两个实数根为，， ， .由题意得,则. 该方程的两个实数根分别 是矩形的长和宽，该矩形的对角线长为4， 由矩形的性质和勾股定理可得 ，， ， ，解得或（舍去）， 的值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 10. 已知关于的一元二次方程 为常数 . （1）若方程的两根为菱形相邻的两边长，求 的值. 【解】 方程的两根为菱形相邻的两边长， 此方程有两个相等的实数根， ，整理得，解得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 （2）是否存在满足条件的常数 ，使该方程的两根等于边长为2的菱形的两对角线 长？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 【解】不存在.理由如下：设菱形的两对角线长为， 该方程的两根是菱形的 两对角线长，， 菱形的两对角线互相垂直平 分， 由勾股定理得，整理得， ， 即，解得.由题意得 ， ，, 不存在满足条件的常数 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 $$